圓錐曲線教案曲線的交點(diǎn)教案

1、名師精編 優(yōu)秀教案第二章 圓錐曲線教案 曲線的交點(diǎn)教案教學(xué)目標(biāo)1 .領(lǐng)會(huì)研究曲線間位置關(guān)系的方法及學(xué)會(huì)弦長(zhǎng)的求法；2 .初步學(xué)會(huì)解析法，培養(yǎng)學(xué)生一般解題能力，滲透分類討論的思想；3 .培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和積極探索的精神.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)研究曲線與直線位置關(guān)系的解析方法為教學(xué)重點(diǎn)；弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)為教學(xué)難點(diǎn).教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)并引入新課師：設(shè)直線11和12的方程分別是： a1x+b1y+c1=0 , a2x+b2y+c2=0 ,怎樣通過(guò)方程來(lái)研究 11 與12的位置關(guān)系呢？生：從直線方程求出斜率；若斜率相等，則無(wú)交點(diǎn)；若斜率不相等則有交點(diǎn).師：好！是一個(gè)好辦法.但是，有局限性嗎？生：有.當(dāng)直線斜率

2、不存在時(shí)，此方法不能用.師：可以改進(jìn)嗎？生：可以.如一條斜率存在，一條不存在，則相交；如都不存在，則平行.師：非常好.但似乎有兩個(gè)小缺點(diǎn)，一是方法不統(tǒng)一；二是當(dāng)判斷出直線有交點(diǎn)時(shí)，還要再去求交點(diǎn).那交點(diǎn)又怎樣求呢？生：（若學(xué)生答：“可解方程組”，則老師要順?biāo)浦?，自然引出?duì)“充要性”的談話.）師：現(xiàn)在請(qǐng)大家考慮一下，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程之間有怎樣的關(guān)系？生：直線上點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解；以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線上.師：那兩條直線的交點(diǎn)與兩條直線的方程之間有什么關(guān)系？f生；兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組,a逐+的解.b2y = 0.師：請(qǐng)大家更深一步地思考： 方程組有唯一解是兩直線有交點(diǎn)的什么條件

3、？請(qǐng)說(shuō)明理由. 生：（略.） 二、新課（一）直線與曲線的交點(diǎn)師：求兩直線交點(diǎn)的方法能否推廣到兩曲線呢？大家討論討論.生：（回答略.主要從“曲線方程”的定義入手.）師：非常好，大家討論得很熱烈.根據(jù)大家的討論，我想可以把大家的想法歸結(jié)為3條，1.由曲線方程定義出發(fā)解釋：兩曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解；2 .方程組有幾組實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，兩條曲線就沒(méi)有交點(diǎn)；3 .求曲線交點(diǎn)的代數(shù)法 （或解析法）就是求它們的方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解.下面看看具體問(wèn)百 例1求直線y = 3n-2與拋物線 =產(chǎn)的交點(diǎn).題：2解（略.）（此例學(xué)生做.教師巡視，發(fā)現(xiàn)問(wèn)

4、題及時(shí)解決.師：此題是求直線與拋物線的交點(diǎn)，其中直線y=3x-2是以“斜截式”表示的.請(qǐng)問(wèn)直線經(jīng)過(guò)哪個(gè)特殊點(diǎn)？生：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0, -2）.師：好！大家對(duì)直線方程的掌握還不錯(cuò)，現(xiàn)在我把問(wèn)題引申出來(lái).名師精編 優(yōu)秀教案引申：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0, -2）的直線與拋物線=/有交點(diǎn)嗎7有幾個(gè)7生：從剛才例1可知，直線斜率為 3時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn).師：反應(yīng)很快嘛！但是，我們是討論所有經(jīng)過(guò)（0, -2）點(diǎn)的直線.生：那就把經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0, -2）的直線方程表示出來(lái)，聯(lián)立方程組，討論方程組的實(shí)數(shù)解.師：怎樣表 示過(guò)點(diǎn)（0, -2）的直線？生：表示為“ y=kx-2，這是斜截卡i師：下面我們來(lái)看看過(guò)（0, -2）的直線與拋物線 =

5、1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)式.2情況.（演示電腦動(dòng)畫(huà)）師：看過(guò)演示后，大家是否受到啟發(fā)？說(shuō)說(shuō)自己的想法.生1:直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是一個(gè)、兩個(gè)或沒(méi)有（即0個(gè)）.生2:圖2-13, 2-15, 2-17都有一個(gè)交點(diǎn).但是總感覺(jué)圖2-15與圖2-13, 2-17還有些不一樣.師：怎么不一樣？我們?cè)倏纯丛谶@個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn).（再演示一遍）師：圖2-15的一個(gè)交點(diǎn)與圖 2-13, 2-17究竟有什么不一樣呢？生：圖2-13, 2-17是兩個(gè)交點(diǎn)重合為一個(gè)，圖2-15是因?yàn)橹本€與拋物線的對(duì)稱軸重合.師：好！交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題從圖上是看出來(lái)了.那剛才大家指出的方法該如何修正呢？生：把過(guò)（0, -2）的直線表

6、示為“ y=kx-2”忽略了斜率不存在的情況.應(yīng)分類討論： 1 0當(dāng)斜率存 在時(shí)，設(shè)直線為y=kx-2,聯(lián)立方程組，解之.2。當(dāng)斜率不存在時(shí)， 直線與x軸垂直，記為x=0.的直線與-2）, （0師：現(xiàn)在就請(qǐng)大家動(dòng)手算一算，在什么條件下，過(guò).旬市蚌第-，有兩個(gè)交點(diǎn)，1個(gè)交點(diǎn)沒(méi)有交點(diǎn)？名師精編優(yōu)秀教案_有唯一解（0,0）.即此時(shí)只有一個(gè)交（y =kk-2,1 37 = 2f ,解之得：k2或k-2時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；k=2時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；-2k0, = a0,的解的個(gè)數(shù)及直線與圓的位置關(guān)系三者間建立了怎樣的關(guān)系?生：（答略）（演示：電腦動(dòng)畫(huà)一一直線與圓的位置關(guān)系）位置關(guān)系；相離判別h。 方程組解的個(gè)數(shù)

7、：方程我無(wú)解方程組有一解方程組有兩解（熊兩個(gè)相同解）（或蔭個(gè)不同解）師：現(xiàn)在請(qǐng)大家把例 1,例2在解法上的相同之處總結(jié)一下.生：例1,例2都是把直線方程與曲線方程聯(lián)立成方程組，通過(guò)消元變成一元二次方程，再通過(guò)解方程或根的判別式來(lái)解決問(wèn)題.師：這兩題在結(jié)果上有什么相同與不同嗎？個(gè)；0生：相同之處：直線與拋物線，圓的交點(diǎn)，個(gè)數(shù)都是兩個(gè)，一個(gè)，名師精編 優(yōu)秀教案不同之處：直線與拋物線交點(diǎn)為1個(gè)時(shí)，有可能是切點(diǎn)， 即兩個(gè)重合為一個(gè)； 也有可能就只有一個(gè)交點(diǎn)（當(dāng)直線與對(duì)稱軸平行時(shí)）.（二）弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)師：通過(guò)剛才的兩個(gè)例題， 大家基本掌握了求交點(diǎn)及交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法.現(xiàn)在我們來(lái)看看另一個(gè)與交點(diǎn)密切聯(lián)系的問(wèn)

8、題一一弦長(zhǎng)問(wèn)題.（從“圓的弦”引入介紹一下“曲線的弦”）例3求下列直線被拋物線y二g /截得的線段長(zhǎng).333y -b ； v = 3k + - ； y =.二hlm師：請(qǐng)問(wèn)，怎樣求線段長(zhǎng)？生：利用兩點(diǎn)間距離公式1d =必一叼產(chǎn)+ （力-丫工廠,（解略）要求先做第1個(gè)小題.（交點(diǎn)：（一1,!）， g, 4 n 4柩師：不求出交點(diǎn)是否可以求出弦長(zhǎng)？生：也可以,因?yàn)閐 =1的-工了十的一力尸，只求出（町-*京）2與 （力功/就可以.3y（解略）解方程組（“得；/-0,1 2.33 nr所以（力-七,=（k1 -2）2 =16所以（x1-x2）2=（x1+x2）2 -4x1x2=16 ,(通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)

9、后一方法簡(jiǎn)捷，然后讓大家動(dòng)手做. 在解時(shí)，會(huì)有以下式子出現(xiàn)：(y1-y2)2=(x1 -x2)2 x 32;(y1-y2)2 = (x1-x2)2 xk2.于是有，= j/1-年乂(1 + 32)于d=21m總結(jié)，并引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：弦長(zhǎng)的求法，方程組 上一一元二次方程 判加 刑犯)長(zhǎng)幺式d=j(xt2)t + k)2.師：若消元時(shí)消掉 x,得到的是關(guān)于 y的一元二次方程，求出的是(y1-y2)2.那么弦長(zhǎng)公式又會(huì)是什么樣?生；(猜想j d=卜-力尸(42).名師精編優(yōu)秀教案，師：為什么？能否證明？生；從丫=0+另可得：x(證略.)(或兩曲線的位置關(guān)系)問(wèn)題，以及求弦長(zhǎng)的三、小結(jié)通過(guò)本節(jié)課我們

10、看到，求曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，交點(diǎn)個(gè)數(shù) 問(wèn)題，都是通過(guò)研究方程組的解來(lái)解決問(wèn)題.這就是解析幾何的基本指導(dǎo)思想.四、布置作業(yè):l求直線2工-5y+5 = 0與曲線y =-w的交點(diǎn).2.求經(jīng)過(guò)兩條曲線 x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交點(diǎn)的直線的方程.設(shè)計(jì)思想在解析幾何中，求“曲線交點(diǎn)”的問(wèn)題，并非解析幾何的重要問(wèn)題.但是，有很多問(wèn)題要通過(guò) “求交點(diǎn)”才能解決；也就是說(shuō)，“求交點(diǎn)”是解決問(wèn)題的一種工具.更重要地，“求交點(diǎn)”的問(wèn)題中蘊(yùn)含了解析幾何的基本思想一一通過(guò)研究方程或方程組的解的問(wèn)題來(lái)解決幾何問(wèn)題.因此，本節(jié)課的“教學(xué)目標(biāo)”和“教學(xué)重點(diǎn)”就定在了 “研究曲線與直線位置關(guān)系的解決

11、方法”這一點(diǎn)上.并且在教學(xué)過(guò)程中突出了 “直線(曲線)方程一一方程組一一方程的解一一曲線的交點(diǎn)”這樣一個(gè)轉(zhuǎn) 化過(guò)程來(lái)突出解析幾何的基本思想.在完成這一目標(biāo)的過(guò)程中，注意了能力的培養(yǎng).首先再說(shuō)明的是，由于還未系統(tǒng)學(xué)習(xí)“圓錐曲線”，因此，在設(shè)計(jì)例題和選擇曲線的過(guò)程中受到很多限制.但是，本節(jié)課的主要任務(wù)并不能因?yàn)榍€類型的限制而受到制約，所以，我們選擇了在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)見(jiàn)過(guò)的拋物線y=ax2+bx+c和同學(xué)們都非常熟悉的圖. 例1設(shè)計(jì)為求交點(diǎn)的題目， 沒(méi)有什么特別的地方， 主要是讓學(xué)生熟悉求交點(diǎn) 的方法.但是在解題后把問(wèn)題引申為：“過(guò)定點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)”問(wèn)題，以及例 2的“平行直線系與圖的交點(diǎn)

12、問(wèn)題”就把“求交點(diǎn)”的問(wèn)題放在了 “運(yùn)動(dòng)變化”的圖形中.這樣一來(lái)，就 把“求交點(diǎn)”的問(wèn)題提高了一個(gè)高度：一方面，再一次強(qiáng)調(diào)了解析幾何的基本思想；另一方面， 通過(guò)直線的運(yùn)動(dòng)變化，首先說(shuō)明的是“直線與曲線位置關(guān)系”在變化，同時(shí)，“解的個(gè)數(shù)”也在變化，從而體現(xiàn)了 “數(shù)形之間”的聯(lián)系，也就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).通過(guò)自制軟件的演示增強(qiáng) 了直觀性；同時(shí)，通過(guò)演示“過(guò)定點(diǎn)的直線系與拋物線的交點(diǎn)”，還讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在處理這一問(wèn)題時(shí)的漏洞，從而需“分類討論”.從而培養(yǎng)了學(xué)生的能力.至于“求弦長(zhǎng)的公式”則是“求交點(diǎn)”問(wèn)題的應(yīng)用，主要是說(shuō)明“求交點(diǎn)”是一種工具.為了讓 學(xué)生自己總結(jié)出求弦長(zhǎng)公式，特意設(shè)計(jì)了33孑3條直線；qy = k +; y = 3k + 7 =值-5,第1條，k = l,有(町- wmhx2)2=(y1 -y2)2;第 2 條,k=3 ,從而(y1 -y2)2=(x1 -x2)2 x 32;第 3 條,很自藕精】例-力=(均-而/,從畔廿艮懿峭出席d=而百而碼.并進(jìn)一步提問(wèn)，“若先求出(yi-y2)2,弦長(zhǎng)公式會(huì)是什么樣？ ”學(xué)生很容易就通過(guò)直線方程得出&三而公