高等數學D112對坐標曲線積分[1]課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1第二節(jié)一、對坐標的曲線積分的概念一、對坐標的曲線積分的概念 與性質與性質二、二、 對坐標的曲線積分的計算法對坐標的曲線積分的計算法 三、兩類曲線積分之間的聯系三、兩類曲線積分之間的聯系 對坐標的曲線積分 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1一、一、 對坐標的曲線積分的概念與性質對坐標的曲線積分的概念與性質1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在 xOy 平面內從點 A 沿光滑曲線弧 L 移動到點 B, 求移cosABFW “大化小” “

2、常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分11kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代變常代變”L把L分成 n 個小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功為,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點在kykxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11

3、高等數學D112對坐標曲線積分13) “近似和近似和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中 為 n 個小弧段的 最大長度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分12. 定義定義. 設 L 為xOy 平面內從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點, 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標的曲線積分坐標的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10l

4、im則稱此極限為函數或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數被積函數 , 在L 上定義了一個向量函數極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 為空間曲線弧 , 記稱為對 x 的曲線積分;稱為對 y 的曲線積分.若記, 對坐標的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),

5、(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地, 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分13. 性質性質(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !目錄 上

6、頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1二、對坐標的曲線積分的計算法二、對坐標的曲線積分的計算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),證明證明: 下面先證LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1對應參數設分點根據定義ix,it),(ii點,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxP

7、d),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim對應參數連續(xù)所以)(t因為L 為光滑弧 ,同理可證LyyxQd),(tttQd )(),()(t目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1特別是, 如果 L 的方程為,:),(baxxy則xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(對空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(,

8、 )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1例例1. 計算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數, 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數, 則11:,:2yyxL54d2114yy從點xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A目錄 上頁 下

9、頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1yxO例例2. 計算其中 L 為,:, 0aaxyBAaa(1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1例例3. 計算,dd22yxxyx

10、L其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1BAyxzO例例4. 設在力場作用下, 質點由沿 移動到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR202

11、2d)(2) 的參數方程為kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d試求力場對質點所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk222k其中 為 ),(zxyFsFWdsFWd目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1例例5. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx從 z 軸正向看為順時針方向.解解: 取 的參數方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)

12、sin)(cos2(tt 2zyxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1三、兩類曲線積分之間的聯系三、兩類曲線積分之間的聯系設有向光滑弧 L 以弧長為參數 的參數方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sysxddcos,ddcos則兩類曲線積分有如下聯系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲

13、線積分1類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA)d,d,(ddzyxs )cos,cos,(costsA dsA dstAd記 A 在 t 上的投影為目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1二者夾角為 例例6. 設,max22QPM曲線段 L 的長度為s, 證明),(, ),(yxQyxP續(xù),sMyQxPLdd證證:LyQxPddsQPLdcoscos設sMsQPLdcoscos說明說明: 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連 )cos,(cos, ),(t

14、QPAstALdsALdcos目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1例例7. .將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xxsyddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分11. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQ

15、xyxPd),(d),(2. 性質(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內容小結內容小結目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分13. 計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQ

16、xxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 :目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1 F原點 O 的距離成正比,思考與練習思考與練習1. 設一

17、個質點在),(yxM處受恒指向原點,)0,(aA沿橢圓此質點由點12222byax沿逆時針移動到, ),0(bBO),(yxMxy)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解見 P196 例5), ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk 思考思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1O)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cx

18、yz2. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1作業(yè)作業(yè) P198 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分1備用題備用題 1.解解:OzxyABzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A線移動到, )2,4,4(B向坐標原點, 其大小與作用點到 xOy 面的距離成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指一質點在力場F 作用下由點222zyxkzjyixzk目錄 上頁 下頁 返回 結束 2021-10-11高等數學D112對坐標曲線積分12. 設曲線C為曲面2222azyx與曲面ax