向量極化恒等式研究

1、向量的不合常理性質(zhì)的研究向量以其既能體現(xiàn)“形”的直觀的位置特征，又具有“數(shù)”的良好的運算性質(zhì), 為廣大師生所喜歡。但向量又不同于數(shù)量，也不同于線段，它是多方的綜合體。對于初學(xué)者來講，向量的難度就在于它存在著多條與我們已經(jīng)接受和應(yīng)用了十 幾年的數(shù)量的運算及幾何變換格格不入的法則，存在著一些不合學(xué)生以往邏輯 的性質(zhì)；對于使用向量時出現(xiàn)的各種錯誤也往往出現(xiàn)在這幾條與我們固有的、 想當(dāng)然的不相一致的性質(zhì)、定理上，不妨把這些性質(zhì)、定理稱為“不合常理的性質(zhì)”。不合常理1向量不是有向線段，卻用有向線段表示根據(jù)向量的定義，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向線段來表示，但 有向線段又不等同于向量，有向線段

2、有起點、大小、方向三要素，而向量只有大 小和方向，與起點無關(guān)。一個向量可用多條有向線段表示，自由向量的可移動性決定了多條不同起點的有向線段表示的可能是同一個向量， 從而有向線段與向量就如同 形”與 神”的 關(guān)系，不管 形”的位置如何變動，但 神”始終不變，使得利用向量在解題過程 中可以有眾多的選擇機會。在利用某個向量進(jìn)行證明及運算時，可使用它的多個不同外殼”，以達(dá)到解題目的，當(dāng)然就更需要學(xué)生有較強的轉(zhuǎn)化思想和化歸能力。向量與有向線段的區(qū)別 還體現(xiàn)在平行（共線）的關(guān)系上，有向線段有平行和共線 之分，這符合學(xué)生的平面幾何中對直線的理解。但向量共線即平行，平行即共線，使“而/憶二4乩C 三點共線”成

3、為證明三點共線的好方法.也使WCD是平行 四邊形o麗=頁堤一個錯誤的結(jié)論高蜩訓(xùn)刪咤如呢i不合常理2向量有大小，卻不可比較大小向量是一個有大小的量.它可用數(shù)來表示它的大?。Ｈ?但它卻不可以比較大小.不存在諸如ab或a uR同時向量 又在一個特殊的時候可以比較大小，既同向又模相等的情況 下，存在這真是有點矛盾，外爵獅酗咤皿忸3不合常理3零向量方向任意，卻可平行不可垂直零向量是一個特殊的向量，它的模是0,但它卻不同于丄而 是 不僅在書寫上有區(qū)別，在性質(zhì)上更有區(qū)別d有方向 它的方向是任意的，因此可以作任何向量平行.卻不可以與 任何向量垂直因此“/ =（）皿亠力是錯誤的，必須加上必 都是非零向量.前述

4、常見錯誤h也是對零向量認(rèn)識不清的一種錯誤體現(xiàn)， 有關(guān)0與0的常見判斷題如：0 = 0（X）:若=則2 = 0或60（X）；若已/工0貝怙工。且b強0（X）；等等，都是 考查師生對與0的辨別能九土辭數(shù)孚海研裁沁硼不合常理4向量運算滿足交換律，分配律 卻不滿足結(jié)合律、消去律 向量運算滿足a bb a , a(b + c)ab + ac t卻不滿足 a(S*c) = (a *6)c ； ab=b-c=a = c t它滿足完全平方公式、 平方差公式，卻又不同于簡單的完全平方公式雖然 a(b c豐(a*Mc 但ba(b c-(a*1 = 0卻是正確的.【例】已知口3為非零向量.(為實數(shù)，設(shè)u=atb.當(dāng)

5、同取 最小值時，求證：A丄G +厲).錯解:由冋=，又 ir = (a + tby -a -2a b + br = bt + Y , 1 又由 b 0 f h得當(dāng)u-辛?xí)r，同取到最小值.b所以A( +幣)=A (o -三厲=一口 - A = o . 5于是得 bb 丄(a-ib)r分析：這是學(xué)生較多出現(xiàn)的解法 一般學(xué)生都認(rèn)為自己 的證明簡捷明了，而且水到渠成.無懈可擊而實際上是漏 洞百出，不堪一擊*其錯誤主要在于1中利用了消去律，把 和&混為一談.在2中忽略了0任=0 丕能得一出6丄/不合常理5向量有坐標(biāo)，但坐標(biāo)卻與向量無關(guān)但向量a = (3A)t卻不一定說明向量經(jīng)過了點(34),只是說 明了

6、向量口的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)為(34)T若要使向量口 的終點果(3,4L 別必須a妁紀(jì)盤為(0*0).如上文常見錯誤2就是對向量與坐標(biāo)的關(guān)系認(rèn)識不清，而所謂自由向量的可移動性，這使得向量要過原點有點可遇而不可求，這就增添了已知條件作圖的難 度，當(dāng)然我們可以不顧一切把向量的起點都放在原點。不合常理61 一 2 I 2a、a- a - aa a = a2 = a因為m2之間的夾角為0,但任意的兩個向量日和A的夬角卻不一定為0,因此 a*bab但口卻時常轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為：，從而利用向量的數(shù)量積進(jìn)行運算.常見錯誤:(a-iy=八頁正確判斷:(ctb)2 a2； ab a +|fi|,不合常理7書上寫a、

7、b、c，我卻不可寫a、b、c向量的使用書寫過程中，學(xué)生最容易忘記的是向量字母上的“TS特別是利用單個小寫英文字母的時候如乩C, /,八斤,因為書本或試卷中采用的是黑體，所以往往不加T,但學(xué)生書寫時必須寫成日這種形式，雖然這只是書寫的細(xì)節(jié)問題但如果不加注意就會出現(xiàn)類似于ab=ab這 種形式，從而把向量的數(shù)量積與數(shù)貯籟無顯溝歳艦亠m込不合常理8向量的加減法滿足平行四邊形法則，但在具體的想象中1顯 然OA-OB = BAi但刃+面卻不能得到直接的答案，只有 通過具體的題目才能得到正確的結(jié)果雖然向量的加和減所 得的結(jié)果恰好是利用平行四邊形法則得到的平行四邊形的 兩條對角線，OAOB所得結(jié)果為。指向另一

8、端點，能夠直 接確定，但OA-OH的向最從哪到哪卻是不少同學(xué)經(jīng)常搞錯 的問題之一，不少同學(xué)就認(rèn)為（5a + obab.不合常理9向量/厶不等介于a - kb ,是因為乙若為零向量，日為非零 向量則不存在這樣的實數(shù)兒 但a / /b xy2 -= 0 ,雖 然最初的證明是從不為零向量開始的，但最終經(jīng)過驗證卻 對為零向量也成立；雖然西兀-XV】=0來源于邑，*X2 旳牛 .X V但G / /卻不能推出-高中動字解郵膠R超444沁不合常理10直線的方向向量的夾角卻不一定是直線的夾角對于兩條直線求夾角的問題，可以轉(zhuǎn)化為求兩條直線所在的方向向量的夾角， 兩條直線方向向量的夾角卻不一定是兩條直線的夾角，可

9、能是直線夾角的補角。因為兩條直線的夾角的取值范圍是0%903而兩向量的夾角 的取值范圍是0%180t特別是在三角形中遇到如莊MBC 中，麗=門BCa CAbf這個條件時，要牢記這三個向 量中每兩個向量的夾角是三角形的外角而不是內(nèi)角，(例】如圖，已知正方體ABCD-AC的棱長為2M .N分別為AA 坊的中點.求和QN所成角的余弦值.解：建立以D為坐標(biāo)原點、為x軸，D為卩軸，DD. 為二軸的直角坐標(biāo)系由正方體的棱長為2” 得C0t2t0)( M(2*0,l) =017 = (2.-2,1), q(M),2), N(2,2,l)n 口 = (22 1. 4-4-|所以cos=-=一亍又兩條直線的夾角

10、取值范圍是090(1其余弦值為非負(fù) 數(shù)于是，CW和所成角的余弦值為y對于以上羅列的十條不合常理”的性質(zhì)和定理，是學(xué)生在使用向量時出錯的主 要原因所在，只有教師在平時的教學(xué)工作中加以認(rèn)真總結(jié)分析，才能達(dá)到防患 于未然，使學(xué)生在喜歡用向量解題的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，達(dá)到正確靈活的應(yīng)用向 量，使向量的工具性體現(xiàn)得淋漓盡致。7極化恒等式在解題中的應(yīng)用向量是高中數(shù)學(xué)一個非常重要的內(nèi)容，它集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性, 又有幾何的直觀性，是形象思維與抽象思維的有機結(jié)合。近幾年來，在新課程的引領(lǐng)下，各省市高考試題涌現(xiàn)了一些以向量為背景的好題， 有些省市甚至是以向量為突破口來實現(xiàn)高考試題命制的創(chuàng)新。它們以向量的線性 運算以及數(shù)量積運算為載體，綜合考查學(xué)生的運算求解能力，推理論證能力， 以此做為壓軸試題來提高考生的區(qū)分度?；谏鲜鲈?，除了掌握向量的基本運算之外，還有必要掌握向量中一些常見的 解題方法，比如向量的極化恒等式（平面向量的積化和