數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)課件

1、數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)1第三章 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)意義：1. 利用級(jí)數(shù)計(jì)算函數(shù)的近似值； 2. 級(jí)數(shù)法求解微分方程； 3. 以級(jí)數(shù)作為函數(shù)的定義； 4. 研究奇點(diǎn)附近函數(shù)的性質(zhì)。3.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)級(jí)數(shù)概念(3.1.1) ,211kkkwwwwkkkvuwi數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)2原級(jí)數(shù)成為這樣復(fù)級(jí)數(shù) 歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù) ，實(shí)級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)可移用于復(fù)級(jí)數(shù)。二、收斂性問(wèn)題 1、收斂定義： 部分和 于 有確定的極限，便稱級(jí)數(shù)收斂；極限不存在或 ，便稱級(jí)數(shù)發(fā)散。1111iikkkkkkkkkvuvuw1kkw1kku1kkv, 3 , 2 1 ,1,nwAnkknnnnA lim數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)32

2、、柯西收斂判據(jù) （級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件）： 對(duì)于任給的小正數(shù) ，必有 N 存在，使得 n N 時(shí)， 式中 p 為任意正整數(shù)。,1pnnkkw3、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)若 收斂，則 絕對(duì)收斂。 a. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)改變先后次序，和不變； b. 兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相乘，其和收斂，為兩級(jí)數(shù)和之積。1221|kkkkkvuw1kkw為-N語(yǔ)言敘述的極限定義！數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)4 ,00BqApkkkkABcqpqpnnkllkkkkk00000nkknknqpc0數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)5三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、概念與收斂判據(jù) 設(shè) 是 z 平面上某區(qū)域 B中的單值解析函數(shù)。如果函數(shù)項(xiàng) 在 B 中（或某曲線 l 上

3、）所有點(diǎn)上都收斂，則說(shuō)級(jí)數(shù)在B中（或某曲線 l 上）收斂。)()()()(211zwzwzwzwkkk), 3 , 2 , 1( )(kzwk1)(kkzw數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)6柯西收斂判據(jù) （級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件）： 對(duì)B內(nèi)每點(diǎn) z，任給小正數(shù) 0, 必有 N(, z) 存在，使得當(dāng) n N(, z) 時(shí)， 式中 p 為任意正整數(shù)。N一般隨 z 不同而不同，但如果對(duì)任給小正數(shù) 0, 存在與 z 無(wú)關(guān)的N(), 使得 n N() 時(shí)，上式成立，便說(shuō) 在 B 內(nèi)一致收斂。 pnnkkzw1)(1)(kkzw為-N語(yǔ)言敘述的極限定義！數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)72、一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)記級(jí)數(shù)和為（1

4、）在B內(nèi)一致收斂的級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng) 都是 B 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則級(jí)數(shù)的和 也是 B 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。（2）逐項(xiàng)求積分 在曲線 l 上一致收斂的級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng) 都是 l 上的連續(xù)函數(shù)，則級(jí)數(shù)的和 也是 l 上的連續(xù)函數(shù)，而且級(jí)數(shù)可沿 l 逐項(xiàng)求積分。)(zw)(zwk)(zw)(zw)(zwk11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)8（3）逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)（外氏Weierstrass 定理） 設(shè)級(jí)數(shù) 在 中一致收斂， 在 中單值解析，則級(jí)數(shù)的和 也是 中的單值解析函數(shù)， 的各階導(dǎo)數(shù)可由 逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)得到，即： 且最后的級(jí)數(shù) 在 內(nèi)的任意一個(gè)區(qū)域中一致收斂。

5、1)(kkzwB), 2 , 1 , 0( )(kzwkBB)(zw)(zw1)(kkzw1)()()()(knknzwzw1)()(knkzwB數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)93、級(jí)數(shù)一致收斂的外氏（Weierstrass）判別法，或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，或M判別法 若對(duì)于某區(qū)域 B (或曲線 l )上所有各點(diǎn) z, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 各項(xiàng)的模 （ 是與 z 無(wú)關(guān)的正數(shù))，而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂，則 在區(qū)域 B (或曲線 l )上絕對(duì)且一致收斂。1kkm1)(kkzw ,| )(|kkmzw km1)(kkzw數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)103.2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)一、定義 其中 為復(fù)常數(shù)。 這樣的級(jí)數(shù)叫作以z0為中心的冪

6、級(jí)數(shù)。二、冪級(jí)數(shù)斂散性 1、比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）(3.2.1) ,)()()(20201000zzazzaazzakkk|)(| )(| )(|20201000zzazzaazzakkk，2100aaaz)2 . 2 . 3(數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)11按比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）若則（3.2.2）收斂，而（3.2.1）絕對(duì)收斂。引入記號(hào)則即：若 ，則（3.2.1) 絕對(duì)收斂。 , 1|lim|lim010101zzaazzazzakkkkkkkk1limkkkaaRRaazzkkk10lim|數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)12另一方面，若 則 級(jí)數(shù)發(fā)散即： 收斂 發(fā)散Rzz|0 1lim|l

7、im10101RaazzazzakkkkkkkkRzz|0Rzz|0R：收斂半徑CR: 收斂圓收斂發(fā)散RCRz0數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)132、根式判別法：若 （3.2.2）收斂， （3.2.1）絕 對(duì)收斂 級(jí)數(shù)發(fā)散(收斂半徑的另一公式)kkakR1lim1|lim0kkkkzza1|lim0kkkkzzaR：收斂半徑收斂半徑CR: 收斂圓收斂圓收斂發(fā)散RCRz0數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)143、收斂圓內(nèi)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)且一致收斂 作 在 有 對(duì) 應(yīng)用比值判別法 有 冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂！冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂！kkkkRazza10|)(|01|kkkRa1lim|lim1111111

8、RRRaaRaRakkkkkkkk)( 11RRCR10|RzzR：收斂半徑收斂半徑CR: 收斂圓收斂圓收斂發(fā)散RCRz0CR1R1數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)15三、例題例1 求 的收斂圓。t 為復(fù)數(shù) kttt21. 111limlim1kkkkaaR,111120ttttttnnnkk若, 1|t,1111lim10ttttnnkkn1).|(| 1112tttttk則解：數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)16例 2 求 的收斂圓。z 為復(fù)數(shù).解：tz 26421zzz321ttt1 11 lim lim1kkkktaaR1) |(| 1112642zzzzzR：收斂半徑收斂半徑CR: 收斂圓收斂圓收斂發(fā)散

9、RCRz0CR1R11|0| , 1|0|22zttRRzRzz數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)17四、冪級(jí)數(shù)所代表的函數(shù)的解析性質(zhì)1、冪級(jí)數(shù)每一項(xiàng)均是z的解析函數(shù)，而且在收斂圓內(nèi)任一閉區(qū)域中一致收斂，據(jù)外氏定理，這級(jí)數(shù)的和 w(z) 是收斂圓內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)2、冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分3、冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw1)()()()(knknzwzw數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)184、冪級(jí)數(shù)的回路積分表示0000d )(i 21d )(i 21d )(i 21)(111kCkkCkkkCRRRzzazzazwzw數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)193.3 解析函

10、數(shù)的泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)展開(kāi)：定理：設(shè) f (z) 在以 z0 為圓心的圓 CR 內(nèi) 解析，則 對(duì)圓內(nèi)的任意 z 點(diǎn), f (z) 可展為冪級(jí)數(shù)， 其中展開(kāi)系數(shù)為 為圓CR 內(nèi)包含 z 且與CR 同心的圓。00)()(kkkzzazf1!)(d)()(i 210)(10RCkkkkzfzfa1RC數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)20 It was in 1715 that Taylor published (with no consideration of convergence) his well-known expansion theorem. In 1717, Taylor applied h

11、is series to the solution of numerical equations. Recognition of the full importance of Taylors series awaited until 1755, when Euler applied them in his differential calculus, and still later, when Lagrange used the series with a remainder as the foundation of his theory of functions. Taylor was ed

12、ucated at St. Johns College of Cambridge University and early showed great promise in mathematics. He was admitted to the Royal Society and became its secretary, only to resign at the age of thirty- four so that he might denote his time to writing. Brook Taylor (Englishman, 1685-1731) 數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)21證

13、明: 作d )(i 21)(1RCzfzf 1 111002000000zzzzzzzzzzzz)( 11RRCR展開(kāi)由柯西公式00000111)()(11zzzzzzzz（3.3.1）其中虛線圓周軌跡數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)22將（3.3.3）代入（3.3.1）逐項(xiàng)積分0100000011kkkkkkzzzzzzzzd )(i 21)()(11000RCkkkzfzzzf)|-(| )(!)()(0000)(Rzzzzkzfzfkkk即是以是以 z0 為中心的泰勒級(jí)為中心的泰勒級(jí)數(shù)，展開(kāi)是唯一的。數(shù)，展開(kāi)是唯一的。（3.3.3）d )(i 2!)(1)(lkkzfkzf數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)2

14、3例1、求 ez 在 鄰域的 Taylor 展開(kāi)。解：因?yàn)楣适諗堪霃?1|e|)e ()(00)(0)(zzzkzkzf.! 2! 11e02kkkzkzkzzz00z!)!1(limlim1kkaaRkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)24例2、求 ez 在 z0=1 鄰域的 Taylor 展開(kāi)。解：因?yàn)楣适諗堪霃絜eznz1)(|)(!) 1(! 2) 1(! 1) 1(12kzzzeekz!)!1(limlim1kkaaRkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)25例3、求 和 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開(kāi)。解： 故0|)(sin ;) 1(|)(sin0)2(0)12(zkkzkzz 0)0

15、( ,sin)(1)0( ,cos)(0)0( ,sin)( 1)0( ,cos)( 0)0( ,sin)()4(1)4(1)3(1)3(1111111fzzffzzffzzffzzffzzf0121253)!12() 1()!12() 1(! 5! 3! 1sinkkkkkzkkzzzzzzzfsin)(1zzfcos)(2數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)26收斂半徑類(lèi)似收斂半徑02242)!2() 1( )!2() 1(! 4! 21coskkkkkzkkzzzz)!2()!22(limlim1kkaaRkkkk)!12()!32(limlim1kkaaRkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)27例4、求

16、1/(1-z)2 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開(kāi)。解：因?yàn)?而 所以zzz11dd)1 (1201113202) 1( .4321dd11dd)1 (1kknnnkkzkznnzzzzzzzzz0 , 1 1 knkn當(dāng)令.1112zzz數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)28收斂半徑 ，級(jí)數(shù)在 |z|1時(shí)收斂！ 一般而言, 收斂半徑為展開(kāi)中心至最近奇點(diǎn)之距離。 此例收斂半徑 R=1。 事實(shí)上，該函數(shù)的奇點(diǎn)為 z =1, 等于 z = 0 與 z =1 兩點(diǎn)間的距離。121limkkRk0324320222232)2)(1(.) 1)(2(.452423221.)54321 (dd21dd2111d

17、d21)1 (1kknkkzkkznnzzzzzzzzzzzzz1)3)(2()2)(1(limlim1kkkkaaRkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)29二、多值函數(shù)的 Taylor 展開(kāi) 多值函數(shù)在確定了單值分支后，可象單值函數(shù)那樣在各單值分支上作泰勒展開(kāi)。例5、在 展開(kāi)zzfln)(10z ! 3) 1 ( ,! 3)(! 2) 1 ( ,! 2)(1) 1 ( ,! 1)( 1) 1 ( ,1)( i 21ln) 1 ( ,ln)()4(4)4()3(3)3(2fzzffzzffzzffzzfnfzzf )!1() 1() 1 ( )!1() 1()( 1)(1)(kfzkzfkkkkk數(shù)

18、學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)30收斂半徑 R=1。n=0的那一支為主值分支。1)|1-(| ) 1() 1(2i)(11zzknzfkkk1oyx數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)31例6、求 在 鄰域的 Taylor 展開(kāi)（m不是整數(shù)）。解：mzzf)1 ()(00zmkkmkmmmmmmmmkmmmmfzkmmmmzfmmmfzmmmzfmmfzmmzfmfzmzffzzf1 ) 1()2)(1()0( )1)(1()2)(1()( 1 )2)(1()0( ,)1)(2)(1()(1 ) 1()0( ,)1)(1()( 1)0( ,)1 ()( 1)0( ,)1 ()()()()3(3)3(21數(shù)學(xué)物理方法冪

19、級(jí)數(shù)展開(kāi)320022)!( !1 1 !) 1() 1( ! 2) 1(! 111 !1 ) 1() 1( ! 21 ) 1(! 111)(kkmkkmkmkmmmmzkmkmzkmzkkmmmzmmzmzkkmmmzmmzmzf從而從而m 不是整數(shù)!此為非整數(shù)二項(xiàng)式定理數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)33收斂半徑 R=1。式中n=0為主值分支。三、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域內(nèi)的泰勒展開(kāi) 若存在R, 使 f (z) 在以 z=0 為圓心，R為半徑的圓外（包括 ）解析， 作變換 有)2, 1, 0,( e)e (12i2inmnmnmtz1)(1ttf22102210)()(zazaazftataat數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)

20、展開(kāi)343.4 解析延拓解析延拓解析延拓是解析函數(shù)理論中的一個(gè)重要概念(3.2.7) 1)|(| 110tttlk 1) |1-(| (3.3.10) 4) 1(3) 1(2) 1() 1(2 i ln432zzzzznz(3.2.8) 1)|(| 1116422zzzzz(3.3.11) 1)|z(| ,1)(10kkmmzkmz數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)35一、解析延拓的定義： 設(shè)已知一個(gè)函數(shù) f1(z) 在區(qū)域 B1 中解析。如果在與 B1 有重疊部分b(可以是一條線)的另一區(qū)域 B2 內(nèi)存在一個(gè)解析函數(shù) f2(z), 在 b 中 稱 f2(z) 為 f1(z) 在 B2中的解析延拓；反過(guò)來(lái)

21、， f1(z) 也是 f2(z) 在 B1 中的解析延拓。 ),()(21zfzfB2B1bf1(z)f2(z)數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)36 通常在兩類(lèi)問(wèn)題中用到解析延拓:(1)已知在某區(qū)域中有定義的解析函數(shù)，例如用級(jí)數(shù)、積分或者其他表達(dá)式來(lái)表達(dá)的函數(shù)，用解析延拓的方法擴(kuò)大其定義域和解析范圍。 ex, sin x, cos x ez, sin z, cos z(2)已知數(shù)學(xué)問(wèn)題的解是某區(qū)域 B 內(nèi)(除了個(gè)別奇點(diǎn)外)的解析函數(shù)。但求解的方法只能給出在B的某一子區(qū)域 B 內(nèi)才有效的函數(shù)表達(dá)式，利用解析延拓的方法，可以從這個(gè)表達(dá)式推算出解在 B 的其他子區(qū)域中的表達(dá)式。數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)37二、延

22、拓方法：原則上講，可通過(guò)泰勒展開(kāi)進(jìn)行。例： 1)|(| 11)(01zzzzfkk0121122kkiiif021121122kkiikif1)(12112nniifxyi/2C1C2252R11R數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)38 在上面的例子中，我們用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式作解析延拓照那樣做下去，將得到有不同收斂圓的許多冪級(jí)數(shù)，這些冪級(jí)數(shù)的全體代表一個(gè)解析函數(shù)F(z)每一個(gè)冪級(jí)數(shù) 常稱為 F(z) 的一個(gè)元素，在它自己的收斂圓內(nèi)代表 F(z) 的泰勒展開(kāi)。解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的證明（略）25212iR 0122211nnnizizf數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)393.5 解析函數(shù)的洛朗（Laur

23、ent）展開(kāi)一、雙邊冪級(jí)數(shù)正冪部分有收斂半徑 引入新變量負(fù)冪部分成為有收斂半徑， 其在 內(nèi)部收斂，即在 的外部收斂。若 級(jí)數(shù)202010101202)()()()(zzazzaazzazza,1R,10zz 33221aaa,12R21|R20|Rzz,12RR 數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)40正冪部分收斂域負(fù)冪部分收斂域(白色)收斂環(huán)R2R1數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)41在 內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。 稱為級(jí)數(shù)的收斂環(huán)。若級(jí)數(shù)發(fā)散。二、洛朗展開(kāi)定理 設(shè) f (z) 在環(huán)形區(qū)域 的內(nèi)部單值解析，則對(duì)環(huán)域上任一點(diǎn) z, f (z)可展為冪級(jí)數(shù) 其中 路徑C 是位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。kkk

24、zzazf)()(0Ckkzfad)()(i 2110102|RzzR102|RzzR,12RR 102|RzzR數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)42證：作01001kkkzzzz,1RC2RCd)(i 21d )(i 21)(21RRCCzfzfzfz0R2R1CR1CR1CR2CR2z| | ，001zzzCR沿Cd )(i 21)(1RCzfzf證明請(qǐng)見(jiàn)本章ppt21頁(yè)4 4線構(gòu)成復(fù)聯(lián)通區(qū)域線構(gòu)成復(fù)聯(lián)通區(qū)域數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)430100000000000)()()()(1111)()(11llllllzzzzzzzzzzzzzzzzz|,002zzzCR沿z0R2R1CR1CR1CR2CR2z

25、C數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)44代入積分第二和式換求和指標(biāo)后成為 d)()(i 21)( d)()(i 21)()(00)1(0010021lCllkCkkRRzfzzzfzzzf12 ,) 1(RRCCkl d)()(i 21)(d)()(i 21)(110001)1(0)1(012kCkklCllRRzfzzzfzz換換向向改改號(hào)號(hào)數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)45從而其中C 是環(huán)區(qū)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。kkkzzazf)()(0CkCkkzfzfaRd)()(i 21d)()(i 2110101 122RRRCCC函數(shù)在函數(shù)在R R1 1、R R2 2圍成圍成的閉區(qū)域內(nèi)解析，的閉

26、區(qū)域內(nèi)解析， R R1 1 R R2 2間同向積分環(huán)間同向積分環(huán)路半徑可以任意變路半徑可以任意變化！化！數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)46 媽媽開(kāi)了個(gè)淘寶店，歡迎前來(lái)捧場(chǎng)媽媽開(kāi)了個(gè)淘寶店，歡迎前來(lái)捧場(chǎng) 媽媽的淘寶點(diǎn)開(kāi)了快半年了，主要賣(mài)的是毛絨玩具、坐墊、抱枕之類(lèi)的，媽媽的淘寶點(diǎn)開(kāi)了快半年了，主要賣(mài)的是毛絨玩具、坐墊、抱枕之類(lèi)的，感覺(jué)媽媽還是很用心的，花了不少功夫，所以我也來(lái)出自己的一份力，幫忙感覺(jué)媽媽還是很用心的，花了不少功夫，所以我也來(lái)出自己的一份力，幫忙宣傳一下。宣傳一下。 并且媽媽總是去五亭龍?zhí)糇詈玫耐婢哒怼l(fā)貨，質(zhì)量絕對(duì)有保證。并且媽媽總是去五亭龍?zhí)糇詈玫耐婢哒?、發(fā)貨，質(zhì)量絕對(duì)有保證。 另

27、外我家就在揚(yáng)州五亭龍玩具城旁邊，貨源豐富，質(zhì)量可靠，價(jià)格便宜。另外我家就在揚(yáng)州五亭龍玩具城旁邊，貨源豐富，質(zhì)量可靠，價(jià)格便宜。 歡迎大家來(lái)逛逛歡迎大家來(lái)逛逛【揚(yáng)州五亭龍玩具總動(dòng)員揚(yáng)州五亭龍玩具總動(dòng)員】 個(gè)人小廣告：個(gè)人小廣告：數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)471、正冪部分、正冪部分稱為 Laurent 級(jí)數(shù)的解析部分，在 圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂；2、負(fù)冪部分、負(fù)冪部分稱為 Laurent 級(jí)數(shù)的主要部分，在 圓外絕對(duì)且一致收斂；00)(kkkzza10)(kkkzzaLaurent 級(jí)數(shù) 展開(kāi)也是唯一的。因此可用各種方法求一個(gè)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)。10|Rzz20 |Rzz數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)48 關(guān)于關(guān)于

28、Laurent 級(jí)數(shù)展開(kāi)的注意點(diǎn)：級(jí)數(shù)展開(kāi)的注意點(diǎn)： 1、盡管上式中含有(z-z0) 的負(fù)冪次項(xiàng)，而這些項(xiàng)在z=z0 點(diǎn)是奇異的，但z0點(diǎn)可以是，也可以不是函數(shù) f(z) 的奇點(diǎn)； 2、盡管求展開(kāi)系數(shù)ak 的公式與 Taylor 展 開(kāi)系數(shù)的積分公式形式一樣，但 不論z0 是否 f (z)的奇點(diǎn)。 若z0 為f (z)的奇點(diǎn)，則f (k)(z0) 根本不存在； 若z0 不是 f (z)的奇點(diǎn)，則 f (k) (z0) 存在，但 ak 還是不等于 f (k)(z0)/k! 區(qū)域上有 f (z)的奇點(diǎn)（ z z0 ),!)(0)(kzfakk數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)49 因?yàn)?成立的條件 是在以C為

29、邊界的區(qū)域上 f (z)解析，而現(xiàn)在區(qū)域上有f (z)的奇點(diǎn)（若無(wú)奇點(diǎn)就無(wú)需考慮Laurent 展開(kāi)了）3、如果只有環(huán)心 z0 是 f (z)的奇點(diǎn)，則內(nèi)圓半徑可以無(wú)限小， z 可以無(wú)限接近 z0 , 這時(shí)稱（3.5.3）為f (z)在它的孤立奇點(diǎn) z0 鄰域上的Laurent 展開(kāi)式。可用以研究函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)附近的性質(zhì)。Ckkzfkzfd)()(i 2!)(100)(kkkzzazf)()(0數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)50Pierre Alphonse LaurentBorn: 18 July 1813 in Paris, FranceDied: 2 Sept 1854 in Paris, F

30、rance Pierre Laurent was in the engineering corps and spent six years directing operations for the enlargement of the port of Le Havre. He submitted a work for the Grand Prize of 1842, unfortunately after the final date for submission. Cauchy reported on his work, which gives the Laurent series for

31、a complex function, saying that it should be approved but it was not. After Laurents death his widow arranged for two more of his memoirs to be presented to the Academy. One was never published, the second appeared in 1863.數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)51 例1、在 的鄰域?qū)?(sin z ) / z展開(kāi))|z(| ! 7! 5! 3! 1sin753zzzzz00z0)(z 1s

32、inlim 0)(z sin)(0zzzzzfz)|z|(0 ! 7! 5! 3! 11sin642zzzzz重新定義)|z(| ! 7! 5! 3! 11)(642zzzzf數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)52例2、在 的環(huán)域上將 展開(kāi)解：|1z11)(2zzf 111 11111111)(642022222zzzzzzzzzfkkz=0 并非 f (z) 奇點(diǎn) 數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)53 例3、在 的鄰域?qū)?展開(kāi)解：其中于是10z11)(2zzf 2)|1-z(| .21) 1(412/ ) 1(11412) 1(12111210kkkzzzz 2)|1-|(0 ) 1(2) 1(1121)(02z

33、zzzfkkkk11211121) 1)(1(1)(zzzzzf數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)54 )1( 2)|1-|(0 ) 1(2) 1( ) 1(2) 1() 1)(1(1)( 2)|1-z(| .21) 1(212/ ) 1(11212) 1(111:1210110nk-zzzzzzfzzzznnnnkkkkkkk另一種解法結(jié)果相同數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)55 例4、在 的鄰域?qū)?展開(kāi)解：00z1/ze)(zf)|z(| ! 2! 11e02kkkzkzkzzz z1 1! 311! 211! 111e32/1zzzz 0 )!(1)!(1!1e000/1zzkzkznkkkknnz數(shù)學(xué)物理方

34、法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)56例5：在 求函數(shù) 的 Laurent 展開(kāi)。解：利用指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)公式因此： zzxzf12e)( 121!1e 21!1e0102121nnzxllxzzxnxzl00zzxxzzf12121ee)(數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)57 . 3, , 2 , 1 , 121)!(121!1 . 3, , 2 , 1 , 0, 121!121)!(1121!121!1ee1000100012121hzazxhlxzlmzazxnxznmzazazxnxzlhhhlhllmmmnnnmhhhmmmlnnlzxxz得到各個(gè)負(fù)冪項(xiàng)得到各個(gè)正冪項(xiàng)數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)58 2)!( !) 1(

35、2!)!() 1(102002hhllhhlmmnnmnzxhllzxnnm ) | (0 , )( 2|)!|( !) 1() 1( 2!)!() 1(102|002 zzxJzxmnnzxnnmmmmmmnnmnmmmnnmnJm(x): Bessel functionnlmh 數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)59例 p60, 3.4(12) ctan z 在z=0鄰域的展開(kāi)式？121531204220 ctan。 |0 ctan0 sin.),1( sin cos ctan.! 51! 31)!12()1( sin.! 41! 211)!2()1( coskkkkkkkkkzazzz，zz，z，z

36、zzzzzkzzzzkzz的環(huán)域展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)在將最相近的零點(diǎn)在是無(wú)偶冪次項(xiàng)最低冪次是是奇函數(shù)為奇函數(shù)為偶函數(shù)解答：數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)60后比較兩邊系數(shù)兩邊同乘.! 51! 31.! 51! 31.! 41! 211.)!12() 1()!2() 1(5353423311112020121zzzzzzzzzazazakzkzzakkkkkkkkk數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)61 2416120 3161 21 2161.241211.)6120()6(.)(.)6(.)1206(.! 41! 211.)! 51! 31.)(311111142431121114341214121142533311

37、1aaaaaaazzzaaazaaazazazazazaazzzzzzazaza數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)62.451311 ctan451 ) 31(6112012416120241 3113zzzzaaa數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)63Friedrich Wilhelm Besselb. Minden, Prussia (Germany), July 22, 1784, d. Knigsberg, Prussia (Kaliningrad, Russia), May 17, 1845Mathematicians and physicists often use Bessel functions, d

38、eveloped by Bessel to analyze the motions of planets and stars. In 1838 Bessel was the first to measure the distance to a star 61 Cygni (天鵝座) using parallax (視差) and a special instrument he invented known as the heliometer (太陽(yáng)尺). With the heliometer Bessel also discovered that Sirius（天狼星）has an unse

39、en companion that causes its position to shift slightly as the companion orbits the larger star.數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)643.6 孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)在不同類(lèi)型的奇點(diǎn)附近，函數(shù)具有不同的性質(zhì) 一、孤立奇點(diǎn)的定義: 若函數(shù) f (z) 在某點(diǎn) z0 不可導(dǎo)。而在 z0 的任意小鄰域內(nèi)除z0 外處處可導(dǎo)，便稱 z0 為 f (z) 的孤立奇點(diǎn)。若在 z0 點(diǎn)的無(wú)論多么小的鄰域內(nèi)，總可以找到除 z0 以外的不可導(dǎo)的點(diǎn)，便稱 z0 為 f (z) 的非孤立奇點(diǎn)。例1: z = 0 是 函數(shù) 的孤立奇點(diǎn)，因?yàn)樵谝詚

40、=0 為圓心， R1 的圓內(nèi)，除z=0 外，無(wú)其他不可導(dǎo)點(diǎn)。)1 (1)(zzzf數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)65例2: z = 0 是函數(shù) 1/sin(1/z) 的非孤立奇點(diǎn)，因?yàn)樵摵瘮?shù)的 奇點(diǎn)為 zn=1/n, n= 0,1, 2. ,1)/1Resin(),(zyxu函數(shù)的實(shí)部只要 n 足夠大， 1/n 可以任意接近于 z=0, 即在 z=0 的無(wú)論多么小的鄰域內(nèi)，總可以找到函數(shù)的其它奇點(diǎn)。數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)66二、孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)二、孤立奇點(diǎn)的分類(lèi): 設(shè)z0 是單值函數(shù) f (z) 的孤立奇點(diǎn)，則在以 z0 為圓心的一個(gè)環(huán)狀鄰域 0 | z-z0 | 內(nèi), 可以展開(kāi)成 Laurent 級(jí)數(shù)

41、：,)()()(202010zzazzaazfkkkbzazf)()(正冪部分：解析部分， 負(fù)冪部分：主要部分1、若展式不含負(fù)冪項(xiàng)：z0為f (z)的可去奇點(diǎn)2、若展式含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)： z0 為 f (z) 的極點(diǎn)3、若展式含無(wú)限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)： z0 為 f (z) 的本性奇點(diǎn)三、函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域的性質(zhì)1、可去奇點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)67 有 定義 則 為T(mén)aylor 展開(kāi)。f(z)在奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)的Laurent 級(jí)數(shù)無(wú)負(fù)冪項(xiàng)。2、極點(diǎn)0)(lim0azfzz)(z )(z )()(000zazzfzg202010)()()(zzazzaazg)|(0 )( )()( )()()(00

42、2020101010Rzzzzazzazzaazzazzazfmkkkmmmm如z0是 f (z) 的極點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)68有 m：極點(diǎn)的階，一階極點(diǎn)稱單極點(diǎn)f (z) 在奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi) f (z) = g(z) /(z-z0)m, g(z)解析，g(z0)0 3、本性奇點(diǎn) 有 與 的方式有關(guān)，或稱無(wú)極限。,)(lim0zfzz)|0( )()(00Rzzzzazfkkk)(lim0zfzz0zz 與不存在極限的區(qū)別數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)69例：z=0是函數(shù) e1/z 的本性奇點(diǎn)，在 z 的環(huán)域內(nèi)，它的 Laurent 級(jí)數(shù)為.1! 211121zzez當(dāng) (1) z 沿正實(shí)軸0

43、 時(shí)，1/z , 故 e1/z ；(2) z 沿負(fù)實(shí)軸0 時(shí)，1/z , 故 e1/z ；(3) z 沿虛軸，按z i/(2n) 0 時(shí)， e1/z=e1/(i/2n) = e-i2n 1；數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)70 (4) z 按序列0,)( )arg2( iln1 )(ln )arg2( i1AAenzAnAnzzAnn令2222 ) arg 2(|)|ln (1| 0) arg 2(|)|(ln) arg 2( i |lnlim ) arg 2( i |ln1limlimAnAzAnAAnAAnAznnnnn0 nnz) ( e lim 1/ 為任意常數(shù)AAnzn數(shù)學(xué)物理方法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)71由函數(shù)的圖形,可以清楚看出: z 沿不同方向 0時(shí), 函數(shù)的形態(tài)。u(x,y)=Re(