高等電磁理論匯總,推薦文檔

1、高等電磁理論作業(yè)一 舉例說明為什么引入位函數(shù)，怎樣引入。問題：有源區(qū)非其次矢量波動方程或非其次矢量赫姆赫茲方程中的場源分布形式十分復雜，直接求比較困難。為了求解有源區(qū)場，可仿照經(jīng)太長引入矢量和標量位函數(shù)求解，一下將介紹利用各種位函數(shù)求解電磁場的方法，從而得出各種位函數(shù)的優(yōu)缺點及應用條件。分析：1. 矢量磁位 a 和標量電位 r在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，如果僅有電型源，由于 b = 0 rr引入矢量磁位 a 滿足 b = a rra將上式帶入法拉第電磁感應定律，得： (e +) = 0t由于標量函數(shù)的旋度為零，引入標量位 ，滿足 rra = -f rr由上式得 = -f -a e + tet由此

2、可見，只要求出輔助位 a 和 ，則可根據(jù)以上分析求解出電磁場。（1） 特點：a 和 是不唯一的，均具有任意性，現(xiàn)取另一標量函數(shù) u,定義轉(zhuǎn)換關(guān)系:rra = a + u f = f r- u r將上式代入，得到： r= =r - u ) = rba( aa r= -f - = - f + u - r - = -f - ea(tt )at ( au )t 可見，經(jīng)過變換，場量仍不變，利用規(guī)范函數(shù) u 的任意性，可以構(gòu)成無限多個輔助位 a 和 ，但卻仍得到同樣的電磁場，也就是說，雖然 a 和 是不唯一的，均具有任意性，大門由于存在規(guī)范不變性，并不影響電磁場的唯一性。同時利用此規(guī)范， 可靈活的規(guī)定

3、a 和 之間的關(guān)系，以簡化輔助位 a 和 的方程。矢量磁位 a 和r標量電位 在庫侖規(guī)范下滿足一下關(guān)系：r 2rf) 2 a - jja = -jj + (f + jjt 2t在庫侖規(guī)范下r 矢量磁位 a 的源始電流密度的無散部分或橫向電流：r2 arr2 a - jj= -jjt 2t（ j t 電流密度矢量的無散部分）（2） 優(yōu)越性：通過在規(guī)范條件下，a 和r 之間的關(guān)系：rfr 2raa a = -jj t；2 a - jjt 2= -jj；e = -f - t（3） 矢量位分量表示的電磁場a. 條件：對于時諧場；當同時存在電型源和磁型源時，求出矢量電位 am 忽然矢量磁位a 后。總電磁

4、場為電型源和磁型源產(chǎn)生的場之和，即：1urjjuruuuuuuru ure = -( a - jj ) - amk 2jur1urjju uruurmh = a- ( am -jj )jjk 2對于無源區(qū)可得1urjjuuuuuru ure = - a - amk 2jur1urjju urh = a - amjk 2murururu ur在球圓坐標系中，如果取 a = arer = ruer. 。a = 0u urur11ujjam ， a 帶入 1，2 式中得 hr=0,h= u sinj， hj = - ，j 2 (ru)2j 1 2 (ru)j12 (ru)er =(jk 2r2+ k

5、 ru) ， ej =jk 2 r rj， e =jjk 2 r sinj rj如果取mmurururura = arer = er rv, a = 0 代入，式。er=0,ej = -11v , e =1 vj sinj，jjjjj 2 (ru)2j j1 2 (ru)j12 (ru)hr = j k 2 ( r2+ k ru) ， hj =k 2 r rj， hj =jk 2 r sinrjj這是關(guān)于人的 te 波，v 滿u足ur 齊次標量亥姆霍次方程ururm22在直角坐標系取 a = ez az .a = 0.az滿足： az +k az = 0urmurur如果取 a = e a m

6、 .a = 0.a m滿足：2a m +k2a m = 0z zzzzurururmur同理可得在圓柱坐標系下， a = e am 表示波是關(guān)于 z 的 tm 波， a = e a 表示的波也是z zz z關(guān)于 z 的 te 波。b. 特點和優(yōu)越性在無源區(qū)，對關(guān)于 z 的 te 波，在直角坐標系，圓柱坐標系下就可以用一個變量 am ， az 來表示，同理可知關(guān)于 x 的 te，tm 在兩坐標系的情況，y 的 te,tm 在兩坐標系的情況。對于德拜位函數(shù)的引用是球坐標系中，也只需要引用一個標量的 te 波引用 rv，r 的tm 波引用 ru通過引用這些標量，就能夠簡化 e 和 h 的計算復雜度。

7、在電磁場問題中，有時采用矢m量磁位和矢量電位的各一對應分量作為獨立標量是十分ur有利的。1 a舉例：對直角坐標系下取urur，a= e a= 0 。我們可以得 hx =z ，a z zj y1 aj 2 aj 2 aj 22hy = -z ， hz = 0 ， ex =z ， ey =z ， ez =(+ k ) az 。 j xjk 2 xzjk 2 yzjk 2 z2求復雜的電場問題就可以簡化。對電場和磁場問題直接就與一個 az 有關(guān)， az 通過齊次標量亥姆霍次方程求得。2. 矢量電位 am 及標量磁位fmv（1） 條件：在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，如果僅有磁型源，由ad = 0 引入矢量

8、電位am 及標量磁位fmvd = - am am(h + t ) = 0由標量函數(shù)的梯度的旋度為零，引入標量磁位fm 。使得其滿足 ammmh + tm = -f（2） 特點：矢量電位 a及標量磁位f和矢量電位 a 及標量磁位f 具有對偶性，可是 am 和fm 也具有唯一性。引入標量函數(shù)u m ,定義變量函數(shù) uam = am + ufm = fm - utmmf = -( a - u ) = - amu( ammh = -(f+) - u ) = -fm - attt故： am 和fm 不具有唯一性。是任意的。但是場量任然是不變的，利用對偶原理：mfmaa= -jj t在aam = 0 的條

9、件下，矢量電位 am 的源是磁流密度 j m 的無散射部分2 aam2 amt 2= -jj m +jjfmt（3） 優(yōu)越性：在洛倫磁規(guī)范條件下：fm aam = jjt2 aam = jj2 amt 2= -jj m2 afm = -jj2fmt 2= - jmu通過以上 4 式可以計算 h 的解。m amh = -f- t3 赫茲矢量赫茲矢量特別適合于計算發(fā)生極化和磁化時產(chǎn)生的二次場,令 e m ma = j t, f = - , a = je, fm = - mte 為電赫茲矢量， m 為磁赫茲矢量2e2 e1pjj -j= - jdt = -2t 22 m1 mm2 m -j= -2t

10、 2j j dt = - j在無源區(qū)理想介質(zhì)中，方程中 p 及時極化強度， m 就是磁化強度，說明電赫茲矢量e 和磁赫茲矢量m 分別是由極化強度和磁化強度產(chǎn)生的場二.推導等效原理和感應定理公式及應用等效原理：（一）公式推導等效原理是基于唯一性定理建立的電磁場理論的另一個重要原理，可用下 圖進行介紹：(1)是原課題，界面 s 內(nèi)有電流，磁流源，這些源在 s 面內(nèi)部和外部產(chǎn)生 e1 , h 1 和 e2 , h 2 ， 設(shè)一個等效課題，在 s 面上設(shè)有等效電磁流源，滿足在 s 面外產(chǎn)生與原課題相同的場分布，而在面內(nèi)場為 0； e2 , h 2nn e2 , h 2e1 j , mh 1m se =

11、 h = 0j sv1v1sv2sv2(1)(2)下面介紹常用的三種等效形式，具體如下圖所示 e, hn e, he j , mnm s = e n he = h = 0 v1j s = n hv1sv2sv2（a）(b)圖（a）為原問題第一種等效：如 圖（b）所示，假設(shè) s 內(nèi)的場為0；s上有 等效電磁源 j s ， m s ，滿足j s = n h ；m s = e n ；由邊界連續(xù)性條件可知，此等效問題 s 外的場切向分量與原問題相同，根據(jù)唯一性定理可知此問題與原問題在 s 外的場分布式相同的，因為 s 內(nèi)的場為 0，因而我們可進一步設(shè) s內(nèi)填充與 s 外相同的均勻介質(zhì)，這樣原問題便等效

12、成 s 面上等效電磁源 j s ， m s 在均勻介質(zhì)中產(chǎn)生場地問題。第二種等效：如圖（c）所示，假設(shè) s 內(nèi)填充理想導電體，這樣 s 內(nèi)場為 0;由互易定理可知理想導體面上的電流源不會產(chǎn)生 輻射，故我們只需考慮 m s 的作用，使其在 s 外產(chǎn)生的場與原問題相同，需滿足 m s = e n ，由邊界連續(xù)性條件可知，此等效問題 s 外的場切向分量與原問題相同，這樣原問題便等效成一理想導電體上等效磁流 m s 產(chǎn)生場地問題。 e, hn e, he = h = 0 j s = n he = h = 0m s = e n v1v1sv2電導體磁導體sv2(c)(d)第三種等效：如圖（d）所示，假設(shè)

13、 s 內(nèi)填充理想導磁體，這樣 s 內(nèi)場為 0;由互易定理可知理想磁體面上的磁流源不 會產(chǎn)生輻 射，故我們只需考慮 j s 的作用，使其在 s 外產(chǎn)生的場與原問題相同，需滿足 j s = n h ，由邊界連續(xù)性條件可知，此等效問題 s 外的場切向分量與原問題相同，這樣原問題便等效成一理想導磁體上等效磁流 j s 產(chǎn)生場地問題。第一種的解析解：在自由空間中根據(jù) h = 0 a = 0 h = - a (e - jjja) = 0 -j= e - jjja （1）選擇 a = jjjj 2 a + k 2 a = j ， 2j+ k 2j=1 jjjj因為標量亥姆霍茲的標量格林函數(shù)為： g(r r)

14、 = e jk r -r 4jr -r 其中 r 為源點位置， r 代表場點位置，于是a(r) = - j (r)g(r r)d r （2）j= a =j(r)（3）jjjj也可以通過求解 2j+ k 2j=1 j 得到，即jjjj(r) = - 1 j (r)g(r r)d rjjj（4）e 有兩種形式，一種是將（2），（3）代入（1）中得e = jjja - j= jjj( a -j) = - jjj(- a + jjj aj)j1jj（5）= - jjj(- a +) = - jjj 1+jgdr-j2jjk 2另一種是將（2），（4）代入（1）中得je = jjja - j= - jj

15、j(- a += - jjj j + 1 ( j )gdrk 2從而得到 h = - j gdr為了書寫簡潔，引入記號 l, kjjj)（6） 2l(x) = - jkx + 1 ( x)gd r kk (x) = - x gd r則電磁場便可寫作e = z l(x)j z =jh = k (j )對于（5），在等效源無需作用的情況下，在某些情況下能化簡場得到簡潔的表達式，此表達形式一般用于計算遠場：對于（6），對場點作用在格林函數(shù) g 中，對源點作用在等效源點，一般用于計算近場。用相同的方法可以求出等效磁流產(chǎn)生的場：e = -k (m )h = 1 l(m )z根據(jù)線性疊加原理，電磁流共同產(chǎn)

16、生的場便為 e = z l(j ) - k (m )h = 1 l(m ) + k (j )z（二）應用舉例介質(zhì)體的積分方程h i, eir rn1v2 (j2,j2)rv1(j1,j2)rn2s如圖：s 面為介質(zhì)體的表面。入射波 ei，hi，可以透過 s 面刀達介質(zhì)體內(nèi)部。在求介質(zhì)體外 v1 去空間一點的電磁場仍可用r = rr1 +r- jjjg(n h ) + (n e)rg + (n gdseei + es = -4ja ss1e)r 1 rrre)i= 4jas - jjjg(n + (n e) g + (n e ) gds +e 來求。即有：v1 區(qū)：rn r= n i+ 1 n

17、rrrr1e1 (r)1e (r)1s- jjjg (n h ) + (n h ) + (nr e ) g + (nr e ) g ds4j1 11111 111 11在 v2 區(qū)：入射場就是 s 面上源分布的貢獻，則 v2 區(qū)空間一點的電磁場為：v2 區(qū)：n2r e2 (r) =1 n 4j 2- jjjg2 (n2rh 2)+ (nr2 h2 )+ (n2r e2 ) g2+ (n2r e2 ) g2dsser - r - jkir rrr - rr上式中：gi= gi =(i = 1,2)ki =j jij （i=1，2）rvrr在 s 面上場切向分量連續(xù)，有： nr (e1 - e2

18、) = 0; nr (h1 - h1 ) = 0 11rv1又 d 得法向分量連續(xù)，即： nr (j1e1 - j2 e2 ) = 0 以下是用面積分方程求解 s 面上的電磁流密度 js 和 ms。由圖可知， n1= -r ；由式得：n2r= 1 n - jjjg(n r )h(g + g ) - (n r (g + g ) - (n r (g + j1 gn e i(r)12e)12e)1)ds24jsj2（式相加）同理r，對磁場有：rrrn i= 1 n - jjjj(n + j1 g) + (n (g + g ) + (n (g + g )dsjsjh (r)1e)(g1242h )12

19、h )12式左邊是 v1 空間一點（r）的入射場與 n 的叉乘，右邊面積分的 e,h 是 s 面上總電磁場的切向分量，n 是 s 面得外法向單位矢量。當場點落在 s 面上時，中的面積分 s 改用為主值積分，即：1rrrrje)1 2n e i (r) =n - jjjg(n h )(g1+ g2 ) - (n e) (g1+ g2 ) - (n (g + 1 g )ds4jsj2(rr s) n r i= - 1 n - jjj(n r+ j1 g) + (n r(g + gr) + (n(g+ g )dsjsjh (r)1e)(g1242(rr s) n r = - 1 (n rh )12h

20、 )12ejjjh ) n r = -1 (n r hjjje)rr等效電流源，磁流源： js = n hrrms = e n將，代入,可得介質(zhì)體適用的積分方程：r= 1 n - jjjg(n r )h(g + g ) - (n r (g + g ) - (n r (g + j1 gn e i(r)12e)12e)1)ds24jsj2r(r s)n r i= - 1 n - jjj(n r+ j1 g) + (n r(g + gr) + (n(g+ g )dsjsjh (r)1e)(g1242(rr s)h )12h )12感應原理感應原理是電磁理論中有關(guān)散射場與入射場關(guān)系的一個重要的原理。（

21、一）公式推導：感應原理提供了一種由已知投射到障礙物上的入射場來求其反射場或散射場的方法。urururur設(shè) ei ， h i 表示無障礙物存在時給定源激發(fā)的場，即入射場 e i ， h i 表示有障礙物存在時給定的源和障礙物上的感應源激發(fā)的總場。如圖 a 所示，總場與入射場之差：uuresu urh srn障礙物uurj su urj mss(b)(a)su urj m障礙物urjrnuururuuruururuures = e - ei；h = h - hsi成為障礙物的散射場，散射場是障礙物表面上的感應源輻射的場對于障礙物之外區(qū)域的散射場來說，可將實際的邊值問題用在障礙物之反保持散射場。而

22、在障礙物內(nèi)保持總場這樣的邊值問題等效。這是為保障兩問題在障礙物之外的散射場和障suur uur礙物內(nèi)的總場不變。則在障礙物表面上應有等效源 js, j m 。如圖 b,利用等效原理，在障礙物表面上的等效源為uururuuurururmursururnsj s = e (h s - h ) ；j=（）e - e en由可知：iuruururuururuurmijs = h en ；jn = en e兩式說明，數(shù)值等于入射場切向分量的等效源在障礙內(nèi)激發(fā)總場，在障礙物外激發(fā)散射場當障礙物為理想導體時，得iur ururuuruursen e = en (e + e ) = 0uuruururur u

23、urmsi等效面磁流為： js = e en = en e因此當障礙物為理想導電體，感應原理中只需考慮等效面磁流。（二）應用舉例r平面波垂直投射到位于 x=0 平面，邊長為 a 的矩形導電平板上，此平面波e- jkr ，應用r感應原理散射場的等效源為m = er r ，rmrrrjsnermrrrjs= en e = - ez e0 ; x = 0- ；js= en e = ez e0 ; x = 0+r散射場可以看成是由導電板存在時，其左右兩側(cè)外表面的面磁流 j m 激發(fā)的。為近似rm計算導電平板左右兩側(cè)外表面的面磁流 j輻射的場，用無限大的導電平板代替有限大的導電平板，背向場源一側(cè)的面磁流

24、對后向散射場將無貢獻，利用鏡像原理，后向散射場可用兩倍的面向場源一側(cè)的面磁流計算。如果導電平板的尺寸遠小于波長，感應面磁流源課近似為方向沿 z 的磁流元i ml = a / 2 a / 2 jd d = j ma2 = a2 e-a / 2-a / 2msy zs0根據(jù)對偶原理，由電流元的輻射磁場可得磁流元的輻射電場，也就是導電平板的后向磁場- je a 2ej =0e- jkr sinjjr三stratton-chu 公式的推導在電磁場問題中，如果考慮所有的有源區(qū)域是均勻的各向同性的線性媒質(zhì)，時諧電磁場非齊次矢量亥姆霍茲方程 2 = (1) 2 = (2)jssv考慮到一般的情況，設(shè)區(qū)域是由

25、表面 s 以及外表面 s所圍成的，如圖所示。下面利用矢量格林定理求解。矢量格林定理為：( ) = ( ) + (3)式中封閉面的法向指向區(qū)域 v 之外。p 和 q 為在區(qū)域 v 內(nèi)具有二階導數(shù)連續(xù)，在邊界上具有一階導數(shù)連續(xù)的任意矢量函數(shù)。求解方程（2）時，令 p=e，q=ag，a 為任意常矢量，g 為自由空間格林函數(shù)。為保證 q 在區(qū)域 v 內(nèi)具有二階導數(shù)連續(xù)，以取以 r為為球心半徑為 b 的小球面 將 r點排除在格林定理考慮體積之外。于是（3）式成為： ()= () (4)+ + 0利用矢量恒等式 = 2 式（1），并考慮到在區(qū)域 v 中自由空間格林函數(shù)g 滿足齊次標量亥姆霍茲方程，上式左側(cè)

26、的被積函數(shù)為： () = ( ) ( )(5)應用矢量恒等式 () = + 及和第三項分別為： () = + 上式右側(cè)的第二項 = () + ( ) = ( ) ( ) 將以上兩式代人（4）式，并考慮到 = /，（3）式變?yōu)椋?( + ) + () + ( ) = () (6)+ + 0利用矢量恒等式 ( ) = ，上式左邊第二項為： () = ( ) = + + 0= (7)+ + 0（5）式左側(cè)第三項為： ( )= ( )(8)+ + 0再對（5）式右側(cè)的被積函數(shù)進行變換。第一項為： () = ( ) 第二項為 ( ) = ( ) + ( )由于 a 是任意的常矢量，于是，（5）式成為：(

27、 + )= ( ) + ( ) (9)+ + 0當小球面 s 的半徑趨于零時，可以證明，上式右側(cè)在球面 s 上的積分趨于e(r)。為了習慣起見，交換變量 r 和 r的位置，上式變?yōu)椋?)( () + () + ) + (=(+ + 0) + ( () (10)對于磁場，類似可以得到：()()= ( () + ( ) +) + (+ + 0() + ( () (11以上兩式稱為 stratton-chu 公式。公式表明，觀察點的電磁場由兩部分積分貢獻組成，一部分為觀察點所在區(qū)域中的源的貢獻，觀察點所在區(qū)域中的源包括電流密度、磁流密度、電荷、磁荷；另一部分為觀察點所在區(qū)域外的源的貢獻，這部分貢獻取

28、決于邊界電磁場的切向分量和法向分量。四由 stratton-chu 公式推導電磁場積分方程對于任意形狀物體散射問題的有效解法是建立散射問題的積分方程，然后利用對于積分方程有效的數(shù)值解法，例如矩量法等，求出數(shù)值解。在散射問題中，可以取散射體的表面或包圍散射體的適當?shù)拈]合面作為 s 面，而將 s 面擴展到遠處取為半徑十分大的球面，并使場源位于 s 面外。這時由于體積 v 內(nèi)沒有體分布的場源，電磁場的積分表達式中的體( )( )( )積分為零，僅有面積分項：e (r )=- jjje h r g + e e r g + e ae r g ds(1)anns+s nh (r )= -jjje e (r

29、 )g + e h (r )g + e ah (r )g ds(2)anns+ s n式中閉合面的法向單位矢量en 的正方向指向v 內(nèi)。在此散射問題中場源只可能存在于兩個區(qū)域：一個是 s 面以外的區(qū)域，入射波就是由這個區(qū)域中的源產(chǎn)生的；另一個是 s 內(nèi)的區(qū)域，這個區(qū)域的源產(chǎn)生散射波。在大球面 s 上，被積函數(shù)中的電磁場可表示為入射場與散射場之和，即e = ei + es ,h = h i + h s（3）下面證明散射場在大球面 s 上的積分貢獻為零。當面積分在大球面 s 上進行時， r 是端點在很大（趨近于無限大）球面 s 上的矢徑，而 r 是端點在有限遠處的矢徑，因此格林函數(shù)近似為r（4）l

30、im g =r e- jkr4jre jker r , g = - jke g這樣式（1）中在大球面 s 上后兩項可化為(n es )g + (n es )g =顯然有jk (n es ) n + (n es )n g = jkges = jkzn h s = jjjgn h se (r )= a - jjjn h s (r )g + n es (r ) g + nae s (r ) g ds 0r s由此可見，散射場對 s 上的積分沒有貢獻，對是式（1）可化為s 上的積分有貢獻的只是入射場，于e (r )= ei (r )+- jjje h (r )g + e e (r ) g + e ae

31、 (r )g ds （5）anns n同理h (r )= h i (r )-jjje e (r )g + e h (r ) g + e ah (r )g ds anns由式（3），就可以得到散射場的積分表達式 ne (r )=- jjje h (r )g + e e (r ) g + e ae (r ) g dsanns n（6） h (r )= -jjje e (r )g + e h (r ) g + e ah (r ) g ds（7）anns n可以看出，要求出散射場，必須求出 s 面上的電磁場分布。求解 s 面上的電磁場分布可以通過建立在 s 面上的電磁場分布的積分方程來解決。為了建立

32、s 面上電磁場分布的積分方程，須將式（4）、（5）中的場點 r 移到 s 面上，但這式 s 面上的面積分會發(fā)生奇異性。因此需要用小球面 s0 包圍 r 點，并將它一起移到s 面上，如圖：nss0 n0svs1ns2rrj,jo由于小球面 s0 使 s 面上與 s0 面相鄰接的部分發(fā)生彈簧變形，計算 s 面上的積分時須將其分為兩部分：與 s0 相鄰的部分 s1 和其余部分 s2 。顯然對小球面 s0 的面積分有：lim- jjje h (r )g + e e (r ) g + e ae (r ) g ds = -e (r )r ranns0 n如果 s 面的切平面在 s 面上是處處連續(xù)變化的，在 r r 的極限下， s1 面可以看做是以 r 點為中心的小平面，但由于 s0 與 s1 面的法向相反。所以有l(wèi)im- jjje h (r )g + e e (r ) g + e ae (r ) g ds = e (r )/2r ranns1 n將無窮小面積 s1 中的奇異性分離出去后，s 面得其余部分的積分為主值積分，式（4