2019湖南省11地市中考數(shù)學(xué)7大專題分類解析匯編專題3——函數(shù)

1、2019湖南省11地市中考數(shù)學(xué)7大專題分類解析匯編專題03函數(shù)、選擇題1. （ 2019湖南益陽(yáng)）下列函數(shù)中，y總隨x的增大而減小的是（）2A . y= 4xB . y=- 4xC. y= x 4D. y= x【答案】B.【解析】解：y= 4x中y隨x的增大而增大，故選項(xiàng) A不符題意, y=- 4x中y隨x的增大而減小，故選項(xiàng) B符合題意，y = x- 4中y隨x的增大而增大，故選項(xiàng) C不符題意，y = x2中，當(dāng)x 0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)xv 0時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng) D不 符合題意， 故選：B.2. （ 2019湖南婁底）一次函數(shù)y=kx - k （kv 0）的圖象大致是（）

2、【答案】A.【解析】解： kv 0,.- k 0,一次函數(shù) y=kx - k的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,故選：A.3. （2019湖南邵陽(yáng)）一次函數(shù) yi=kix+bi的圖象li如圖所示，將直線li向下平移若干個(gè)單位 后得直線l2, l2的函數(shù)表達(dá)式為丫2=乂+匕2 .下列說法中錯(cuò)誤的是（）13 / 411/i=片斗十號(hào)IA. ki=k2B. biv b2【答案】B.C. bib2D.當(dāng) x=5 時(shí)，yiy2【解析】解：將直線li向下平移若干個(gè)單位后得直線 12,直線li/直線12直線li向下平移若干個(gè)單位后得直線 12, -bi b?,當(dāng) x= 5 時(shí)，yiy?,故選：B.二(m 為 xkx

3、+b 二的4. ( 20i9湖南衡陽(yáng))如圖，一次函數(shù)yi= kx+b ( k 0)的圖象與反比例函數(shù)常數(shù)且mz 0)的圖象都經(jīng)過 A (- i, 2), B (2,- i),結(jié)合圖象，則不等式A. xv iC. xv i 或 0 v xv 2B. i v xv 0D. i v xv 0 或 x 2解集是()2 2-1-1【答案】C.【解析】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)yi = kx+b (kz 0)的圖象在反比例函數(shù)為常數(shù)且mz 0)的圖象上方時(shí)，x的取值范圍是：xv i或0v xv2,不等式xv i 或 0v xv 2故選：c.5. （ 2019湖南株洲）如圖所示，在直角平面坐標(biāo)系Oxy中

4、，點(diǎn)A、B、C為反比例函數(shù)y=（k 0） 上不同的三點(diǎn)，連接 OA、OB、OC,過點(diǎn)A作AD丄y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B、C分別作BE, CF垂直x軸于點(diǎn)E、F , OC與BE相交于點(diǎn) M，記 AOD、 BOM、四邊形【答案】D.C. S3 S2 D. S1S2V S32【解析】解：點(diǎn)A、B、C為反比例函數(shù)AD 丄 y 軸，BE,CF垂直x軸于點(diǎn)E、F,S3 =丄k,Sa BOE= SCOF = Sa BOE Some = Sa CDF Sa ome , S1 = S2,-S1 V &, V S3 , A , B, C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D.26. （ 2019湖南益陽(yáng)）已知二次函數(shù) y= ax+bx+c

5、的圖象如圖所示，下列結(jié)論： acv 0，b-2aV 0, b2 - 4acv 0,a - b+cv 0,正確的是（ ）A .【答案】A.B .C.D .【解析】解：圖象開口向下，與y軸交于正半軸，能得到：av 0, c0, acv 0,故正確; .對(duì)稱軸xv- 1, 一v- 1, a0,2a b v 2a, b - 2av 0,故正確. 圖象與x軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)，依據(jù)根的判別式可知b2- 4ac0，故錯(cuò)誤. 當(dāng)x=- 1時(shí)，y 0,. a - b+c0，故錯(cuò)誤；故選：A.7. （ 2019湖南岳陽(yáng)）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量 x取a時(shí)，函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個(gè) 函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).如果二次函數(shù)

6、y= x2+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn) *、x2,且x1 v 1 vx2,貝U c 的取值范圍是（）A . cv- 3B . cv- 2C. cv 丄D. cv 1q【答案】B.【解析】解：由題意知二次函數(shù)y= x2+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn) X1、X2是方程x2+2x+c= x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 X10則.|_lfl+c 0,2 k=4.故答案為4.11. （2019湖南益陽(yáng)）反比例函數(shù)y=的圖象上有一點(diǎn) P （ 2, n）,將點(diǎn)P向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn) Q,若點(diǎn)Q也在該函數(shù)的圖象上，則 k =.【答案】6.【解析】解：T點(diǎn) P的坐標(biāo)為（2, n）,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3,

7、n- 1）,依題意得：k= 2n = 3 (n- 1),解得：n= 3, k= 2 X 3= 6,故答案為：6.12. （2019湖南郴州）某商店今年 6月初銷售純凈水的數(shù)量如下表所示:日期1234數(shù)量（瓶）120125130135觀察此表，利用所學(xué)函數(shù)知識(shí)預(yù)測(cè)今年6月7日該商店銷售純凈水的數(shù)量約為 瓶.【答案】150.【解析】解：這是一個(gè)一次函數(shù)模型，設(shè)y= kx+b,則有 川一J二（2k+b=125解得,1.2115 y= 5x+115,當(dāng) x= 7 時(shí)，y= 150,.預(yù)測(cè)今年6月7日該商店銷售純凈水的數(shù)量約為150瓶,故答案為150.k13. （2019湖南邵陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系

8、中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4, 2）,反比例函數(shù)y = -xOA的中點(diǎn)B,貝U k=【解析】解：如圖： AC / BD, B是OA的中點(diǎn), OD = DC同理OF = EFTA ( - 4, 2) AC= 2, OC = 4OD = CD = 2, BD = OF = EF = 1 , B (- 2, 1)代入得： k=- 2X 1 = - 2故答案為：-2.14. （2019湖南張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y的圖象上，已知菱形的周長(zhǎng)是 8,【答案】,3 .【解析】解：過點(diǎn) C作CD丄0A,垂足為D ,/ COA = 6

9、0/ OCD = 90 - 60 = 30又菱形OABC的周長(zhǎng)是8, - OC = OA = AB= BC = 2,在 Rt COD 中，OD = CD = | ；， C （1 ,：；）,把C （1,：;）代入反比例函數(shù) y=L得：k= 1X；=；,故答案為：. 0,k- 2,k的取值范圍是-23.【解析】解：(1)把點(diǎn)A (3, 2)代入反比例函數(shù) y=H，可得m= 3 X 2= 6,x反比例函數(shù)解析式為 y=匕，r3k+b=2Lb=-4/ 0B = 4,把點(diǎn)A (3, 2) , B ( 0,- 4)代入一次函數(shù) y = kx+b，可得解得 一次函數(shù)解析式為y= 2x - 4;(2)不等式組

10、0vv kx+b的解集為：x 3.x時(shí)所需費(fèi)用20. (2019湖南常德)某生態(tài)體驗(yàn)園推出了甲、乙兩種消費(fèi)卡，設(shè)入園次數(shù)為 為y元，選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)， y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，解答下列問題(1)分別求出選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;【答案】(1) y甲=20x; y乙=10x+100; (2)見解析.【解答】解：(1)設(shè)y甲=kix,根據(jù)題意得5ki= 100,解得ki= 20,. y甲=20x;設(shè) y 乙=k2X+100，根據(jù)題意得：20k2+100 = 300,解得 k2= 10,- y 乙=10x+100;(2y甲vy乙，即20XV 10x+100 ,解得xv 10,當(dāng)入

11、園次數(shù)小于 10次時(shí)，選擇甲消費(fèi)卡 比較合算； y甲=y乙，即20x= 10x+100 ,解得x= 10,當(dāng)入園次數(shù)等于10次時(shí)，選擇兩種消費(fèi)卡費(fèi)一 樣； y甲丫乙，即20x 10x+100 ,解得x 10,當(dāng)入園次數(shù)大于10次時(shí)，選擇乙消費(fèi)卡比較合算.21. (2019湖南郴州)若一個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)表達(dá)式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)下面我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，探究分段函數(shù)y=If 9X的圖象與性質(zhì).列表：I （xT）3 2- *1 1 1 1 -3 -2 -1(1) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，觀察描出的這些點(diǎn)的分布，作出函數(shù)圖象；(2) 研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表

12、格，回答下列問題： 點(diǎn)A (- 5,yj,B (-丄，y2), C(X1,號(hào))，D(x2,6)在函數(shù)圖象上，貝Vyy2,X1X2；(填“”，“=”或 “v”) 當(dāng)函數(shù)值y= 2時(shí)，求自變量x的值； 在直線x=- 1的右側(cè)的函數(shù)圖象上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P (X3, y3), Q (X4, y4),且y3= y4, 若直線y=a與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2)v,v； x= 3 或 x=- 1; X3+X4= 2; 0 v av2.【解答】解：(1)如圖所示：(2A (- 5, yi), B (丄，y2),2A與B在y=-丄上，y隨x的增大而增大，二yiv W；

13、D (X2, 6),C與D在y= X- 1|上，觀察圖象可得 xivX2；故答案為v,v； 當(dāng)y= 2時(shí)，2=-丄， x=-丄(不符合)；當(dāng) y = 2 時(shí)，2= |x- 1|,二 x= 3 或 x=- 1 ； P (X3, y3), Q (X4, y4)在 x=- 1 的右側(cè),- 1 w x0)的圖象相交于點(diǎn) C,其中OB = AB,點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn) B的坐 標(biāo)為(2, 4),過點(diǎn)C作CH丄x軸于點(diǎn)H .(1) 已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn) O, B，求該一次函數(shù)的表達(dá)式；(2) 若點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，滿足OC= =AP,過點(diǎn)P作PQ丄x軸于點(diǎn)Q,連結(jié)OP ,記厶OPQ的面積為SgpQ

14、，設(shè)AQ = t, T= OH 2 - Sa OPQ用t表示T (不需要寫出t的取值范圍)；3(2 T= 4t2- 4t :.2【解析】解：(1)將點(diǎn)O、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y= kx得：4 = 2k,解得：k= 2,故一次函數(shù)表達(dá)式為：y= 2x,(2)過點(diǎn)B作BM丄OA,51 / 41a,I詬，OB = AB,則 OM = AM = 2,則點(diǎn) A (4, 0),貝U tan a=sin a=設(shè)：AP= a,貝U OC =持；傘，QAPA在厶 APQ 中，sin / APQ =sin a=3同理PQ =2t,tan Cl則 PA = a = 口，OC = 一 -t,則點(diǎn) C (；t,

15、 2 . jt),T = OH 2 - Saopq =( OC?sin a) 2 X( 4 - t) X 2t = 4t2 - 4t,/ 40,. T有最小值，當(dāng)t=丄時(shí)，T取得最小值,而點(diǎn) C (-;t, 2 . V),故：m=卜；t X 2吠孑=24. (2019湖南常德)如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A( 1，4),與坐標(biāo)軸交于 B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1 , 0).(1 )求二次函數(shù)的解析式;(2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過 M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形 MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長(zhǎng)的最大值；(3)當(dāng)矩形M

16、NHG的周長(zhǎng)最大時(shí)，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點(diǎn)P,使厶PNC的面積是矩形MNHG面積的.？若存在，求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.J J7 a【答案】(1)y= x2+2x+3; ( 2) 10；(3)存在，且P點(diǎn)坐標(biāo)為(務(wù)刊或(呼-3-6V2)或(3_矩 -3+6西)1 24【解析】解：(1) 二次函數(shù)表達(dá)式為:2y= a (x- 1) +4,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0 = 4a+4，解得：a=- 1,故函數(shù)表達(dá)式為：y=- x2+2x+3；2 2(2)設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(x,- x+2x+3)，則點(diǎn) N ( 2 - x,- x +2x+3),則 MN = x- 2+x= 2x-

17、2, GM = - x2+2x+3 , 矩形 MNHG 的周長(zhǎng) C= 2MN+2GM = 2 (2x- 2) +2 (- x2+2x+3)=- 2x2+8x+2,- 2v 0,故當(dāng)x=-亠=2, C有最大值，最大值為 10,2a此時(shí)x= 2,點(diǎn)N ( 0, 3)與點(diǎn)D重合；(3) PNC的面積是矩形 MNHG面積的亠，麗CtQI07則 Sapnc=X MN X GM = X 2X 3 =,PNC 1I,連接DC,在CD得上下方等距離處作 CD的平行線m、n,過點(diǎn)P作y軸的平行線交 CD、直線n于點(diǎn)H、G,即PH = GH ,過點(diǎn)P作PK /丄CD于點(diǎn)K,將C (3, 0)、D ( 0, 3)坐

18、標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:直線CD的表達(dá)式為：y=- x+3,OC= OD ,/ OCD = Z ODC = 45 =Z PHK , CD = 3 一 :,丄 X PH X sin45 X 3 . ： ：,設(shè)點(diǎn) P (x,- x2+2x+3),則點(diǎn) H (x,- x+3),S PNC =匚=丄 PK X CD =2解得：PH = = HG ,4則 PH =- x2+2x+3+x- 3=亠,解得：x=故點(diǎn)P （),直線n的表達(dá)式為:聯(lián)立并解得：x=y=- x+3 - =- x+4 33V22,即點(diǎn)P 、P的坐標(biāo)分別為（_3_6邁1故點(diǎn)P坐標(biāo)為：（154）或（I-3+32 -3-6 V2）、（3

19、-礙Z）或（);).2225. （2019湖南郴州）已知拋物線 y= ax +bx+3與x軸分別交于 A （- 3, 0）, B （1, 0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn) D的坐標(biāo);（2 ）點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).斗，當(dāng)k為何值時(shí)，CF =如圖1，設(shè)k=AD ?如圖2，以A, F , O為頂點(diǎn)的三角形是否與厶 ABC相似？若相似，求出點(diǎn) F的坐標(biāo)；若(2 k二1 :F點(diǎn)的坐標(biāo)為(丄.二L)或(2, 2).255【解析】解：(1)：拋物線y = ax2+bx+3過點(diǎn)A (- 3, 0), B (1, 0),.嚴(yán)獷弘+3=0,解得：(牢-1 ,U-hb+3=0l.b-2拋物

20、線解析式為 y=- x2 - 2x+3 ；y=- x2- 2x+3 =-( x+1) 2+4頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1, 4);(2，在 Rt AOC 中，OA = 3, OC = 3,2 2 2 AC2= OA2+OC2= 18, D (- 1, 4), C ( 0, 3), A (- 3, 0),CD2= 12+12= 2 AD2 = 22+42 = 20 AC2+CD2= ad2 ACD為直角三角形，且/ ACD = 90.即#AD , F為AD的中點(diǎn)，AD 2在Rt ACD在 Rt OBC 中，tan 一上-一 / ACD = Z OCB ,/ OA = OC, / OAC = Z OCA

21、= 45, / FAO = Z ACB,若以A , F , O為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似，則可分兩種情況考慮:當(dāng)/ AOF = / ABC 時(shí)， AOFCBA , OF / BC ,設(shè)直線BC的解析式為y= kx+b ,fk-Kb=O，解得：|b-3lb二 3直線BC的解析式為y=- 3x+3,直線OF的解析式為y=- 3x,設(shè)直線AD的解析式為(屯比二4，解得：卜弧林二0y= mx+ n, 仟，y= 2x+6,應(yīng)解得:y=-3x直線AD的解析式為F (-6, 18)55 |當(dāng)/ AOF = Z CAB = 45。時(shí)， AOFCAB, / CAB = 45, OF 丄 AC,直線OF的解析式

22、為y=- x,，解得：Ly=2x+6- F (- 2, 2).綜合以上可得F點(diǎn)的坐標(biāo)為(-)或(-2, 2).55226. ( 2019湖南衡陽(yáng))如圖，二次函數(shù) y= x +bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A (- 1, 0)和點(diǎn)B(3, 0),與y軸交于點(diǎn)N,以AB為邊在x軸上方作正方形 ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)， 連接CP,過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.(1) 求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；(2) 當(dāng)點(diǎn)P在線段OB (點(diǎn)P不與O、B重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段 OE的長(zhǎng)有最大值？ 并求出這個(gè)最大值；(3) 在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M，連接MN、MB .請(qǐng)問： MBN的面積是否存在最大值？

23、若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.時(shí)，線段0E有最大值(3)存在，最大值是3最大值是*.278，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,2154)【解析】解：(1) T拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過A (- 1,0), B (3,0),把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式,1-b+c=09+3b+c-0解得:c- -3故拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y= x2- 2x- 3;(2)T A (- 1 , 0),點(diǎn) B(3, 0),二 AB = OA+OB = 1+3 = 4,正方形 ABCD 中，/ ABC = 90, PC丄 BE,/ OPE+Z CPB = 90,/ CPB + Z PCB = 90, Z OPE

24、= Z PCB,又tZ EOP=Z PBC = 90,設(shè) OP= x,貝U PB= 3 - x,/ 0v XV 3,線段OE長(zhǎng)有最大值，最大值為OE有最大值.最大值是(3)存在.916二x= 0, y=_ 3,H,N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,設(shè)直線BN的解析式為y= kx+b,心1b-3直線BN的解析式為y= x - 3,設(shè) M (a, a2 2a - 3)，貝V H (a, a - 3),MH = a 3 ( a2 2a 3)= a2+3a,Sa mnb=Sabmh+Samnh =h,_ob =二 X (一/十3且)x 3 =丄 av:13.2 八2丿專時(shí)，MBN的面積有最大值，最大值是34).；-,此

25、時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(827. (2019湖南懷化)如圖，在直角坐標(biāo)系中有 Rt AOB, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB= 1, tan/ ABO=3，將此三角形繞原點(diǎn) O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到Rt COD，二次函數(shù)y=- x2+bx+c的圖象剛好經(jīng)過 A, B, C三點(diǎn).(1) 求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2) 過定點(diǎn)Q的直線I: y= kx-k+3與二次函數(shù)圖象相交于 M , N兩點(diǎn). 若SaPmn = 2,求k的值； 證明：無論k為何值， PMN恒為直角三角形； 當(dāng)直線I繞著定點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)時(shí)， PMN外接圓圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，直接寫出該拋物 線的表達(dá)式.(2 k= 2 證明見解析；：y=- 2x2

26、+4x+1.【解析】解：(1) OB= 1, tan/ ABO = 3,貝U 0A= 3, OC = 3,即點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(0, 3)、(- 1, 0)、(3, 0),則二次函數(shù)表達(dá)式為：y= a ( x - 3) (x+1)= a ( x2 - 2x- 3),即：-3a = 3，解得：a =- 1,故函數(shù)表達(dá)式為：y=- x2+2x+3 ,點(diǎn) P (1, 4);(2) 將二次函數(shù)與直線I的表達(dá)式聯(lián)立并整理得:x2-( 2 - k) x- k= 0,設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為(x1 , yj、( x2, y2),則 X1 +x2= 2 k, X1X2=- k,則：y+y2= k (X1+X2

27、)- 2k+6 = 6 - k2,同理：力丫2= 9 - 4k2, y= kx - k+3，當(dāng) x= 1 時(shí)，y = 3，即點(diǎn) Q (1, 3),SxPMN = 2= PQ X( X2 - X1),貝y X2 - X1 = 4 ,X2-禺|= 1 * *1 -.,解得：k= 2: 點(diǎn) M、N 的坐標(biāo)為(X1, y1)、(X2, y2)、點(diǎn) P (1, 4),則直線PM表達(dá)式中的k1值為:八，直線PN表達(dá)式中的k2值為:廠-1y2-4珀-4七7為：k2 =y1y2-4ty1+y2) +16=1,故PM丄PN,即： PMN恒為直角三角形;H是厶PMN外接圓圓心,則 x= = 1 -丄k,2 2y=

28、 (y什y2)= ( 6 k),整理得：y=- 2x2+4x+1 ,即：該拋物線的表達(dá)式為：y=- 2x2+4x+1 .1 228. （2019湖南邵陽(yáng)）如圖，二次函數(shù)y= - x+bx+c的圖象過原點(diǎn)，與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)3為（8, 0）.（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2） 在x軸上方作x軸的平行線y1=m，交二次函數(shù)圖象于 A、B兩點(diǎn)，過 A、B兩點(diǎn)分別 作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn) D、點(diǎn)C .當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，求 m的值；（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí) 動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn) A出發(fā)沿線段AD勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) D時(shí)立即原速返回

29、，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q返回到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t 0）.過點(diǎn)P向x軸作垂線，交拋物線于點(diǎn) E,交直線AC于點(diǎn)F,問：以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能 否是平行四邊形.若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由.34; (3)能構(gòu)成，且t=4或6.1 2【解析】解：(1 )將(0, 0) , ( 8, 0)代入y=_x2+bx+c,得3c = 0648b c = 0.3解得家3.c =01 2 8 該二次函數(shù)的解析式為y = 1 x2X .3 31 2 8(2)當(dāng) y=m 時(shí)， 一 x2- x = m ,3 3解得：* = 4 - 16 - m , X1 = 4 、16

30、- 3m ,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(4 - J16- 3n , m)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4+J16- 3n , m),點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(4 一 J16- 3n , 0)，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(4+J16- 3n , 0).矩形ABCD為正方形，4、16 -3m - ( 4 - . 16 -3m ) =m,解得：m1= 16 (舍去)，m2=4 .當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，m的值為4.(3) 以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形.由(2)可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2 , 4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6, 4)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6, 0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2 , 0).設(shè)直線AC的解析式為y=kx +a （

31、k工0）,將 A （ 2 , 4）, C （ 6, 0）代入 y=kx +a,得 2k “4 ,6k +a =0k =-解得a = 6直線AC的解析式為y=- x+6 .1 2 81 2 4當(dāng) x=2+ t 時(shí)，y= x x= t t 亠4 , y=- x+6=- t+4 ,33331 24點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（2+t, t + 1+4 ）,點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（2+t, -t+4 ）.33以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且AQ / EF , AQ=EF ,分三種情況考慮：1 2 41 2 7當(dāng) 0 v tW4 時(shí)，如圖 1 所示，AQ=t , EF = t2 t 4 -（-t 4

32、）t t ,33331 27t = 一一t +t , 解得：t1=0 （舍去），t2=4 ;iX7o DcO）G 叫 5El331 2 41 2 7 當(dāng) 4 v t W7 時(shí)，如圖 2 所示，AQ =t-4 , EF = 一 t2 ? t，4 一（ -t，4）二t t ,33331 27t 一4 = 一一t +t , 解得：t3=-2 （舍去），t4=6 ;331 2 41 2 7 當(dāng) 7 v t 電時(shí)，AQ=t -4 , EF = t 4 -（一一 t2 t 4） t - t ,33331.27t 一4 t t,33解得：t5=5 （舍去），t6=5+J13 （舍去）.綜上所述：當(dāng)以A、E、

33、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時(shí)，t的值為4或6.29. (2019湖南益陽(yáng))在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，頂點(diǎn)為A的拋物線與x軸交于B、C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D，已知A (1, 4) , B (3, 0).(1) 求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式;(2) 探究：如圖1，連接OA，作DE / OA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,連接0E交AD于點(diǎn)F ,M是BE的中點(diǎn)，貝U 0M是否將四邊形 OBAD分成面積相等的兩部分？請(qǐng)說明理由;且 m+n =- 1,連接 PA、(3) 應(yīng)用：如圖2, P( m，n)是拋物線在第四象限的圖象上的點(diǎn),PC,在線段PC上確定一點(diǎn)M,使AN平分四邊形ADCP的面積，求點(diǎn)

34、N的坐標(biāo). 提示：若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(xi, yi)、(X2, y2),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(“22).2【答案】(1) y=- x+2x- 3; (2) 0M將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由見解析；(3 )點(diǎn) N ( 一，-丄).【解析】解：(1)函數(shù)表達(dá)式為：y= a (x- 1) 2+4,將點(diǎn)B坐標(biāo)的坐標(biāo)代入上式得：0 = a (3 - 1) 2+4,解得：a=- 1,故拋物線的表達(dá)式為：y=- x2+2x- 3 ；(2) 0M將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由:如圖 1，- DE / AO , SODA = SgEA ,S ODA + SaAOM = Sa OE

35、A+SAOM，即：S 四邊形 OMAD = S OBM ,-Sa OME= Sa OBM ,S 四邊形 OMAD = SaOBM ；(3) 設(shè)點(diǎn) P ( m, n), n=- m2+2m+3，而 m+n =- 1, 解得：m=- 1或4，故點(diǎn)P (4,- 5);如圖2,故點(diǎn)D作QD / AC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q,將點(diǎn)C (- 1, 0)、P (4,- 5)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:直線PC的表達(dá)式為：y=- x- 1，同理直線 AC的表達(dá)式為：y= 2x+2,直線DQ / CA,且直線 DQ經(jīng)過點(diǎn)D (0, 3),同理可得直線 DQ的表達(dá)式為：y = 2x+3，聯(lián)立并解得：x=-丄，即

36、點(diǎn)Q (-，)，333點(diǎn)N是PQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得：點(diǎn) N(，-*).230. (2019湖南張家界)已知拋物線 y= ax+bx+c(0)過點(diǎn)A (1, 0) , B (3, 0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C, OC = 3.(1) 求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2) 過點(diǎn)A作AM丄BC,垂足為 M，求證：四邊形 ADBM為正方形；(3) 點(diǎn)P為拋物線在直線 BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)厶PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);(4) 若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè) 最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.D (2,- 1); ( 2)見解析；(3 )點(diǎn) P (二，-)

37、；(4) 存在，且 AQ+一二QC的最小值為2【解析】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y= a (x - 1) (x- 3)= a (xPH X OB (- x+3 - x2+4x- 3) (- x2+3x), T- V 0，故Sapbc有最大值，此時(shí) x = - 4x+3),即：3a = 3,解得：a= 1,故拋物線的表達(dá)式為：y= x2- 4x+3,則頂點(diǎn)D (2, - 1);(2) T OB = OC= 4,./ OBC = /OCB = 45,AM = MB = ABsin45 =樣：=AD = BD,則四邊形ADBM為菱形，而/ AMB = 90,四邊形ADBM為正方形;-x+3),則 S

38、a pbc =直線BC的表達(dá)式為：y=- x+3,(3) 將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y= mx+ n并解得: 故點(diǎn)P (里-邑);2 4(4) 存在，理由： 如上圖，過點(diǎn) C作與y軸夾角為30的直線CH，過點(diǎn)A作AH丄CH，垂足為H ,最小值=AQ + HQ = AH ,直線HC所在表達(dá)式中的k值為：*,直線HC的表達(dá)式為：y=“Jyx+3 則直線AH所在表達(dá)式中的k值為-一，則直線AH的表達(dá)式為：y=- 丄x+s,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得:3則直線AH的表達(dá)式為：葉一x+-， 聯(lián)立并解得：x=, 故點(diǎn)H (上竺_，些8),而點(diǎn)A (1 , 0),4 4貝y ah = 宀心,4即：

39、AQ+ LqC的最小值為 彳忑卜代.2 4231. (2019湖南株洲)已知二次函數(shù)y= ax +bx+c (a 0)(1 )若 a= 1, b = 2, c= 1 求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)； 定義：對(duì)于二次函數(shù)y= px2+qx+r ( pz 0),滿足方程y= x的x的值叫做該二次函數(shù)的 不 動(dòng)點(diǎn)” 求證：二次函數(shù) y= ax2+bx+c有兩個(gè)不同的“不動(dòng)點(diǎn)”.(2) 設(shè)b=c3,如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系 Oxy中，二次函數(shù)y= ax2+bx+c的圖象與x2軸分別相交于不同的兩點(diǎn) A (X1, 0), B (X2, 0),其中X1V0, X20，與y軸相交于點(diǎn)C , 連結(jié)BC,點(diǎn)D在y

40、軸的正半軸上，且 OC = OD ,又點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1, 0),過點(diǎn)D作垂直 于y軸的直線與直線 CE相交于點(diǎn)F ,滿足/ AFC =Z ABC. FA的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相rVe交于點(diǎn) P ,若=:,求二次函數(shù)的表達(dá)式.2(2) y = x - 4x - 2.【解析】解：(1)T a= 1, b =- 2, c=- 1 y= x2- 2x- 1 =( x- 1) 2 - 2該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,- 2);證明：當(dāng)y= x時(shí)，x2- 2x- 1 = x整理得：x2- 3x- 1 = 0.=( - 3) 2- 4X 1 X( - 1 )= 130 方程x2- 3x- 1 = 0有兩個(gè)

41、不相等的實(shí)數(shù)根即二次函數(shù)y= x2 - 2x- 1有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)”(2)把b=3代入二次函數(shù)得:23y= ax + c x+c2二次函數(shù)與 x 軸交于點(diǎn) A (x1, 0), B (x2, 0) ( x10) 即冷、X2為方程ax2+二c3x+c= 0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根X1 + X2=-2cax= 0 時(shí),2 J. 3y= ax +_c x+c= c(0, C)/ E(1, 0) CE = I - , AE = 1 - X1, BE= X2- 1 / DF 丄 y 軸，OC= OD DF / x 軸EF = CE =，CF =2. /AFC = Z ABC,/ AEF = Z CEB dL,即卩 AE?BE = CE?EFCE BE( 1 X1) (X2 1 )= 1+c2展開得：21+c = X2 1 X1