大學物理角動量1

1、mgy系統(tǒng)在位置系統(tǒng)在位置a的勢能等于把系統(tǒng)從該位置經(jīng)任意路的勢能等于把系統(tǒng)從該位置經(jīng)任意路徑移到勢能零點時保守力所作的功徑移到勢能零點時保守力所作的功零勢點保apaErdF 勢能的表述bapapbpbpaEEEErdFA)(保保20)(21rrk rmGm0 設系統(tǒng)由設系統(tǒng)由n個質點組成個質點組成,對其中第對其中第i個質個質點點(質量為質量為mi )應用動能定理應用動能定理,有有2022121iiiiiiivmvmAAA外內式中：式中：i=1,2,3,。m1mimnFnfinF1Fifnif1ifi1f1nfn1質點系的動能定理內力做的功能抵消么？不能不能ijjrirO0KKEEAA內外 A

2、內內=A保守內力保守內力+A非保守內非保守內 A保守內力保守內力= -(Ep-Ep0)A外外+A非保守內非保守內=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 上次內容回顧0KKEEAA內外0AA非保守內外 例題例題4如圖所示，光滑地面上有一輛質量為如圖所示，光滑地面上有一輛質量為M的靜止的靜止的小車，小車上一長為的小車，小車上一長為L的輕繩將小球的輕繩將小球m懸掛于懸掛于o點。點。把繩拉直，將小球由靜止釋放，求小球運動到最低點把繩拉直，將小球由靜止釋放，求小球運動到最低點時的速率。時的速率。 TmgvoLmM221mvmgL gLv2 系統(tǒng)系統(tǒng)(m+地球地球)機械能不守恒：機械能不守恒： 系統(tǒng)系統(tǒng)

3、(M+m+地球地球)機械能守恒：機械能守恒： 222121MVmvmgLmMMgLv2 0= MV-mv 例題例題5半徑為半徑為R 、質量為、質量為M且表面光滑的半球，放且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一質量為在光滑的水平面上，在其正上方放置一質量為m的的小物體，當小物體從頂端無初速地下滑，在如圖所小物體，當小物體從頂端無初速地下滑，在如圖所示的示的 角位置處，開始脫離球面，試求：角位置處，開始脫離球面，試求： (1) 角滿角滿足的關系式；足的關系式；(2)分別討論分別討論m/M1時時cos 的取。的取。 vrMmRmgNVx0cosxMVmv222121)cos1 (xM

4、VmvmgRxVMvm相對地，相對地速率設xy 小物體脫離球面前相對球面作圓運小物體脫離球面前相對球面作圓運動，沿法向有動，沿法向有 mgcos -N=mvr2/R 脫離球面的條件是：脫離球面的條件是：N=0。vrMmRmgNVxxxVMvxvm相對地，軸分量，其相對地速率設rvMm速率相對設0 xxMVmv222121)cos1 (xMVmvmgRcos vvx注意：此時注意：此時M是慣性系是慣性系vrMmRmgNVx0 xxMVmv222121)cos1 (xMVmvmgRxy對地對對地MMmmvvvxrxVvvcos222)sin()cos(rxrvVvv02cos3cos3mMm解得：

5、解得： mgcos =mvr2/R sinryvv (2) 當當m/Mm時時, cos =2/3 這相當于這相當于M不動的情況。不動的情況。 當當m/M1,即即mM時，有時，有 cos3 -3cos +2=0分解因式得分解因式得 (cos -1)2(cos +2)=0 cos =1 , =0這表明，這時這表明，這時M一下子滑出，一下子滑出，m豎豎直下落。直下落。02cos3cos3mMmvrMmRmgNVx能量部分小結能量概念的引入能量概念的引入功的計算功的計算質點動能定理質點動能定理機械能守恒定律機械能守恒定律保守力的概念保守力的概念質點系動能定理質點系動能定理勢能勢能功能原理功能原理功的計

6、算功的計算是核心是核心處理問題的手法的處理問題的手法的靈活性，利用特點靈活性，利用特點做文章做文章守恒條件，守恒條件，相對運動相對運動第三章 剛體力學教材中對角動量這個概念敘述的不充分教材中對角動量這個概念敘述的不充分結構安排不合理結構安排不合理先講角動量，再講剛體先講角動量，再講剛體剛體的平動和轉動平動：如果剛體在運動中平動：如果剛體在運動中,剛體內任何兩點的連線在剛體內任何兩點的連線在空間的指向始終保持平行空間的指向始終保持平行,這樣的運動就稱為平動。這樣的運動就稱為平動。轉動：如果剛體內的各個質點都繞同一直線轉動：如果剛體內的各個質點都繞同一直線作圓周運動作圓周運動,這種運動便稱為轉動這

7、種運動便稱為轉動OR所繞的這一直線稱作轉軸所繞的這一直線稱作轉軸轉軸固定不動稱為定軸轉動轉軸固定不動稱為定軸轉動剛體的一般運動比較復雜。剛體的一般運動比較復雜。但可以證明但可以證明,剛體一般運動剛體一般運動可看作是平動和轉動的結可看作是平動和轉動的結合合OR剛體的平動和轉動剛體問題的研究思路在研究清楚了質點問題后，我們將剛體看成無數(shù)個在研究清楚了質點問題后，我們將剛體看成無數(shù)個質點組成，通過研究這無數(shù)質點的運動，來研究整質點組成，通過研究這無數(shù)質點的運動，來研究整個剛體的運動規(guī)律個剛體的運動規(guī)律借助的工具就是微積分借助的工具就是微積分無論是從內容上還是從方法上，無論是從內容上還是從方法上，質點

8、力學是剛體力學的基礎。質點力學是剛體力學的基礎。MFLPIm 質質點點力力學學剛剛體體力力學學212112ttLLLLLddtM12IIdtF物理學研究問題的一個基本思想在在繼繼承的基承的基礎礎上上進進行行創(chuàng)創(chuàng)新新在遇到新問題的時，應該去研究前人解決類似問題的做在遇到新問題的時，應該去研究前人解決類似問題的做法：即從原有的成熟的理論中尋找借鑒法：即從原有的成熟的理論中尋找借鑒我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，所學習的新理論和學過的一我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，所學習的新理論和學過的一些理論盡管內容不同，但形式上、方法上、思些理論盡管內容不同，但形式上、方法上、思想上總有些千絲萬屢的聯(lián)系想上總有些千絲萬屢的聯(lián)系212112t

9、tLLLLLddtM12IIdtFMFLPIm 質質點點力力學學剛剛體體力力學學 繼承與創(chuàng)新問題小結 排名第二的指導思想在遇到新問題的時，應該去研究前人解決類似問題的做在遇到新問題的時，應該去研究前人解決類似問題的做法：即從原有的成熟的理論中尋找借鑒法：即從原有的成熟的理論中尋找借鑒我們在遇到新問題時，除了首先從近似處理問題的角度去分析之外，還要從繼承和創(chuàng)新的角度去思考描述定軸轉動的物理量描述剛體的運動時描述剛體的運動時,用角量最為方便。即我們曾用角量最為方便。即我們曾討論過的角位置討論過的角位置、角速度、角速度、角加速度、角加速度等概等概念以及有關公式念以及有關公式為什么角量為什么角量方便呢

10、？方便呢？Lrmvdo質點的角動量vmrprL 質點對質點對o點的角動量的大小點的角動量的大小,等于質點的動量與等于質點的動量與o點到點到動量的垂直距離動量的垂直距離d的乘積的乘積,即即L=Pd。L=rpsin =mvrsin =mvd 在慣性參考系中選一固定的參考點在慣性參考系中選一固定的參考點o,質點對質點對o的位的位矢為矢為 ,動量為動量為 ,則質點對則質點對o點的角動量點的角動量(也稱動量矩也稱動量矩)為為rp L=Pr=mvr =mr2. LL 若一質量為若一質量為m的質點以角速度的質點以角速度 沿半沿半徑徑r的圓周運動的圓周運動(如圖如圖),質點對給定點質點對給定點o(圓心圓心)的

11、角動量的大小的角動量的大小角動量的大小和方向不僅決定于質點角動量的大小和方向不僅決定于質點的動量的動量,也依賴于所選定的參考點也依賴于所選定的參考點,即即參考點不同參考點不同,質點的角動量也不同質點的角動量也不同vmrprL質點的角動量Lrmvdo物理學研究問題的模式質點運動質點運動的描述的描述質點質點運動學運動學質點質點動力學動力學引入物理量，引入物理量，來描述我們來描述我們的研究對象，的研究對象，并給出物理量并給出物理量之間關系之間關系建立定律來給建立定律來給出這些物理出這些物理量是如何隨時量是如何隨時間變化間變化角動量作為角動量作為描述質點狀描述質點狀態(tài)的量態(tài)的量什么定律什么定律起到這個

12、起到這個作用呢？作用呢？vmrprLFrdtLdprLdtLddtLdMpdtrddtpdr質點角動量定理FrM 合外力對固定點合外力對固定點o的力矩的力矩質點角動量的時間變化質點角動量的時間變化率等于所受的合外力對率等于所受的合外力對同一點的力矩同一點的力矩Lrmvdo力矩：力矩：FrModdtLdM質點角動量定理和對哪一點有關和對哪一點有關向線段為參考點到作用點的有rFrMprLFdM 212112ttLLLLLddtMFrMod上式左端的積分稱為沖量矩。合外力矩的沖量矩等于上式左端的積分稱為沖量矩。合外力矩的沖量矩等于質點角動量的增量。它是質點角動量定理的積分形式質點角動量的增量。它是質

13、點角動量定理的積分形式質點角動量定理的積分形式dtLdMLrmvdo如果：如果：0M0dtLd常矢量L質點角動量守恒定律：質點所受的合外力對某一點的力質點角動量守恒定律：質點所受的合外力對某一點的力矩為零，它對同一點的角動量保持不變矩為零，它對同一點的角動量保持不變角動量的優(yōu)勢之一：質點的角動量守恒定律dtLdM常數(shù))(vmrL常數(shù)dtrdmr開普勒第二定律在相等的時間內，行星與太陽在相等的時間內，行星與太陽的聯(lián)線掃過的面積相同的聯(lián)線掃過的面積相同 op太陽太陽FrM0矢量式kMjMiMMzyxkLjLiLLzyxdtdLMdtdLMdtdLMzzyyxxdtLdMprLFrMnnppprrr

14、.,.,2121動量分別為分為別它們的位置矢量系設有個質點組成的質點質點系的角動量定理)()(111131211prdtdfffFrnm1mimnFnfinF1Fifnif1ifi1f1nfn1)()(222232122prdtdfffFrn)()(131nnnnnnnnprdtdfffFriiiFr內力矩能抵消么？iiiprdtd)(ijjrirjirroiiiiiiprdtdFr)(iiiprL)(體系總角動量iiiFrMLdtdM質點系角動量的時間變化率等于各點受到所質點系角動量的時間變化率等于各點受到所有外力對同一點力矩的矢量和有外力對同一點力矩的矢量和質點系的角動量定理 解解 j t

15、bi tadtrdcossin)(mrLrmk tabm2sink tabm2coskabm 例題例題1 一質點的質量為一質點的質量為m，位矢為：位矢為： (式中式中a、b、 均為常量均為常量);求求質點對坐標原點的角動量及它所受的力矩。質點對坐標原點的角動量及它所受的力矩。jwtbi tarsincosjwtbi tarsincosdtda質點所受的力矩質點所受的力矩:j tbi tadtrdcossin)sincos(2j tbi taFrM0FrMamFjwtbi tarsincosr2rm2 解解 小球對小球對o點的角動量守恒點的角動量守恒0rFom 例題例題2，如圖所示，一細繩穿過光

16、滑水平桌面上的小，如圖所示，一細繩穿過光滑水平桌面上的小孔孔o，繩的一端系有一質量為，繩的一端系有一質量為m的小球并放在桌面上；另的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。設開始時小球以角速度一端用力往下拉住。設開始時小球以角速度 0繞孔繞孔o作作半徑半徑r的勻速圓周運動的勻速圓周運動,現(xiàn)在向下緩慢拉繩，直到小球作現(xiàn)在向下緩慢拉繩，直到小球作圓周運動的半徑為圓周運動的半徑為r/2時止，求這一過程中拉力的功。時止，求這一過程中拉力的功。r2v0202020) r(m23) r(m21) r2(m21A2rmvrrm0RMmGmo 221 解解 火箭只受引力火箭只受引力(保守力保守力)作用，機械能守

17、恒：作用，機械能守恒：RMmGm3212 例題例題3 質量為質量為m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度 o沿地球表沿地球表面發(fā)射出去，如圖所示。火箭面發(fā)射出去，如圖所示。火箭A的運動軌道與地軸的運動軌道與地軸oo 相交于距相交于距o為為3R的的C點。不考慮地球的自轉和空氣阻力，點。不考慮地球的自轉和空氣阻力，求：求： =？(設地球的質量為設地球的質量為M、半徑為、半徑為R) Co AMRo3Rmd0vRMmGmo 221 對對o點的角動量守恒：點的角動量守恒： m oR =)43(322GMRRsinoo 解得解得RMmGm3212 m 3Rsin Co oAMRo3Rmd是多少？端重物上

18、升的速度上爬時當人相對繩以勻速人從靜止向上爬設系一與人等重的重物另一端了繩的一端的人抓住質量為一輕繩繞過一輕定滑輪例VBuBAm, 4Vu解：體系對解：體系對O點角動量守恒點角動量守恒O繩地人繩人地VVVBxVuV則人對地的速度為物體對地的速度為 ,RrvmmVRRVum)( 0Vu2體系對體系對O點角動量守恒點角動量守恒O 剛體的定剛體的定軸轉動軸轉動 剛體的角動量剛體的角動量=剛體上各個質點的角動量之和。剛體上各個質點的角動量之和。設剛體以角速度設剛體以角速度繞固定軸繞固定軸z轉動轉動,質量為質量為mi的質點對軸的角動量為的質點對軸的角動量為 Li=miviri=mi ri2整個整個剛體對

19、剛體對z軸的角動量軸的角動量就是就是 L=( mi ri2) I= mi ri2,稱為稱為剛體對剛體對z軸的軸的轉動慣量轉動慣量。mivirioL ZIL 剛體定軸轉動的角動量軸方向zIL, I= mi ri2 即：剛體的轉動慣量等于剛體中各質點的即：剛體的轉動慣量等于剛體中各質點的質量乘以它們各自到轉軸距離的平方的總和。質量乘以它們各自到轉軸距離的平方的總和。dmrI2r為剛體上的質元為剛體上的質元dm到轉軸的距離。到轉軸的距離。質量連續(xù)分布剛體質量連續(xù)分布剛體和轉軸有關和轉軸有關,和物體的質量和質量分布有關和物體的質量和質量分布有關轉動慣量的計算lllcrommm IO=ml2+ml2=2ml2 例題例題1 質量離散分布剛體：質量離散分布剛體： I= mi ri2 (1)正三角形的各頂點處有一質點正三角形的各頂點處有一質點m，用質量，用質量不計的細桿連接不計的細桿連接,如圖。系統(tǒng)對通過質心如圖。系統(tǒng)對通過質心C且垂且垂直于三角形平面的軸的轉動慣量為直于三角形平面的軸的轉動慣量為)33(lr 23mrIc2iiirmI由公式：通過通過o點且垂直于三角形點且垂直于三角形平面的軸的轉動慣量為平面的軸的轉動慣量為,2mldmxILLC222Cxxdxdm 例例2質量為質量為m、長度為