單利與復(fù)利的計(jì)算不同之處

1、單利與復(fù)利的計(jì)算一、利息與利率 利息利息是指占用資金所付出的代價(jià)或放棄資金使用權(quán)所得到的補(bǔ) 償。如果將一筆資金存入銀行，這筆資金就稱為本金。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間 之后，儲(chǔ)戶可在本金之外再得到一筆利息，這一過(guò)程可表示為：F = P+ Inn式中Fn本利和；P 本金；ln 利息。下標(biāo) n 表示計(jì)算利息的周期數(shù)。 計(jì)息周期是指計(jì)算利息的時(shí)間單位， 如“年”、“季度”、“月”或“周”等，但通常采用的時(shí)間單位是 年。 利率利率是在單位時(shí)間 （一個(gè)計(jì)息周期 ）內(nèi)所得的利息額與借貸金額 （ 即本 金） 之比，一般以百分?jǐn)?shù)表示。用 i 表示利率，其表達(dá)式為：i=I 1/P*100%式中 I 1 一個(gè)計(jì)息周期的利息。上

2、式表明，利率是單位本金經(jīng)過(guò)一個(gè)計(jì)息周期后的增值額。 利率又分為基礎(chǔ)利率、同業(yè)拆放利率、存款利率、貸款利率等類型。 基礎(chǔ)利率是投資者所要求的最低利率， 一般使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的國(guó)債收益率 作為基礎(chǔ)利率的代表。 同業(yè)拆放利率指銀行同業(yè)之間的短期資金借貸 利率。同業(yè)拆放有兩個(gè)利率，拆進(jìn)利率表示銀行愿意借款的利率；拆 出利率表示銀行愿意貸款的利率。 同業(yè)拆放中大量使用的利率是倫敦 同業(yè)拆放利率 (LIBOR) ，指在倫敦的第一流銀行借款給倫敦的另一家 第一流銀行資金的利率。我國(guó)對(duì)外籌資成本即是 在 LIBOR 利率的基 礎(chǔ)上加一定百分點(diǎn)，從 LIBOR 變化出來(lái)的，還有新加坡同業(yè)拆放利 率(SIBOR)、紐約

3、同業(yè)拆放利率(NIBOR)、香港同業(yè)拆放利率(HIBOR) 等等。二、單利計(jì)息與復(fù)利計(jì)息 利息的計(jì)算有單利計(jì)息和復(fù)利計(jì)息兩種。 單利計(jì)息 單利計(jì)息是僅按本金計(jì)算利息， 利息不再生息， 其利息總額與借貸時(shí) 間成正比。單利計(jì)息時(shí)的利息計(jì)算公式為：I n= P - n in 個(gè)計(jì)息周期后的本利和為：Fn= P(1 + i n)我國(guó)個(gè)人儲(chǔ)蓄存款和國(guó)庫(kù)券的利息就是以單利計(jì)算的，計(jì)息周期為 “年”。 復(fù)利計(jì)息復(fù)利計(jì)息， 是指對(duì)于某一計(jì)息周期來(lái)說(shuō)， 如果按本金加上先前計(jì)息周 期所累計(jì)的利息進(jìn)行計(jì)息， 即“利息再生利息”。 按復(fù)利方式計(jì)算利 息時(shí)，利息的計(jì)算公式為：nIn= P(1 + i) - 1n 個(gè)計(jì)息

4、周期后的本利和為：Fn= P(1 + i)三、名義利率與實(shí)際利率 名義利率與實(shí)際利率的概念在以上討論中，我們都是以年為計(jì)息周期的，但在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng) 中，計(jì)息周期有年、季度、月、周、日等，也就是說(shuō)，計(jì)息周期可以 短于一年。這樣就出現(xiàn)了不同計(jì)息周期的利率換算問(wèn)題。也就是說(shuō)， 當(dāng)利率標(biāo)明的時(shí)間單位與計(jì)息周期不一致時(shí)， 就出現(xiàn)了名義利率和實(shí) 際利率的區(qū)別。名義利率，指一年內(nèi)多次復(fù)利時(shí)給出的年利率，它等于每期利率 與年內(nèi)復(fù)利次數(shù)的乘積。實(shí)際利率，指一年內(nèi)多次復(fù)利時(shí)，每年末終 值比年初的增長(zhǎng)率。例如某筆住房抵押貸款按月還本付息，其月利率為 0.5%，通常稱 為“年利率 6%，每月計(jì)息一次”。 這里的年利率

5、 6%稱為“名義利率”。 當(dāng)按單利計(jì)算利息時(shí)，名義利率和實(shí)際利率是一致的； 但當(dāng)按復(fù)利 計(jì)息時(shí)，上述“年利率 6%，每月計(jì)息一次”的實(shí)際利率則不等于名義 利率(6%)。例如，年利率為 12%，存款額為 1000 元，期限為一年， 分別以一年 1 次 復(fù)利計(jì)息、一年 4 次按季利率計(jì)息、一年 12 次按月利率計(jì)息，則一 年后的本利和分別為：一年 1 次計(jì)息 F= 1000X (1 + 12%)= 1120(元)4一年4 次計(jì)息 F= 1000X (1 + 3%) = 1125.51(元)12一年 12 次計(jì)息 F= 1000X (1 + 1%) = 1126.83(元)3%這里的 12%，對(duì)于一

6、年一次計(jì)息情況既是實(shí)際利率又是名義利率； 和1淋為周期利率。由上述計(jì)算可知：名義利率=周期利率X每年的 計(jì)息周期數(shù)。對(duì)于一年計(jì)息 4 次和12 次來(lái)說(shuō)，12%就是名義利率， 而一年計(jì)息 4 次4時(shí)的實(shí)際利率=(1 + 3%) - 1 = 12.55%; 年計(jì)息12次時(shí)的實(shí)際利率12=(1+ 1%) -1=12.68%。 名義利率與實(shí)際利率的關(guān)系式設(shè)名義利率為r，若年初借款為p,在一年中計(jì)算利息m次則每m一計(jì)息周期的利率為r/m，一年后的本利和為：F= P(1 + r/m)其 中m利息為I = F- P= P(1 + r/m) P。故實(shí)際利率i與名義利率r的關(guān)系式為： i=(1+r/m) n-

7、1 通過(guò)上述分析和計(jì)算,可以得出名義利率與實(shí)際利率存在著下述 關(guān)系： 實(shí)際利率比名義利率更能反映資金的時(shí)間價(jià)值; 名義利率越大,計(jì)息周期越短,實(shí)際利率與名義利率的差異就越大; 當(dāng)每年計(jì)息周期數(shù) m= 1 時(shí),名義利率與實(shí)際利率相等;當(dāng)每年計(jì)息周期數(shù)m 1時(shí)，實(shí)際利率大于名義利率； 當(dāng)每年計(jì)息周期數(shù)mx時(shí)，名義利率r與實(shí)際利率i的關(guān)系為：ri =e - 1、復(fù)利計(jì)算常用符號(hào)在復(fù)利計(jì)算和考慮資金時(shí)間因素的計(jì)算中， 常用的符號(hào)包括P、F、A、G s、n和i等，各符號(hào)的具體含義是：P現(xiàn)值；F終值(未來(lái)值)；A連續(xù)出現(xiàn)在各計(jì)息周期期末的等額支付金額，簡(jiǎn)稱年值；G每一時(shí)間間隔收入或支出的等差變化值；s每一

8、時(shí)間間隔收入或支出的等比變化值；n計(jì)息周期數(shù)；i每個(gè)計(jì)息周期的利率。在復(fù)利計(jì)算和考慮資金時(shí)間因素的計(jì)算中，通常都要使用 i和n,以 及P、F和A中的兩項(xiàng)。比較不同投資方案的經(jīng)濟(jì)效果時(shí)， 常常換算 成P值或A值，也可換算成F值來(lái)進(jìn)行比較。公式與系數(shù)一次支付的現(xiàn)值系數(shù)和終值系數(shù)一次支付的現(xiàn)金流量圖如圖5-3所示。如果在時(shí)間點(diǎn)t = 0時(shí)的資金現(xiàn)值為P,并且利率i已定，則復(fù)利計(jì)息的n個(gè)計(jì)息周期后的終值F的計(jì)算公式為：nF= P(1 + i)上式中的紅色部分稱為“一次支付終值系數(shù)”。當(dāng)已知終值F和利率i時(shí)，很容易得到復(fù)利計(jì)息條件下現(xiàn)值P的計(jì)算公式：P=F1/(1+i) n上式中的紅色部分稱為“一次支付

9、現(xiàn)值系數(shù)”。等額序列支付的現(xiàn)值系數(shù)和資金回收系數(shù)等額序列支付是指在現(xiàn)金流量圖上的每一個(gè)計(jì)息周期期末都有一個(gè) 等額支付金額A,現(xiàn)金流量圖如圖5-4所示。此時(shí)，其現(xiàn)值可以這樣 確定：把每一個(gè)A看作是一次支付中的F,用一次支付復(fù)利計(jì)算公式 求其現(xiàn)值，然后相加，即可得到所求的現(xiàn)值。 計(jì)算公式是： P=A(1+i) n 1/i(1+i) n =A/i1 1/(1+i) n 式中的紅色部分稱為“等額序列支付現(xiàn)值系數(shù)”。由上式可以得到當(dāng)現(xiàn)值 P 和利率 i 為已知時(shí)，求復(fù)利計(jì)息的等額序 列支付年值 A 的計(jì)算公式：A=Pi(1+i) n/(1+i) n1 =Pi/1 (1+i) -n式中的紅色部分稱為“等額

10、序列支付資金回收系數(shù)”。 等額序列支付的終值系數(shù)和儲(chǔ)存基金系數(shù) 所謂等額序列支付的終值系數(shù)和儲(chǔ)存基金系數(shù)就是在已知 F 的情況 下求A,或在已知A的情況下求F,現(xiàn)金流量圖如圖5-5所示。因?yàn)?前面已經(jīng)有了 P和A之間的關(guān)系，我們也已經(jīng)知道了 P和F之間的 關(guān)系，所以很容易就可以推導(dǎo)出 F 和 A 之間的關(guān)系。計(jì)算公式為：A=Fi/(1+i)n1上式中的紅色部分稱為“等額序列支付儲(chǔ)存基金系數(shù)”。 通過(guò)上式，我們可以很容易地推導(dǎo)出：F=A(1+i) n 1/i 上式中的紅色部分稱為“等額序列支付終值系數(shù)”。 等差序列的現(xiàn)值系數(shù)和年費(fèi)用系數(shù) 等差序列是一種等額增加或減少的現(xiàn)金流量序列。換句話說(shuō)， 這

11、種 現(xiàn)金流量序列的收入或支出每年以相同的數(shù)量發(fā)生變化。 例如物業(yè)的維修費(fèi)用往往隨著房屋及其附屬設(shè)備的陳舊程度而逐年增加， 物業(yè)的 租金收入通常隨著房地產(chǎn)市場(chǎng)的發(fā)展逐年增加等。 逐年增加的收入或 費(fèi)用，雖然不能嚴(yán)格地按線性規(guī)律變化，但可根據(jù)多年資料，整理成 等差序列以簡(jiǎn)化計(jì)算。At = A1 + (n 1)G如果以G表示收入或支出的年等差變化值，第一年的現(xiàn)金收入或支出 的流量A已知，則第n年年末現(xiàn)金收入或支出的流量為 A+ (n 1)G, 現(xiàn)金流量圖如圖 5-6 所示。計(jì)算等差序列現(xiàn)值系數(shù)的公式為： P=A1(1+i) n1/i(1+i)n+G/i(1+i)n1/i(1+i) nn/(1+i)

12、n上式中的紅色部分稱為“等差序列現(xiàn)值系數(shù)”。若要將等差現(xiàn)金流量序列換算成等額年值A(chǔ),則公式為：A=A1+G1/i n/(1+i) n1 上式中的紅色部分稱為“等差序列年費(fèi)用系數(shù)”。 等比序列的現(xiàn)值系數(shù)和年費(fèi)用系數(shù) 等比序列是一種等比例增加或減少的現(xiàn)金流量序列。換句話說(shuō)， 這 種現(xiàn)金流量序列的收入或支出每年以一個(gè)固定的比例發(fā)生變化。例如建筑物的建造成本每年以 10%的比例逐年增加、房地產(chǎn)的價(jià)格或租金 水平每年以 5%的速度逐年增加等。At = A1 (1 + s)t-1如果以等比系數(shù) s 表示收入或支出每年變化的百分率， 第一年的現(xiàn)金 收入或支出的流量 A已知，則第n年年末現(xiàn)金收入或支出的流量為 n-1A,(1 + s)，現(xiàn)金流量圖如圖5-7所示。計(jì)算等比序列現(xiàn)值系數(shù)的公式為:P=A1/(i s)1 (1+s)/1+i n i 不等于 s P=nA/(1+i) i 等于 s 上式中的紅色部分稱為“等比序列現(xiàn)值系數(shù)”。若要將等比現(xiàn)金流量序列換算成等額年值A(chǔ),則公式為：A=A1i/(i s)1 (1+s) n 1/(1+i) n1 上式中的紅色部分稱為“等比序列年費(fèi)用系數(shù)”。 復(fù)利系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示法 為了減少書(shū)寫上述復(fù)利