2019_2020學年高中數學第二章推理與證明2.2.1綜合法和分析法課件新人教A版選修2_2

1、學習1 T解直接證明的兩種基本方法靄蔦g思考過程、牘綜合法和分析法. 會用綜合法和分析法綜合法利用已知條件和某些數 學定義、定理.公理定等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這 種證明方法叫做綜合法至最后，把要證明的結論歸結為脅新和提煖,綜合法和分析法分析法從要證明的結論出發(fā)，逐步 尋求使它成立的充分條件,直 判定一個明顯成立的條件（已知 條件、定理、定義、公理 等）為止，這種證明方法叫做分 析法綜合法分析法框 圖 表 示屁卜g亦也今3|7今1（P表示已知條件、已有的定義、定理、 公理等，0表示所要證明的結論）0出PlUP：P2$P3 J f尋到一個明顯 我立的條件（0表示要

2、證明的 結論）特點順推證法或由因導果法逆推證法或執(zhí)果索 因法1. 綜合法的特點綜合法的特點是從“已知”看“未知”，逐步推理，實際上是尋 找使結論成立的必要條件.2. 綜合法的書寫格式從已知條件出發(fā)，順著推證，由“已知”得“推知”，由“推知” 得未知”，逐步推出求證的結論，這就是順推法的格式，它的 常見書面表達是“因為，所以”或“今”3. 分析法的特點（1）分析法的特點是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已 知”，其逐步推理的過程，實際上是尋找使結論成立的充分條件.自我嘗試r判斷正誤(正確的打“V”(1)綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法.(2) 分析法就是從結論推向已知()(3) 分析法與綜合法證明同一

3、個問題時，過程相逆.()X” )般思路恰好相反,答案：(1) X (2) X (3) V1下面對命題“函數/（X）=兀+三是奇函數”的證明不是用綜 合法的是（）1（ 1）A. VxeR 且兀HO 有f （x） = （x） +=兀+一X XJ= /&），所以/（X）是奇函數1 1B. Vx&R 且兀工0 有f （x） +/（兀）=兀+一+ （x）XX=0,所以/（x） =/（兀），所以/（X）是奇函數f ( x )C. VxeR且兀HO,因為f (x) HO,所一=./r-P-X=一1，所以/(-x) =/(x),所以/(x)是奇函數D. 取x=-lf 則/(一1) =一1+占=一2,又f (1

4、) =1+|=2,則/(-I) =-/(!),所以/(x)是奇函數解析：選D.A, B, C選項中的證明過程都是“由因導果”，因此是綜合法，而選項D是特值法驗證，并不能證明命題.C.充要條件D.既不充分也不必要條件用分析法證明：要證AB,只需證切，這里是的( )B.必要條件A.充分條件解析：選B.分析法證明的本質是證明結論的充分條件成立，即 是的充分條件，所以是的必要條件.欲證書,只需證（）A. （書+申）2 （書+&） 2B. （迄&） 2 （羽羽）2C. （迄帝）2 （&羽）2D. （迄帝&） 2 （ a/7） 2解析：選A欲證迄一逅v&，只需證迄+pv羽+&, 只需證（迄+帀）26abc

5、【證明】因為b, C是正數, 所以 b2-c22bcf 所以 a （滬+/） 2abc. 同理，b （c2+a2） Plabc,c (a2+2) $2abc.因為a, b, c不全相等，所以 b2-c22bcf c2a22caf a2b22ab 式中不能同時取 到“=”.所以式相加得a (Z2+c2) +方(c2+a2) +c (a2+Z2) 6abc.綜合法證明問題的步驟分析條件選擇方向轉化條件組織過程適當調整回顧反思:分析題目的已知條件及已知與結 X論之間的聯系，選擇相關的定理、;公式等，確定恰當的解題方法;:把已知條件轉化成解題所需要的: 語言，主要是文字、符號、圖形三; 、種語言之間的

6、轉化;-進當選一驟適的-步行法-分進方 一部言題-對語解一可些結一，一總一程對思-過并反 一題，-解整飾一顧調修-回行的取已1跟蹤訓練1如圖，在四棱錐PABCD中,PC丄平面ABCD,AB/DC, DCAC.(1)求證：DC丄平面B4C；(2)求證：平面丄平面B4C 證明：(1)因為PC丄平面ABCD,所以PC1.DC. 又因為DC丄AC,且PCC1AC=C,所以DC丄平面E4C.(2)因為ABDC, DC丄AC,所以AB丄AC 因為PC丄平面ABCD,所以PC丄AB.又因為PCDAC=C,所以AB丄平面B4C又ABc平面PABf所以平面PAB丄平面PAC.2求證：sin (2a+/?) =s

7、in+2sin cccos (a+/?) 證明：因為 sin (2a+/?) 2sin acos (a+/?)=sin (a+/?) +a2sin acos (a+/?)=sin (a+/?) cos a+cos (0, 即證 a2+c2方 20.由于 a2+c2b22acb2, 要證, + c2滬0,只需證2acb20.因為“，b, C的倒數成等差數列,所以十+抹即 2ac=b (a+c)要證2ac滬0,只需證b (a+c)方20,即 b (“+c)0,上述不等式顯然成立，所以B為銳角.分析法證明數學問題的方法:對于一些條件復雜、結論簡單的證明，經常用: :綜合法而對于一些條件簡單、結論復雜

8、的證: 1明，常用分析法：、/分祈法證明思路是從要證明的齧論出疣逐 :步尋求它成立的充分條件，最后得到的充分1 1條件是已知（或已證）的式子：K/用分析法證明數學命題時，一定要恰當地用: :好“要證” “只需證” “即證”等詞語1 y跟蹤訓練i.當+方0時，求證：寸/+方（“+方）.證明：要證W+bhf （a+b）, 只需證（y/r+b?） 2$ * （a+方）2, 即證,+方2工（/+滬+加方），即證 a2+b22ab.因為a2+b2b對一切實數恒成立, 所以la2+b2- （a+方）成立.2已知非零向量b,且0丄方，求證:lai+ 1勿，廠證明：a丄方oa=0,要證lal + l勿la+洌

9、只需證lal + lIW 邊la+乩只需證1打+21創(chuàng)1劌+1押W2 （/+加力+滬），只需 vEa2+2ab+b22a2+2b2f只需證血卩+ 1勿2-2血I*即證（|甸一|勿）2*上式顯然成立，故原不等式得證.探究點3分析一綜合法的應用例3 AABC的三個內角A, B, C成等差數列，其對邊分別 為 a，b, c求證：（+方）1+ （方+c） t=3 （a+c） _1.【證明】法一：要證（。+）_1+ Q+C）T =3 （a+方+c） ,113即證市+不 即證常+常=3,即證命+氏=1只需證c (b+c) +a (a+方)=(a+b)(方+c),只需證/+/=“+，因為ZVIBC三個內角A

10、, B, C成等差數列，所以B=60 由余弦定理，有b2=c2-a22cacos60 ,即 b2=c2a2ac, c2+2=ac+Z2,此式即分析中欲證之等式，所以原式得證.法二：因為三個內角4, B, C成等差數列, 所以B=60由余弦定理，有 b2=c2a2laccos 60 ,得c2+a2=ac+b29兩邊同時加ab+bc,得 c （方+c） +“（“+）= （+b） （b+c）, 兩邊同時除以（d+b）（方+c）,得市+尿T所以命+涪+1=3,1 1 3所以 +b+rc=a+b+cf所以（a+b） _1+ （方+c） t=3 （a+方+c）分析法與綜合法是兩種思路相反的推理方法，分析法

11、是倒溯, 綜合法是順推，分析法容易探路，綜合法條理清晰，易于表達, 但思路不太好想，因此在選擇證明方法時，一定要有“綜合性 選取”意識，明確數學證明方法不是孤立的，應當善于將兩種 不同的證明方法結合在一起運用y跟蹤訓練1設a, bW （0, +）,且“工方，求證：/+戻 a2bab2 證明：法一：（分析法）要證 a3+b3a2b +ab2 成立，即需證（a+）（/血+滬）ab （a+）成立.又因a+b0,故只需證a2ab+b2ab成立，即需證a2-2ab+b2d成立，即需證（ab） 2o成立.而依題設aH則（“一方）20顯然成立.由此不等式得證.法二：（綜合法）aH方O。一方HOo （ab）

12、20a2 2aZ+ft20=a2ab+b?ab.因為a0,方0,所以a+b0,所以（a+b） （a2ab+b?） ab （a+方）所以/+滬/方+a方2.b,，丿成等差數列, 求證：（a + 1） 2$2.在某兩個正數工，丁之間插入一個數,使乂 插入兩數方，c,使兀，bf c,丿成等比數列, （ + 1） （c + 1）.f2a=x+j,證明：由已知得b2=cxf=by,122所以 x=Tf y=人22即卄i22從而 2a=+?.c b要證(a + 1) 2$ (方+ 1) (c + 1), 只需證a + M寸(方+ 1) (c + 1)成立. ItIV (方+ 1)+ (c + 1) 口口F

13、只需證a + lM2即可.b2 c2也就是證2ab+c.而2a=+云，c bb2 c2亠則只需證匚+萬鼻方+c成立即可，即證滬+c= (b+c)(滬一方c+c?) M (b+c) be9 即證 b2-c2bcjbc,即證(方一C)2$0成立， 上式顯然成立，所以(a + 1) 2$ a + 1) (c + 1) 蛍當堂檢測r1.如圖所示是解決數學問題的思維過程的流程圖，則在此流程圖 中，兩條流程線與“推理與證明”中的思維方式匹配正確 的是（）廠彳已知）彳可知卜一溝 通讀題円T問題解決未知戶T需知AA綜合法，分析法B分析法，綜合法C綜合法，反證法D分析法，反證法解析：選A.由已知到可知，進而得到

14、結論的應為綜合法；由未 知到需知，進而找到與已知的關系為分析法，故兩條流程 線對應的思維方式分別為綜合法、分析法.2命題對于任意角伏cos4一sin4=cos 2”的證明過程為： cos切一sin= (cos2sin2) (cos2+sin2) =cos2sin2=cos20”，其應用了（）A.分析法C綜合法、分析法綜合使用B.綜合法D.類比法解析：選B從證明過程來看，是從己知條件入手，經過推導得 出結論，符合綜合法的證明思路.3設a, b9 c成等比數列，而小丿分別是a,方和方，c的等差中項，求證:學+彳=2x yb2證明：由題知ca+方方+cQ *=亍 J =c a . c la . 2c 2a亠一=+=|j| I _r_ Ix y ab b+c a+方 1 +c2 2是+為=2,即出=2.2，2疋+7a 課堂知識小結知識結構戸綜合法）一 直接 證明廠g分析法）一-概念-）思維