自學(xué)考試專題：高等教育自學(xué)考試網(wǎng)上輔導(dǎo)線性代數(shù)（經(jīng)管類）第4章

1、第四部分線性方程組 本章討論線性方程組，對齊次方程組主要是討論齊次方程組有非零解的充要條件，基礎(chǔ)解系的概念，解的性質(zhì)，以及求基礎(chǔ)解系和通解的方法。對非齊次方程組主要討論何時有解？何時解惟一？何時有無窮多解？有無窮多解時，如何求通解。 4.1齊次線性方程組 4.1.1齊次線性方程組有非零解的充分必要條件齊次線性方程組的一般形式是 用矩陣也可簡寫成Ax=0其中 。我們要討論的問題是：該齊次方程組有非零解的充分必要條件。 令為矩陣A的列向量，則該齊次方程組又可以寫成，其中 則齊次方程組有非零解的充分必要條件就是向量組線性相關(guān)，用矩陣的秩來描述就是該線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r（A）n，其中n是未知數(shù)的

2、個數(shù)。于是有下面的定理定理4.1.1齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是r（A）n，其中n是未知數(shù)的個數(shù)（也是矩陣A的列數(shù)）。等價的說法是齊次線性方程組AX=0只有零解，沒有非零解的充分必要條件是r（A）=n。推論1n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 。下面討論當(dāng)齊次方程組有非零解時，方程組通解的結(jié)構(gòu)。為此，先討論齊次方程組解的性質(zhì)。4.1.2齊次線性方程組解的性質(zhì)我們已知齊次方程組AX=0的解是一個n維向量。下面要討論它的所有解組成的集合是什么樣的集合。因為齊次方程組AX=0必有零解，所以0V，故V非空。性質(zhì)1若都是齊次方程組AX=0的解，則也是齊次方

3、程組AX=0的解。證。性質(zhì)2若是齊次方程組AX=0的解，k是一個數(shù)，則也是齊次方程組AX=0的解。證以上兩條性質(zhì)說明是的一個子空間，所以我們稱它為齊次方程組AX=0的解空間。如果齊次方程組AX=0只有零解，V=0，否則，我們希望求出它的所有解的一般表達(dá)式，即通解。即寫出中所有元素的一般表達(dá)式。4.1.3齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系 定義4.1.1設(shè)是齊次線性方程組AX=0的一組解向量。如果它滿足：（1）線性無關(guān)；（2）齊次線性方程組AX=0的的任意一個解，都能由它線性表示。則稱該向量組為齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系。進(jìn)一步，要問，對于給定的齊次方程組，滿足什么條件時，它有基礎(chǔ)解系？基礎(chǔ)

4、解系含幾個解向量？如何求一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系？如何求出該齊次方程組的通解？看例題例1求齊次線性方程組的所有解?！敬鹨删幪?2040101】 定理4.1.2 設(shè)A是mn階矩陣，r（A）=r，則（1）當(dāng)r（A）=r n時齊次方程組AX=0必有基礎(chǔ)解系。（2）AX=0的基礎(chǔ)解系含n-r（A）個解向量，且AX=0的任意n-r（A）個線性無關(guān)的解都是它的基礎(chǔ)解系（因為齊次方程組含n-r（A）個自由未知數(shù)）。（3）如果 是AX=0的一個基礎(chǔ)解系，則為任意數(shù)）為AX=0的通解。例2設(shè) 是齊次方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系。證明：也是AX=0的一個基礎(chǔ)解系?！敬鹨删幪?2040201】 例3 求 的基礎(chǔ)

5、解系和通解。【答疑編號12040202】 例4求齊次方程組的通解。 【答疑編號12040203】 例5 證明：同解的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣必有相等的秩?！敬鹨删幪?2040204】 證 設(shè)齊次方程組AX=0與BX=0同解。則兩個方程組所含未知數(shù)的個數(shù)必相等。，設(shè)為n，且兩個方程組的解空間必相同，其維數(shù)必相同，n-r（A）=n-r（B）故r（A）=r（B）。命題得證。例6 設(shè)A是mn階的實矩陣，證明: 【答疑編號12040205】 例7 設(shè)矩陣 和 滿足AB=0，證明:r（A）+r（B）n【答疑編號12040206】 小結(jié)：1.齊次方程組AX=0有非零解的充分必要條件是r（A）n （其中n是未

6、知數(shù)的個數(shù)）。2.齊次方程組基礎(chǔ)解系的概念，所含解向量的個數(shù)，判斷向量組是某個齊次方程組基礎(chǔ)解系的方法。3.求齊次方程組基礎(chǔ)解系和通解的方法。作業(yè) p116 1,2,3（1）（4）（5）,4,54.2非齊次線性方程組4.2.1非齊次線性方程組有解的充要條件非齊次線性方程組的一般形式是用矩陣也可簡寫成Ax=b其中。我們要討論的問題是：該非齊次方程組何時有解，有解時，何時解惟一？何時有無窮多解，當(dāng)有無窮多解時，如何表示其通解？如果令則方程組Ax=b有解的充分必要條件就是向量b能由向量組 線性表出。為方程組Ax=b的增廣矩陣，則用矩陣的秩來描述，有下面的定理。定理4.2.1線性方程組Ax=b有解的充

7、分必要條件是。 4.2.2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、 非齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）如果 都是非齊次方程組Ax=b的解，則 是它的導(dǎo)出組Ax=0的解；（2）如果是非齊次方程組Ax=b的一個解，是它的導(dǎo)出組Ax=0的解，則 是Ax=b的解。 二、非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)定理4.2.2 （1）如果 ，則線性方程組Ax=b有惟一的解；（2）如果，方程組Ax=b有無窮多解。設(shè)是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，是它的導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系。則是Ax=b的通解。（3）當(dāng)1時，方程組無解。 推論 對于n個未知數(shù)，n個方程的線性方程組Ax=b。有（1）如果 ，則方程組Ax=b有惟一的解 ；（2）如果

8、 ，當(dāng)時，方程組有無窮多解。4.2.3求非齊次線性方程組通解的方法步驟: （1）寫出方程組的增廣矩陣；（2）對增廣矩陣作初等行變換，將其化為階梯形；（3）確定約束未知數(shù)和自由未知數(shù)；（4）令所有自由未知數(shù)都取零，得非齊次方程組的一個特解；（5）求出對應(yīng)齊次方程組（導(dǎo)出組）的基礎(chǔ)解系，進(jìn)而寫出原非齊次方程組的通解。例1求的通解【答疑編號12040401】 例2當(dāng)參數(shù)a為何值時，非齊次方程組有解？當(dāng)它有解時，求出它的通解?！敬鹨删幪?2040402】 例3證明:線性方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)【答疑編號12040403】 例4 下列向量 能否表示成 的線性組合？（1）【答疑編號12040404】 （2）【答

9、疑編號12040405】 例5設(shè)Ax=b中未知數(shù)的個數(shù)n=4，r（A）=3。設(shè)為Ax=b的三個解。已知。 求Ax=b的通解?！敬鹨删幪?2040501】 例6 當(dāng)參數(shù)為何值時，非齊次方程組無解？有惟一解？有無窮多解？并求出它的通解?！敬鹨删幪?2040502】 小結(jié)1.線性方程組Ax=b何時有解？有解時，何時解惟一？何時有無窮多解？有無窮多解時，如何表示其通解；2.線性方程組Ax=b是否有解，解是否惟一與向量b能否由向量組 線性表示的關(guān)系；3.線性方程組Ax=b的解的性質(zhì)；4.非齊次方程組Ax=b的通解的公式，求非齊次方程組通解的方法。P86 習(xí)題3.1 3（1）（3）,4,5,p125 習(xí)題4.2 1（1）（3）（4）（6）3（1）,4,6,本章總結(jié)1.齊次方程