D121常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)39935PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D121常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)39935引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形, 這個(gè)和逼近于圓的面積 A .0a1a2ana設(shè) a0 表示,時(shí)n即naaaaA210內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正邊形面積為n23第1頁(yè)/共23頁(yè)把0,1區(qū)間三等分, 舍棄中間的開(kāi)區(qū)間),(3231,31將剩下的兩個(gè)子區(qū)間分別三等分,并舍棄在中間的開(kāi)區(qū)間, 如此反復(fù)進(jìn)行這種“棄中”操作,問(wèn)丟棄部分的總長(zhǎng)和剩下部分的總長(zhǎng)各是多少？丟棄的各開(kāi)區(qū)間長(zhǎng)依次為,232,3232,4332,321nn故丟棄部分總長(zhǎng)nnl3232323

2、231143322丟1323322323231)()()(1n1321131剩余部分總長(zhǎng)01丟剩ll 剩余部分總長(zhǎng)雖然為0, 但康托爾證明了其成員和實(shí)數(shù)“一樣多”, 它們象塵埃一樣散落在0,1區(qū)間上, 人們稱(chēng)其為康托爾塵集.01313291929798(此式計(jì)算用到后面的例1)第2頁(yè)/共23頁(yè)小球從 1 m 高處自由落下, 每次跳起的高度減問(wèn)小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說(shuō)明道理.由自由落體運(yùn)動(dòng)方程221tgs 知gst2則小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g12 63. 2( s )設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時(shí)間, (此式計(jì)算用到 后面的例1)少一半

3、,第3頁(yè)/共23頁(yè)給定一個(gè)數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依,1nnu即1nnunuuuu321稱(chēng)上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)， 其中第 n 項(xiàng)nu叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和nkknuS1稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.nuuuu321次相加, 簡(jiǎn)記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱(chēng) S 為級(jí)數(shù)的和和, 記作第4頁(yè)/共23頁(yè)1nnuS當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱(chēng)差值21nnnnuuSSr為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng).,lim不存在若nnS則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散 .顯然0limnnr第5頁(yè)/共23頁(yè) (又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱(chēng)為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaq

4、aaSqqaan1時(shí)，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而qannS1lim因此級(jí)數(shù)收斂 ,;1 qa,1時(shí)當(dāng)q,limnnq由于從而,limnnS則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為第6頁(yè)/共23頁(yè)2). 若,1q,1時(shí)當(dāng)qanSn因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,1時(shí)當(dāng)qaaaaan 1) 1(因此nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .則,級(jí)數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.)0(,0aqann第7頁(yè)/共23頁(yè) .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1

5、ln2(ln) 1ln( n）n(所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求和23ln34lnnn1ln第8頁(yè)/共23頁(yè)(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求和第9頁(yè)/共23頁(yè)判別級(jí)數(shù)2211lnnn的斂散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln

6、(1n, 2lnlimnnS故原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為.2ln第10頁(yè)/共23頁(yè)性質(zhì)性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)1nnuc也收斂 ,證證: 令,1nkknuS則nkknuc1,nScnnlimSc這說(shuō)明1nnuc收斂 , 其和為 c S . nnSclim說(shuō)明說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .第11頁(yè)/共23頁(yè),1nnuS1nnv則級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S證證: 令,1nkknuS,1nkknv則)(1knkknvu nnS)(nS這說(shuō)明級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S第12頁(yè)/共23頁(yè)說(shuō)

7、明說(shuō)明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ( 1) ,nnu 取1( 1),nnv 0nnvu而(1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減 .(用反證法可證)第13頁(yè)/共23頁(yè)在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證證: 將級(jí)數(shù)1nnu的前 k 項(xiàng)去掉,1nnku的部分和為nllknu1knkSSnknS與,時(shí)由于n數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為.kSS 類(lèi)似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)第14頁(yè)/共23頁(yè)收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成

8、的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS若按某一規(guī)律加括弧,)()(54321uuuuu則新級(jí)數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(mm為原級(jí)數(shù)部分和序列 ),2,1(nSn的一個(gè)子序列,nnmmS limlimS推論推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但1111發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如第15頁(yè)/共23頁(yè)設(shè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS則必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見(jiàn): 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則

9、級(jí)數(shù)必發(fā)散則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項(xiàng)為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.nun,時(shí)當(dāng)?shù)?6頁(yè)/共23頁(yè)0limnnu并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .事實(shí)上事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假設(shè)不真 .21第17頁(yè)/共23頁(yè)141141131131121121解解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散 ,從而

10、原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nn121第18頁(yè)/共23頁(yè);!e) 1 (1nnnnn解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!ennnnnu 則nnuu1nn)1 (e1),2, 1(1n故e11uuunn從而,0limnnu這說(shuō)明級(jí)數(shù)(1) 發(fā)散.111)1 (e)1 (nnnn11)1(! )1(ennnnnnnn!e第19頁(yè)/共23頁(yè)123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進(jìn)行拆項(xiàng)相消進(jìn)行拆項(xiàng)相消,41limnnS這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn(2) 第20頁(yè)/共23頁(yè)1212)3(nnn