高考數(shù)學(xué)壓軸題跟蹤演練系列四

1、江蘇省備戰(zhàn)2020高考數(shù)學(xué)一一壓軸題跟蹤演練系列四1. (本小題滿分14分)已知f(x)=三仝(x R)在區(qū)間1, 1上是增函數(shù). x22(I)求實數(shù)a的值組成的集合A;1(U)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=-的兩個非零實根為X1、X2.試問：是否存在實數(shù)Xm使得不等式m+tm+1|x 1 X2|對任意a A及t 1,1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.解：(I)f/(x)=4 2ax 2x2 =2(x：豈2),(x2 2)2(x2 2)2

2、f(x)在1, 1上是增函數(shù)， f / (x) 0 對 x 1，1恒成立,即x2 ax2 0對x 1, 1恒成立.方法設(shè)(x)=x 2 ax 2,(1)=1 a 2 0,K a 1, (1)=1+a 2 0.對x 1, 1 , f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng) a=1時，f / (-1)=0以及當(dāng)a=1 時，f / (1)=0-A=a| 1 w aW 1.方法二:a c0,2(1)=1+a 2 0(1)=1 a2 0,m2 或 mw 2.所以，存在實數(shù) m使不等式m+tm+1A|x 1 X2|對任意a A及t 1, 1恒 成立，其取值范圍是m|m2,或mw 2. ax 2=0,/ =a2+80x2

3、2 x X1, X2是方程x2 ax 2=0的兩非零實根，x1+X2=a,從而 |x 1 X2|= 區(qū) x2)2 4x2 = a2 8 .X1X2=2,T 1 w aw 1 , |x 1-x 2|=、a28 w 3.要使不等式mi+tm+1|x 1 X2|對任意a A及t 1, 1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m+tm+13對任意t 1, 1恒成立，即m+tm 2 0對任意t 1, 1恒成立.設(shè) g(t)=m 2+tm 2=mt+(m 2),方法一：2g( 1)=m m- 2 0,方法二:當(dāng)m=0時，顯然不成立;當(dāng)m 0時，m 0g(1)=m+m 2 02 或 m 2.所以，存在實數(shù)m使不等式m+tm+1|

4、x 1 X2|對任意a A及t -1 , 1恒成 立，其取值范圍是m|m2,或me 2.2. （本小題滿分12分）如圖，P是拋物線C: y=-x2上一點，直線I過點P且與2拋物線C交于另一點Q.（I）若直線I與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；（U）若直線I不過原點且與x軸交于點S,與y軸交于點試求冊 翻的取值范圍- 本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.解：（I）設(shè) P（X1，y”，Q（X2，y2），M（x。，y），依題意0，y10，y20.由y=x2，2得 y/ =x.過點P的切線的斜率k切=X1,1 1直線

5、I的斜率kl=-k切x1直線 l 的方程為 y- Xi=-Xo將上式代入并整理，得xi i yo=Xo +2+i（Xo工 0）,2xo=- (x -xi),2x1方法一：聯(lián)立消去y，得x2+?x - xi2 - 2=0.Xi M是PQ的中點-XiX20=丄Xi_ i 20= Xi 2（X o Xi）.Xi消去Xi,得 yo=xo2+i（x o 工 0）,2xo PQ中點M的軌跡方程為y=x2 +i（x 工 0）.2xo方法二:由 yiXi2,21 2y2=X2 , xo=2xix22/i 2 i 2 iX2）,得 yi- y2= xi X2 = （xi+X2）（x i- X2）=xo（xi2

6、貝U xo=y2 =ki=-,Xi X2xi PQ中點M的軌跡方程為2y=x +2xo2+1(x 豐 0).(U)設(shè)直線 l:y=kx+b，依題意 k 豐 0,0,則 T(0, b).分別過P、Q作PP丄x軸，QQ丄y軸，垂足分別為PC CT,則1ST|ST|OT |OT |b|b|SP|SQ| PP|QQ|yjMly=1 2x2消去 x，得 y2 - 2(k 2+b)y+b2=0.y=kx+b1ST | ST |SP| |SQ|2i+y2=2(k +b)，iy2=b2.|b|(十 9 2* y； =2|b| I =2. yi、y2可取一切不相等的正數(shù),-竺竺的取值范圍是(2, + ).|SP

7、| |SQ|方法二：.竺空=心訥2. | SP| | SQ| yiy2b當(dāng)b0時，空 d=b巡=迸亡衛(wèi)=理+22；|SP| |SQ| b2bb當(dāng)b0,于是 k +2b0,即 k 2b.所以 1ST! lSTl2( 2b b)=2 |SP| |SQ|b.當(dāng)b0時，坐可取一切正數(shù),b竺竺的取值范圍是(2, + ).|SP| |SQ|方法三：由P、Q T三點共線得匕尸6, 即建上=心.x2x1貝U xiy2 bxi=X2yi bx2,即卩 b(x2 xi)=(x 2yi Xiy2).12 i 2x2xi xix2于是 b= -=xiX2.x2 xi2ii.Q im=JM jmJ 2xix2|+| 2

8、xix2|= |糾+| 些 |2.| SP| | SQ| | yi | | y2 |2 i2 i捲x? |生|可取一切不等于i的正數(shù)，Xi.竺旦的取值范圍是（2, + ）.|SP| |SQ|3. （本小題滿分i2分）某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，旦發(fā)生，將造成400萬元的損失.現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用.單獨 采用甲、乙預(yù)防措施所需的費用分別為 45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施 后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為 0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措 施單獨采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費用最少.（總費用=采取預(yù)防措施的費用+發(fā)生

9、突發(fā)事件損失的期望值.）本小題考查概率的基本知識和數(shù)學(xué)期望概念及應(yīng)用概率知識解決實際問題的能力,滿分12分.解：不采取預(yù)防措施時，總費用即損失期望為400X 0.3=120 （萬元）; 若單獨采取措施甲，則預(yù)防措施費用為 45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1 0.9=0.1，損失期望值為400X 0.仁40 （萬元）,所以總費用為45+40=85（萬 元） 若單獨采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1 0.85=0.15，損失期望值為400X 0.15=60 （萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）； 若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費用為45+30=75

10、（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為（1 0.9 ） （1 0.85 ） =0.015，損失期望值為400X 0.015=6（萬元），所以總費用為75+6=81 （萬元）.綜合、，比較其總費用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費用最少.4. （本小題滿分14分）1已知 a 0,數(shù)列an滿足 a1a, an 1 a 一 , n 1,2,（I ）已知數(shù)列an極限存在且大于零，求（II ）設(shè) bnan A,n 1,2,證明:bn 11anA lim an (將A用a表示); nbnA(bn A)（III ）若|bn |飛對n 1,2,都成立，求a的取值范圍.2本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念

11、和數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運用數(shù)學(xué)知識分析兩邊取極限得問題和解決問題的能力，滿分14分.解：(I )由 lim an存在，且A lim an(A 0),對an 1 nn1(IIbn即bm(III )A,解得A由 an bnA bnbna a22代an1_A對nA(bnA)4.又 A 0,1,2,1令吋-,得|a|2( a2 4a24 a1,解得a3現(xiàn)證明當(dāng)a 3時,|bn |2右得bn11bnA都成立bn32.寧對n1bn AA(bnA)2 1a2 4)| 21,2,都成立.(i )當(dāng)n=1時結(jié)論成立(已驗證)(ii )假設(shè)當(dāng)n k(k1)時結(jié)論成立，即| bk |,那么|bk1|bk|A(bk

12、A)|A|bk A| 2故只須證明A|bk A|2,即證A|bkA|-成立.2由于Aaa2 422a2_而當(dāng)a3時,山a 1,A 2.|bkA| A |bk |丄2 即n=k+1時結(jié)論成立.故當(dāng)a12k12k1,即 A|bkA| 2.12k 1 .根據(jù)(i )和(ii)可知結(jié)論對一切正整數(shù)都成立13故|bn|匚對n 1,2,都成立的a的取值范圍為-,)225. (本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分10分)已知 a R，函數(shù) f(x) x2 |x a|.(I )當(dāng)a 2時，求使f (x) x成立的x的集合；(II)求函數(shù)y f(x)在區(qū)間1,2上的最小值.本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究

13、函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想和分析推 理能力.滿分14分.解：(I)由題意，f(x) x2 x 2 .當(dāng) x2 時，f(x)x2(2x)x，解得 x 0或 x 1；當(dāng) x2 時，f(x)x2(x2)x，解得 x 12 .綜上，所求解集為0,1,1近.(I)設(shè)此最小值為m . 當(dāng) a 1 時，在區(qū)間1,2 上, f(x) x3 ax2.因為2 2f (x) 3x 2ax 3x(x a) 0 , x (1,2),則f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，所以m f(1) 1 a . 當(dāng) 1 a 2 時，在區(qū)間1,2 上, f(x) x2(x a) 0，由 f(a) 0知m f(a)0. 當(dāng) a

14、2 時，在區(qū)間1,2 上, f(x) ax2 x3.2 2f (x)2ax 3x23x(fa x).若a 3，在區(qū)間(1,2)內(nèi)f(x) 0，從而f(x)為區(qū)間1,2上的增函數(shù)，由此得m f(1) a 1.若 2 a 3，則 1 -a 2.3當(dāng)1 x 2a時，f (x) 0，從而f(x)為區(qū)間1,a上的增函數(shù)；33當(dāng)x 2時，f (x) 0，從而f (x)為區(qū)間-a,2上的減函數(shù). 33因此，當(dāng) 2a3 時，m f(1) a1或 mf(2)4(a 2).當(dāng) 2a7 時，4(a 2) a1，故m f(2)4(a2);3當(dāng) 7a3 時，a 14(a2)，故m f(1)a 1 .3綜上所述，所求函數(shù)

15、的最小值2)a 1 2 a 當(dāng)當(dāng)當(dāng) 當(dāng)6. (本小題滿分14分，第一小冋滿分2分，第二、第二小冋滿分各6分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1 1, a2 6 ,a3 11，且(5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn An B，n 1,2, 3 L ，其中A，B為常數(shù).(I )求A與B的值；(n )證明：數(shù)列an為等差數(shù)列；(川)證明：不等式 J5a mn 寸 a m a n 1對任何正整數(shù)m,n都成立.本小題主要考查等差數(shù)列的有關(guān)知識、不等式的證明方法，考查思維能力、運算能力.解：(I)由已知，得 S1 a11 , S2 a1 a27 , S3 a1 a2 a3 18.由(5n 8)Sn 1

16、 (5n 2)Sn An B，知3S? 7 Si A B ，2S3 12S2 2A B，即A B2A B28，48，解得A20，B 8.(U)方法1由(I)，得(5n8)Sn 1(5n2)Sn20n8，所以(5n3)Sn 2(5n7)Sn 120n28.-，得(5n3)Sn 2(10 n1)Sn1(5n2)Sn20，所以(5n2)Sn 3(10n9)Sn2(5n7)Sn 120.-，得(5n2)Sn 3(15n6)Sn2(15n6)Sn 1(5n2)Sn 0因為an 1Sn 1Sn ，所以(5n2)an 3(10 n4)an2(5n2)an 10 .又因為5n2 0，所以an 32an 2an 10，即an 3an 2an 2an 1 ，n 1.所以數(shù)列an為等差數(shù)列.方法2由已知，得S1 a11 ,又(5n 8)Sn i (5n 2)Sn20n 8，且 5n 8 0,所以數(shù)列Sn是唯一確定的，因而數(shù)列an是唯一確定的.設(shè)bn 5n 4，則數(shù)列bn為等差數(shù)列，前n項和Tnn(5n 3).23)22于是(5n 8)Tn i(5n 2)Tn (5n 8)(n 1)(5n 2)(5n2) n