與圓有關(guān)的最值問題求解策略

1、 與圓有關(guān)的最值問題的求解策略 江蘇省蘇州中學(xué)江小娟 圓是數(shù)學(xué)中優(yōu)美的圖形， 具有豐富的性質(zhì).由于其圖形的對稱性和完美性，很多與圓有 關(guān)的最值問題都可以運(yùn)用圓的圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解當(dāng)然，根據(jù)教學(xué)要求的說 明，“平面解析幾何的重要內(nèi)容，教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生從中感受運(yùn)用代數(shù)方法處理幾何問題的 思想”，因此在此類問題的求解中，有時也會用到函數(shù)思想和基本不等式思想等本文將就 與圓的最值問題有關(guān)的題目進(jìn)行歸納總結(jié)，希望能為學(xué)生在處理此類問題時提供幫助. 類型一：圓上一點(diǎn)到直線距離的最值問題應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離加半徑，減半徑 例1已知P為直線y=x+1上任一點(diǎn)，Q為圓C： (x 3)2 y2 1上任

2、一點(diǎn)，則PQ的最小 值為. 【分析】：這是求解“圓上一動點(diǎn)到直線距離”的常見考題，可以通過平面幾何的知識得“圓 心到直線的距離減半徑”即為最短距離，這一結(jié)論在解題時可直接應(yīng)用. 解：如圖1，圓心C到直線y=x+l的距離d 2運(yùn)，圓半徑r 1，故|PQ| |PC| r 2近 1 變題1：已知A(0,1),B(2,3),Q為圓C(x 3)2 y2 1上任一點(diǎn)，則S/qab的最小值為. 【分析】本題要求 S/qab的最大值，因為線段 AB為定長，由三角形面積公式可知，只需求 ，即例1. “Q到Iab的最小值”，因此問題轉(zhuǎn)化為“圓上一動點(diǎn)到直線的最小距離” 解:如圖2,設(shè)hQ為Q到Iab的距離，則S/

3、QAB AB hQ 72佗 72(22 1) 4 V2 x x 變題2：由直線y=x+1上一點(diǎn)向圓 C： (x 3)2 y2 1引切線，則切線長的最小值為 【分析】一般地，當(dāng)直線和圓相切時，應(yīng)連接圓心和切點(diǎn), 構(gòu)造直銷三角形進(jìn)行求解因為 PA2 PC2 r2，故即求PC的最小值，即例1. 解：如圖3, PA2 PC2 r2 PC2 1，: PCmin 2、&PAmin7 變題3：已知 P為直線y=x+1上一動點(diǎn)，過 P作圓C: (x 3)2 y2 1的切線PA, PB,A、 B為切點(diǎn)，則當(dāng)PC=時， APB最大. 【分析】 APB APC，故即求角 APC的最大值，利用其正弦值即可轉(zhuǎn)化為求PC

4、的最小值，即例1 1 解：如圖 4,t APB APC, sin APC，: PCmin 2 2, pc 2耳時， APC最大，即 APB最大. x x 2 變題4:已知P為直線y=x+1上一動點(diǎn)，過 P作圓C: (x 3)2 1的切線PA，PB,A、 B為切點(diǎn)，則四邊形 PACB面積的最小值為. 【分析】將四邊形面積轉(zhuǎn)化為兩個全等的三角形的面積，從而轉(zhuǎn)化為 轉(zhuǎn)化為求切線段的最小值問題. PA的最小值，問題又 1 解：如圖 4 , S四邊形 PACB S pac S pab 2S PAB 2PA AC PA，由變式2可知, PAnin 7，故四邊形PACB面積的最小值為7 【解題回顧】在上面例

5、1及幾個變試題的解題過程中， 我們可以總結(jié)一句“萬變不離其宗”, 一般地，求“圓上一動點(diǎn)到直線距離”的常見考題，可以通過平面幾何的知識得“圓心到直 線的距離減半徑”即為最短距離，“圓心到直線的距離加半徑”即為最大距離，這一結(jié)論在 解題時可直接應(yīng)用.另：和切線段有關(guān)的問題常利用 “連接圓心和切點(diǎn)，構(gòu)造直銷三角形“進(jìn) 行求解也即將“ 兩個動點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為一個動點(diǎn)的問題”如下例. 例2已知圓C： x2 y2 2x 4y 30 ,從圓C外一點(diǎn)卩(捲，)向該 圓引一條切線，切點(diǎn)為 M, 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有 PM=PO ,求使得PM取得 最小值的點(diǎn)P坐標(biāo). 【分析】本題中，由于點(diǎn)P和點(diǎn)M均在動，故直接做很

6、難求解聯(lián)系到 PM是切線段，因此可利用 PM 2 PC2 r2將條件PM=PO轉(zhuǎn)化為只含 有一個變量P的式子即可求解. 解：由題意，令 P(x, y)，: pm 2 PC22，二 PC22 PO2 , 即(x 1)2 (y 2)22 x2 y2，化簡得：2x 4y 30 . PM=PO ,即求直線2x 4y 30到原點(diǎn)O(0,0)的最小距離. 2,5 10 5，易得PM的最小值為10t5. 類型二：利用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值 例3若實(shí)數(shù)x、y滿足x2 y2 2x 4y 0 ,求x-2y的最大值. 利用圓的參數(shù)方程將所求式轉(zhuǎn)化為三角 【分析】本題是典型的用圓的參數(shù)方程解決的題型, 函數(shù)

7、求最值，利用輔助角公式即得最大值. 解: (x 1)2 (y 2)25，令 x y 1 . 5 cos 25 sin (R)， 2y 5、5cos 2、一 5 s in 5cos( )5 (其中cos 5 . ,sin 5 cos( )1 時，(X 2y)max 故x-2y的最大值為 0. 和圓有關(guān)的一次式的求解， 利用圓的參數(shù)方程可以比較方便的求到最值. x 【解題回顧】 類型三：抓住所求式的幾何意義轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求最值 若所求式子具有較明顯的幾何意義，可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求最 直 比如例2,除了用圓的參數(shù)方程求解，還可以聯(lián)想到在線性規(guī)劃問題 中，這類題通常轉(zhuǎn)化為直線方程的縱截距求解.

8、 1 1 解法二：令x 2y 乙則y x -z，由題意，當(dāng)直線的縱截距最 2 2 小時，z最大，此時直線和圓相切，故圓心到直線的距離 故z 0或 10，由題意，Zmax 0，即x-2y的最大值為0. 除了轉(zhuǎn)化為直線的截距求解，還有一些式子具有明顯的幾何意義，比如斜率、兩點(diǎn)間距 離、點(diǎn)到直線的距離等.比如在上例中，改為求必,(x 2)2 (y 1)2, x y 1的取 x 2 值范圍，則可以分別用如下方法求解： 對y 1，轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)A(2,1)連線斜率的最大值，可設(shè)過點(diǎn)A(2,1)的直線 x 2 3k 1 為y 1 k(x 2)，直線和圓相切時，即圓心到直線的距離d -J5，可得

9、4kkrl 1 1 k 2或，故 k 2,)(，才. 對(x 2)2 (y 1)2，轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)A(2,1)距離的平方的取值范圍，由例1 易得 PA CA . 5, CA ,5，即 PA2 (x 2)2 (y 1)2 50 1 2,50 10、2 對x y 1 ,聯(lián)想到點(diǎn)到直線的距離公式中有類似的元素.可將問題轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)P 到直線x y 1 0的距離的問題，易得，圓心到直線的距離為2、2，故圓上任一點(diǎn) P(x,y) 到直線x y 10的距離卜N 12J2 J5, 2J2J5, 42 即 x y 14 腦4J0. 【解題回顧】當(dāng)所求式子含有明顯的幾何意義時，注意聯(lián)系線性規(guī)劃，

10、用線性規(guī)劃的思路求 解可將問題簡單化和直觀化. 類型四：向函數(shù)問題轉(zhuǎn)化 平面解析幾何的重要內(nèi)容，教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生從中感受運(yùn)用代數(shù)方法處理幾何問題的思 想.有些問題，單純利用圓的幾何性質(zhì)無法求解.此時應(yīng)考慮如何利用代數(shù)思想將問題轉(zhuǎn)化 為函數(shù)問題. 例4( 2010年高考全國卷 I理科11)已知圓O： x2 y21 , PA、 PB為該圓的兩條切線, A、 urn uuu ”曰士、 B為兩切點(diǎn)，貝U pa pb的取小值為 【分析】本題中，由于 b都是動點(diǎn)，故將PA PB轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形 mu mu 式較難求解.此時考慮到向量數(shù)量積的定義，令 APB 2 , PA PB uur PA B uur PB

11、cos2 表示，故所求式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的三角函數(shù)求解. uur uuu uum uuu 解：令 APB 2(0,-), PA PB PA PB cos 2 ,PA uuu 二 PA uuu PB cos 2cos2cos2 (1 sin 2 )(1 2sin2 ) 2 2 tansin 2 sin 令 sin2 uun luu t(t 0)，則 PA PB (1 t)(1 2t) t 1 2t t 3 2p2 3 (當(dāng)且僅當(dāng) t ，即 sin2 2 2 時取等號) 而切線段PA=PB也可用 1 tan 【解題回顧】 本題以向量定義為載體， 巧妙地利用了設(shè)角為變量，將與圓有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為 三角函

12、數(shù)的問題求解將幾何問題代數(shù)化，利用函數(shù)思想求解同時運(yùn)用了換元思想，基本 不等式思想等解題方法，是一道綜合題. 類型五：向基本不等式問題轉(zhuǎn)化 例5已知圓C： (x+2) y2 4 ,過點(diǎn)A( 1,0)做兩條互相垂直的直線 h、J , h交圓C 與E、F兩點(diǎn)，J交圓C與G、H兩點(diǎn)， (1) EF+GH的最大值. 求四邊形EGFH面積的最大值. 【分析】由于EF和GH都是圓的弦長，因此可利用 半徑2二半弦長2+弦心距2將EF+GH轉(zhuǎn)化，難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化后要利 用基本不等式的相關(guān)知識點(diǎn). 解：（1）令圓心C到弦EF的距離為di，到弦GH的距離為d2，則 1, EF+GH 2( . 4 dj - 4 d22)，又 d12 d22 CA2 廠9廠d/)87 2y2 （當(dāng)且僅當(dāng)d1 d2丄2取等號） 2 故 EF+GH 2 (2) EF GH , - S 四邊形 EFGH 2EF GH 2 4 d12 . 4 d22 (d12 d22) 2 （當(dāng)且僅當(dāng)d1 d2 2 取等號） 2 【解題回顧】本題（ 1）是利用篤勺a ，（2）是利用，ab a b .基本不等式 2 在利用基本不等式求最值時應(yīng)注意如何構(gòu)造“定量” 是求最值