理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)

1、理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)摘要：壓強(qiáng)是熱力學(xué)中描述平衡態(tài)下氣體狀態(tài)的一個(gè)重要力學(xué)參量。從理想氣體的微觀模型出發(fā)，分析理想氣體壓強(qiáng)的產(chǎn)生原因，采用合理的統(tǒng)計(jì)方法，推導(dǎo)出理想氣體的壓強(qiáng)公式。在推導(dǎo)的過程中，加強(qiáng)對統(tǒng)計(jì)概念及理想氣體壓強(qiáng)實(shí)質(zhì)的認(rèn)識。關(guān)鍵詞：理想氣體；統(tǒng)計(jì)方法；壓強(qiáng)公式。1引言推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式，首先要建立正確的理想氣體微觀模型；其次在理想氣體微觀模型的基礎(chǔ)上，分析理想氣體對容器器壁的壓強(qiáng)和理想氣體內(nèi)部壓強(qiáng)的產(chǎn)生原因；最后根據(jù)理想氣體壓強(qiáng)的產(chǎn)生原因，采用合理的統(tǒng)計(jì)方法推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式。2 理想氣體的微觀模型及其壓強(qiáng)的產(chǎn)生原因德國物理學(xué)家克勞修斯1857年提出了理想氣體的微觀模型，即

2、分子本身的線度比起分子間的距離可以忽略不計(jì)；可以認(rèn)為除碰撞的一瞬間外，分子之間及分子與容器器壁之間都無相互作用；分子之間及分子與容器器壁之間的碰撞都是完全彈性的。根據(jù)理想氣體的微觀模型，我們可以把理想氣體看為由大量分子所組成的熱學(xué)系統(tǒng)，粒子可近似地看作質(zhì)點(diǎn)。理想氣體施于容器器壁的壓強(qiáng)是大量分子對器壁不斷碰撞的結(jié)果，而理想氣體內(nèi)部的壓強(qiáng)是垂直于截面方向的熱運(yùn)動動量交換所引起的。并且理想氣體的微觀模型認(rèn)為平衡態(tài)下理想氣體內(nèi)的分子是均勻分布的，向各個(gè)方向運(yùn)動的幾率是相等的，即具有混沌性。所以在此基礎(chǔ)上我們就可以運(yùn)用合理的統(tǒng)計(jì)方法對理想氣體的壓強(qiáng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。3 推導(dǎo)理想氣體對容器器壁的壓強(qiáng)理想氣體施

3、于容器器壁的壓強(qiáng)是大量分子對器壁不斷碰撞的結(jié)果，在平衡態(tài)下，器壁上各處的壓強(qiáng)相等，其大小等于單位時(shí)間單位面積器壁所受的沖量。設(shè)在任意形狀的容器中貯有一定量的理想氣體，體積為V，共含有N數(shù)個(gè)分子，單位體積內(nèi)的分子數(shù)為,每個(gè)分子的質(zhì)量為m。建立直角坐標(biāo)系xyz,在垂直于x軸的器壁上任意取一小塊面積（圖1），來計(jì)算它所受的壓強(qiáng)。X圖1一個(gè)速度分量為的分子與容器器壁碰撞，容器器壁所受的沖量為；時(shí)間內(nèi)，面積上，速度分量在之間能與容器器壁碰撞的分子數(shù)為，這些分子對容器器壁的沖量為；時(shí)間內(nèi)，面積上，速度分量在之間能與容器器壁碰撞的分子對容器器壁的沖量為 , (1)麥克斯韋速度分布律 , (2)單位時(shí)間，單位

4、面積，容器器壁所受的沖量為 , (3)速度平方的平均值 , (4)(1)(2)(3)(4)聯(lián)立，解得 , (5)4推導(dǎo)理想氣體內(nèi)部的壓強(qiáng)因?yàn)槔硐霘怏w內(nèi)部的壓強(qiáng)是垂直于截面方向的熱運(yùn)動動量交換所引起的，所以在平衡態(tài)下，理想氣體內(nèi)部的壓強(qiáng)等于單位時(shí)間單位面積垂直于截面方向交換的熱運(yùn)動動量。設(shè)想在處于平衡態(tài)的氣體，任意取一個(gè)截面把氣體分為A、B兩部分，建立直角坐標(biāo)系xyz,垂直于x軸任意取一小塊面積（圖2）,來計(jì)算它所受的壓強(qiáng)。ABX圖2就A部來說，如果失去一個(gè)從左向右運(yùn)動的速率為v的分子，為了保持熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡，就會獲得一個(gè)從右向左運(yùn)動的速率為v的分子，分子熱運(yùn)動動量應(yīng)該變，動量該變的方向垂直于

5、面指向A部；根據(jù)分子運(yùn)動的無規(guī)則性做一種簡單的假設(shè)：分子等分成三隊(duì)，分別平行x、y、z三軸運(yùn)動，時(shí)間內(nèi)，速率在之間能通過面的分子通過面，A、B交換的分子對數(shù)為，A部總的動量改變量為；時(shí)間內(nèi)，速率在之間能通過面的分子通過面，A部總的動量改變量為 , (6)麥克斯韋速率分布律 , (7)單位時(shí)間，單位面積，垂直于截面方向交換的熱運(yùn)動動量為 , (8)速度平方的平均值 , (4) (6)(7)(8)(4)聯(lián)立，解得 . (9)5小結(jié)以上分別推導(dǎo)出理想氣體對容器器壁的壓強(qiáng)和理想氣體內(nèi)部的壓強(qiáng)均為。在推導(dǎo)過程中，充分地認(rèn)識理想氣體微觀模型建立過程中把握的主要因素及忽略的次要因素，并在此基礎(chǔ)上選擇合理的統(tǒng)

6、計(jì)方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)是整個(gè)推導(dǎo)過程的關(guān)鍵。例如推導(dǎo)理想氣體對容器器壁壓強(qiáng)時(shí)，對 積分時(shí)積分上下限為，這是因?yàn)楦鶕?jù)理想氣體的微觀模型的分子不會與相撞。再如推導(dǎo)理想氣體內(nèi)部的壓強(qiáng)時(shí)，為統(tǒng)計(jì)分子對數(shù)根據(jù)分子運(yùn)動的無規(guī)則性所做的假設(shè)，即分子等分成三隊(duì)，分別平行x、y、z三軸運(yùn)動也是符合理想氣體的微觀模型的。所以選擇統(tǒng)計(jì)方法的過程，有助于我們認(rèn)識不同統(tǒng)計(jì)方法的優(yōu)劣，提高統(tǒng)計(jì)方法的運(yùn)用能力，加強(qiáng)對統(tǒng)計(jì)概念的理解。此外在上面討論中我們沒有考慮分子間碰撞而被折回的情況，但這并不影響結(jié)果，就大量分子的統(tǒng)計(jì)效果來講，有某分子因碰撞而改變運(yùn)動方向，則必然有分子因碰撞而替代它的作用。另外在推到理想氣體壓強(qiáng)公式的過程中，也加強(qiáng)了我們對理想氣體壓強(qiáng)實(shí)質(zhì)的認(rèn)識。理想氣體壓強(qiáng)公式構(gòu)建立了宏觀狀態(tài)參量P微觀量n的關(guān)系，揭示了理想氣體壓強(qiáng)決定于單位體積的分子數(shù)n和分子的