【教案】2.4.2圓的一般方程 教學(xué)設(shè)計(jì)-高中數(shù)學(xué)人教版（2019）選擇性必修一

1、2.4.2 圓的一般方程一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容圓的一般方程.2.內(nèi)容解析圓是學(xué)生熟悉的基本平面曲線，可以說(shuō)圓是最簡(jiǎn)單的封閉“曲線形”.學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)圓的一些性質(zhì).現(xiàn)在在平面直角坐標(biāo)系中研究圓.根據(jù)確定圓的幾何要素建立圓的方程，通過(guò)圓的方程，運(yùn)用坐標(biāo)法解決一些與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.圓的方程的知識(shí)是平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí).圓的方程具有廣泛的應(yīng)用.結(jié)合以上的分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：掌握?qǐng)A的一般方程并會(huì)求圓的一般方程.教學(xué)難點(diǎn)：與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問(wèn)題.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1) 理解圓的一般方程及其特點(diǎn),體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng).(2) 掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化,展現(xiàn)了數(shù)

2、學(xué)邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).(3) 會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問(wèn)題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的學(xué)科素養(yǎng).2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究圓的一般方程,發(fā)現(xiàn)圓的方程特點(diǎn),即為特殊的二元二次方程.明確圓的一般方程的特點(diǎn),掌握?qǐng)A的方程的算法及與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題.在這一過(guò)程中,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想和方程思想,形成用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的能力.通過(guò)對(duì)圓與圓的方程關(guān)系的研究，豐富了學(xué)生對(duì)曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí).從大的范圍看，這種一一對(duì)應(yīng)反映了數(shù)量關(guān)系與空間形式之間的關(guān)系.有了這種關(guān)系，學(xué)生可以用方程表示曲線，建立方程的幾何直觀表達(dá)，把方程

3、形象化.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的方程，它與其他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用.在這一過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，形成用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的能力. 同時(shí)，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方程，就為后面學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ).也就是說(shuō)，本課內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位.坐標(biāo)法不僅是研究幾何問(wèn)題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法.通過(guò)坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一.本節(jié)兩個(gè)例題，例4是典型的已知不共線三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)的圓的方程的問(wèn)題.例4和例2

4、都屬于這類問(wèn)題,條件非常相似.例4的解答過(guò)程中,教科書(shū)選擇了先求圓的一般方程,再求出圓心坐標(biāo)和半徑,用的仍然是待定系數(shù)法來(lái)解.此處比例2選擇標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相比,運(yùn)算就顯得容易一些.教學(xué)過(guò)程要讓學(xué)生比較兩種方法的差異性，進(jìn)一步體會(huì)待定系數(shù)法.例5是一類常見(jiàn)的求曲線方程的問(wèn)題.這類問(wèn)題的特點(diǎn)是：?jiǎn)栴}中常常有一條已知曲線,而所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)由曲線上的動(dòng)點(diǎn)來(lái)確定.根據(jù)曲線與方程之間的關(guān)系,來(lái)完成例5的講解,并且由軌跡方程判斷軌跡的形狀.通過(guò)例題的講解，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)于例題的分析和解答,以及解題后的思考,體會(huì)求解軌跡的基本思想方法，啟發(fā)學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和熱情,從而解決本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與

5、難點(diǎn).四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）知識(shí)的引入問(wèn)題1：方程表示以為圓心,2為半徑的圓.可以將此方程變形為.一般地,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以變形為： (2) 的形式.反過(guò)來(lái),形如(2)的方程一定能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎? 例如,對(duì)于方程,對(duì)其進(jìn)行配方,得,因?yàn)槿我庖粋€(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程,所以這個(gè)方程不表示任何圖形.所以形如(2)的方程不一定能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程.這表明,形如(2)的方程不一定是圓的方程.研究圓與形如的方程之間的關(guān)系，應(yīng)討論以下基本問(wèn)題：(1) 這類方程是否都是圓的方程？(2) 如果這類方程表示圓，其系數(shù)具有什么條件？(3) 這類方程是圓的方程時(shí)，能否直接根據(jù)系數(shù)寫(xiě)出圓的圓

6、心坐標(biāo)，求出圓的半徑？(4) 這類方程如果不表示圓，方程表示什么曲線？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的關(guān)系.（二）知識(shí)的理解問(wèn)題2： 方程中的滿足什么條件時(shí)，這個(gè)方程表示圓？將方程(2)的左邊配方，并把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得 (1) 當(dāng)時(shí)，比較方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以看出方程(2)表示以為圓心，為半徑的圓；(2) 當(dāng)時(shí)，方程(2)只有實(shí)數(shù)解它表示一個(gè)點(diǎn)；(3) 時(shí)，方程(2)沒(méi)有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形.因此，當(dāng)時(shí)，方程(2)表示一個(gè)圓.把方程(2)叫做圓的一般方程.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與

7、一般方程的特點(diǎn).（三）概念的鞏固應(yīng)用例4 求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑。分析：將的坐標(biāo)分別代入圓的一般方程，可得一個(gè)三元一次方程組，解方程組即可求出圓的方程.解：設(shè)圓的方程是. 因?yàn)槿c(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程的解.把它們的坐標(biāo)依次代入方程，得到關(guān)于的一個(gè)三元一次方程組解這個(gè)方程組，得 所以，所求圓的方程是.由前面的討論可知，所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑.與例2的方法比較，有什么體會(huì)呢？ 例4的解答過(guò)程中，教科書(shū)選擇了先求圓的一般方程，再求出圓心坐標(biāo)和半徑，用的仍然是待定系數(shù)法來(lái)解.這里選用圓的一般方程，與例2中選用標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相比，運(yùn)算就顯得容易一些.容易的原因是得到

8、的方程沒(méi)有二次項(xiàng)，是一個(gè)三元一次方程組.而用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的話，得到的是三元二次方程組，需要消去二次項(xiàng).一般來(lái)說(shuō)，解一次方程比解二次方程容易.求圓的方程常用待定系數(shù)法，其大致步驟是：（1） 根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；（2） 根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；（3） 解出或，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，教師給出解答示范設(shè)計(jì)意圖：由圓的一般方程的基本形式，通過(guò)待定系數(shù)法設(shè)變量來(lái)求解.例5 已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.分析：如圖，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.建立點(diǎn)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系

9、式得到點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，求出點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.由于點(diǎn)的坐標(biāo)是，且是線段的中點(diǎn)，所以 .于是有 因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，即. 把代入，得，整理，得 這就是點(diǎn)的軌跡方程，它表示以為圓心，半徑為1的圓.小結(jié)：求解軌跡方程的一般方法是什么？1. 直接法：利用幾何關(guān)系，直接列式求出.2. 相關(guān)點(diǎn)法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，找到關(guān)系式，列式求出.師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，教師給出解答示范設(shè)計(jì)意圖：提升推理論證的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng).練習(xí)：教科書(shū)第88頁(yè)練習(xí)1,2,3（四）歸納總結(jié)、布置作業(yè)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)知識(shí)，并回答以下問(wèn)題：1. 求圓的一般方程的方法.2. 求解軌跡方程的一般方法.設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)內(nèi)容和研究方法兩個(gè)方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行小結(jié).布置作業(yè)：課本88頁(yè)習(xí)題2.4節(jié)1,