全等三角形的提高拓展訓(xùn)練典范題型50題含答案解析

1、全等三角形的提高拓展訓(xùn)練知識點(diǎn)睛全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等.尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1) 全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊.(2) 全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.(3) 有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊.(4) 有公共角的，公共角常是對應(yīng)角.(5) 有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角.(6) 兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角).要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應(yīng)的元素是

2、關(guān)鍵.全等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等. 角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(3) 邊邊邊定理(SSS):三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(4) 角角邊定理(AAS):兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(5) 斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線.拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系.而證明兩條線段或兩個角的和

3、、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ).例題精講板塊一、截長補(bǔ)短【例1】(06年北京中考題)已知 ABC中，A 60 , BD、CE分別平分 ABC和.ACB ,NBD、CE交于點(diǎn)0,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【例2】 如圖，點(diǎn) M為正三角形 ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn) （點(diǎn)B除外），作DMN 60，射線MN與/ DBA外角的平分線交于點(diǎn) N , DM與MN有怎樣的 數(shù)量關(guān)系？【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn) M為正方形 ABCD的邊AB上任意一點(diǎn),于點(diǎn)N , MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？MN DM且與ZABC外角的平分線交【例3】已知：如圖，ABCD是正方形，/ FAD= /F

4、AE求證:BC【例4】 以 ABC的AB、AC為邊向三角形外作等邊于點(diǎn)0 .求證：OA平分 DOE 【例5】（北京市、天津市數(shù)學(xué)競賽試題）如圖所示， ABC是邊長為1的正三角形，BDC是MDN ,頂角為120的等腰三角形，以 D為頂點(diǎn)作一個60的AB、AC上，求 AMN的周長.【例 6】 五邊形 ABCDE 中，AB = AE, BC+ DE= CD，/ABC+ ZAED= 180求證：AD平分Z CDE板塊二、全等與角度BAC 60 , AD 是 BAC 的平分線，且 AC AB BD ,【例7】如圖，在ABC中,求 ABC的度數(shù).【例8】在等腰 ABC中，AB AC，頂角 A 20，在邊A

5、B上取點(diǎn)D，使AD BC，CA求 BDC .【例9】（“勤奮杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題 ）如圖所示，在 ABC中，AC BC，又M在AC上，N在BC上，且滿足 BAN 50， ABM 60，求 NMB 例 10】在四邊形 ABCD 中，已知 AB AC， ABD 60 ， ADB 76 ， BDC 28 ， 求 DBC 的度數(shù) .【例11】（日本算術(shù)奧林匹克試題）如圖所示，在四邊形ABCD中， DAC 12 , CAB 36 ， ABD 48 ， DBC 24 ，求 ACD 的度數(shù) .【例12】（河南省數(shù)學(xué)競賽試題）在正 ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，使DA DB，在 ABC 外取一點(diǎn) E，使 DBE DBC，且

6、 BE BA，求 BED.【例13】（北京市數(shù)學(xué)競賽試題）如圖所示，在 ABC中，BAC BCA 44 , M為 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，使得 MCA 30 , MAC 16，求 BMC的度數(shù).全等三角形證明經(jīng)典20題（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求 AD延長AD到E使 DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEAEAB+BE即:10-22AD10+2 4AD6又AD是整數(shù)則AD=52. 已知：/ 1= Z2 , CD=DE , EF/AB，求證：EF=AC證明：過E點(diǎn)，作EG/AC，交AD延長線于 G貝 U/

7、DEG= ZDCA，/DGE= Z2又VCD=DEzADC BzGDE (AAS )EG=ACTEF/ABZDFE= Z1/Z1= Z2ZDFE= ZDGEEF=EGEF=AC3. 已知：AD 平分/ BAC, AC=AB+BD ，求證：/ B=2 ZCA證明：在AC上截取AE=AB，連接 EDVAD 平分 ZBACZEAD= /BAD又 VAE=AB , AD=AD zAED BzABD ( SAS)ZAED= ZB，DE=DB/AC=AB+BDAC=AE+CECE=DEZC= /EDCvZAED= ZC+ ZEDC=2 ZCZB=2 ZC4. 已知：AC 平分Z BAD , CE丄AB ,

8、ZB+ /D=180 ，求證：AE=AD+BE證明：在AE上取F，使EF= EB,連接 CF 因為CE丄AB所以/CEB=/CEF = 90 因為 EB= EF, CE= CE,所以 CEBzCEF所以/B =ZCFE因為/B +/D = 180 ,zCFE+/CFA = 180所以/D = /CFA因為AC平分/BAD所以 /DAC =/FAC又因為AC = AC所以ADC ZAFC (SAS)E所以AD = AF所以 AE = AF + FE= AD + BE5. 如圖，四邊形 ABCD中，AB /DC , BE、CE分別平分/ ABC、/BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。證

9、明：在BC上截取BF=BA,連接EF.ZABE= /FBE,BE=BE,貝UABE ZFBE(SAS), ZEFB= /A;AB 平行于 CD,則:/A+ /D=180 ;又/EFB+ ZEFC=180 :則/EFC= ZD;D又/FCE= /DCE,CE=CE,故FCEBQCE(AAS),FC=CD.所以，BC=BF+FC=AB+CD.6. 已知，E 是 AB 中點(diǎn)，AF=BD , BD=5 , AC=7，求 DC 作AG /BD交DE延長線于GAGE全等BDEAG=BD=5AGF PDFAF=AG=5所以 DC=CF=27 . （5分）如圖，在 ABC中,BD=DC,/1= Z2，求證:A

10、D 丄 BC.延長AD至H交BC于H;BD=DC;所以：ZDBC= /角 DCB;/仁 Z2;ZDBC+ /仁 /角 DCB+ /2;ZABC= ZACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;ZBAD= /CAD;AD是等腰三角形的頂角平分線所以：AD垂直BC 8 .（5分）如圖，0M平分/POQ , MA丄OP,MB丄OQ , A、B為垂足，AB交0M 于點(diǎn)N .求證：/ OAB= ZOBAOM，且/MOA= /MOB因為AOM與MOB都為直角三角形、共用所以MA=MB所以/ MAB= /MBA 因為 /OAM= /OBM=90 度 所以 / OAB=90- ZMAB ZOBA

11、=90- /MBA 所以 /OAB= /OBA9 . （ 5分）如圖，已知 AD /BC,/PAB的平分線與/ CBA的平分線相交于 E, CE的連線交AP 于 D .求證：AD+BC=AB .證明：做BE的延長線，與AP相交于F點(diǎn),PA/BC/ZPAB+ /CBA=180 ,又T, AE , BE均為/PAB 和/CBA的角平分線ZEAB+ /EBA=90 AEB=90 , EAB 為直角三角形 在三角形 ABF中，AE丄BF，且AE為/FAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，ZEBC= /DFE,且 BE=EF , /DEF= /CE

12、B,三角形DEF與三角形BEC為全等三角形， DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC10 . （6 分）如圖， ABC 中,AD 是/CAB的平分線，且 AB=AC+ CD，求證:/ C=2 ZB證明：在 AB上找點(diǎn)E,使AE=ACVAE=AC , /EAD= /CAD , AD=ADz.ADE zADC。DE=CD , /AED= ZCVAB=AC+CD , zDE=CD=AB-AC=AB-AE=BEZB= ZEDBZC= ZB+ ZEDB=2 ZBBD的延長11 . （7 分）如圖， ABC 中，/BAC=90 度，AB= AC, BD 是/ABC 的平分線,線垂直于過C點(diǎn)的直線于

13、E,直線CE交BA的延長線于F.AD求證：BD=2 CE.證明：延長BA、CE,兩線相交于點(diǎn) FBE丄 CEZBEF= /BEC=90 在ABEF和ABEC中ZFBE= ZCBE, BE=BE, ZBEF= ZBECZBEFBAEC(ASA)EF=ECCF=2CE ZABD+ /ADB=90 ,ZACF+ /CDE=90 又vZADB= ZCDE ZABD= ZACF在AABD和AACF中ZABD= ZACF, AB=AC, ZBAD= ZCAF=905BD ACF(ASA)BD=CFBD=2CEC12、（10分）如圖：AE、BC交于點(diǎn)M , F點(diǎn)在AM上,BE/CF, BE=CF。求證：AM

14、 是AABC的中線。證明：BEllCF 左=ZCFM , ZEBM= ZFCMBE=CFZBEM zCFMBM=CMAM是AABC的中線.13、（10分）AB=AC , DB=DC , F是AD的延長線上的一點(diǎn)。求證： BF=CF 證明：在厶ABD與AACD中AB=ACBD=DCAD=AD也zACDzADB= /ADCzBDF= ZFDC在ABDF與厶FDC中BD=DCZBDF= ZFDCDF=DFBD 也zECDBF=FC14、（12 分）如圖：AB=CD , AE=DF , CE=FB。求證: AF=DE 。C因為AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角

15、形CDF因為 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE15. 已知：如圖所示， AB = AD , BC = DC, E、F分別是 DC、CBC的中點(diǎn)，求證：AE = AF。連結(jié)BD，得到等腰三角形 ABD和等腰三角形 BDC，由等 腰兩底角相等得：角 ABC=角ADC在結(jié)合已知條件證得： ADE zABF得 AE=AF16 .如圖，在四邊形 ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，/ 1= Z2 ,/3= Z4，求證：/5= Z6 .C因為角1=角2 Z3= Z4所以角ADC=角ABC.又因為AC是公共邊，所以AAS=三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于

16、DC ,角3等于角4,EC=EC 三角形DEC全等于三角形BEC 所以Z5= Z6求證：BE= CD.17.已知：如圖，AB=AC, BD AC , CE AB，垂足分別為 D、E, BD、CE相交于點(diǎn)F,證明：因為 AB=AC ,所以 ZEBC= ZDCB因為BD丄AC , CE丄AB所以 ZBEC= ZCDBBC=CB （公共邊）則有三角形EBC全等于三角形 DCB所以BE= CDD18.如圖，在 ABC中，AD為/BAC的平分線，DE丄AB于E, DF丄AC于F。求證：DE=DF .AAS 證ADEBZADF19 在ABC 中，ACB 90 , AC BC，直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C，且 A

17、D MN 于 D ,BE MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ADC也CEB ; DE AD BE ；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明;若不成立，說明理由(1 )證明：/ ACB=90 ,ZACD+ ZBCE=90 ,而AD丄MN于D , BE丄MN于E, ZADC= ZCEB=90 ,zBCE+ ZCBE=90 ZACD= ZCBE.在 Rt ADC 和 Rt CEB 中，ZADC= /CEB/ACD= ZCBE AC=CB , Rt ADC 織t CEB (AAS ),AD=CE , DC=BE , DE=DC+CE=BE+AD(2 )不成立，證明：在 ADC 和CEB 中，/ADC= /CEB=90 4CD= /CBE A