2018年優(yōu)課系列高中數(shù)學北師大版選修2-2 3.2.2最大值、最小值問題 課件2

1、3.2.2最大值、最小值問題求極值的步驟求極值的步驟 2. 求導數(shù)求導數(shù) ；)(xf 3. 解方程解方程 ；0)( xf 4. 對于方程對于方程 的每一個解的每一個解 ，分析，分析 在在 左右兩側的符號，確定極值點：左右兩側的符號，確定極值點： 在在 兩側若兩側若 的符號的符號)(xf 0)( xf0 x0 x)(xf 0 x （1） “左正右負左正右負”，則，則 為為極大值極大值點；點；0 x （2） “左負右正左負右正”，則，則 為為極小值極小值點；點；0 x （3）相同，則）相同，則 不是極值點；不是極值點；0 x 1. 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的定義域的定義域 ；一、復習引入一、復習引入

2、極值是函數(shù)的局部性質，而不是在整個定義域內極值是函數(shù)的局部性質，而不是在整個定義域內的性質，即：如果的性質，即：如果 是是 的極大的極大( (小小) )值點，那值點，那么在么在 附近找不到比附近找不到比 更大更大( (小小) )的值的值。 但是，解決實際問題或研究函數(shù)性質時，我們往但是，解決實際問題或研究函數(shù)性質時，我們往往更關心在某個區(qū)間上，函數(shù)的哪個值往更關心在某個區(qū)間上，函數(shù)的哪個值最大最大，哪個值，哪個值最小最小。)(xfy 0 x)(0 xf0 x 若若 是是 在在 上的最大上的最大(小小)值點，則值點，則 不小不小 (大大)于于 在此區(qū)間上的所有函數(shù)值。在此區(qū)間上的所有函數(shù)值。)(

3、xfy 0 x)(xfy ba,)(0 xf 由圖知，最大由圖知，最大(小小)值在極大值在極大(小小)值點或區(qū)間的值點或區(qū)間的端端點處取得。點處取得。xyo ab0 xxyo a(b)0 x二、新課講授二、新課講授問題：問題：對于函數(shù)的最值概念的學習，你認為對于函數(shù)的最值概念的學習，你認為有哪些方面是值得注意的？有哪些方面是值得注意的？ （1）函數(shù)的最值是一個整體性概念，最大值必須）函數(shù)的最值是一個整體性概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大者，最小值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大者，最小值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小者。是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小者。 （2）函數(shù)的最大值

4、和最小值是比較整個定義區(qū)間）函數(shù)的最大值和最小值是比較整個定義區(qū)間的所有函數(shù)值得到的；極大值和極小值是比較極值的所有函數(shù)值得到的；極大值和極小值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的。點附近的函數(shù)值得出的。 極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內取得，最值可以在端點取得。能在區(qū)間內取得，最值可以在端點取得。 例例1： 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的最值。最值。52)(23xxxf2 , 2xyo-234求最值的步驟：求最值的步驟：（1）求）求 f (x)在在 (a，b) 內的極值；內的極值；（3）將）將 f (x) 的的各個極值與端點值各個極值

5、與端點值 f (a)，f (b) 進行進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。最小值。（2）算）算 f (x) 的端點值的端點值 f (a)，f (b) ；變式訓練變式訓練1. 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間1，e上的最值。上的最值。21( )ln8f xxx 日常生活中，人們常常會遇到這樣的一些問題，日常生活中，人們常常會遇到這樣的一些問題，在一定條件下，怎樣使得在一定條件下，怎樣使得“用料最省用料最省”“”“利潤最大利潤最大”“”“成成本最低本最低”“”“選址最優(yōu)選址最優(yōu)”等等。這類最值問題一般都可以等等。這類最值問題一般都可以利用函數(shù)與

6、導數(shù)的知識來解決。利用函數(shù)與導數(shù)的知識來解決。三、問題探究三、問題探究 易拉罐包裝的設計問題易拉罐包裝的設計問題 市場上有許多飲料都是用金屬制成的易拉罐包裝，市場上有許多飲料都是用金屬制成的易拉罐包裝，包裝的形狀也是多種多樣的，在包裝設計中有許多數(shù)學包裝的形狀也是多種多樣的，在包裝設計中有許多數(shù)學問題。問題。 1.背景分析背景分析如何使得容量相同的飲料包裝所需的如何使得容量相同的飲料包裝所需的材料最少，就是節(jié)約包裝成本的含義。材料最少，就是節(jié)約包裝成本的含義。據(jù)調查容量為據(jù)調查容量為330 mL 的飲料包裝最為常見，仔細觀察的飲料包裝最為常見，仔細觀察發(fā)現(xiàn)，這種易拉罐的頂蓋比底部和側壁部分要厚

7、，經調發(fā)現(xiàn)，這種易拉罐的頂蓋比底部和側壁部分要厚，經調查得知，這種設計是為了保證開啟時的沖力不致將頂蓋查得知，這種設計是為了保證開啟時的沖力不致將頂蓋掀起，頂蓋厚度近似為其他部分的掀起，頂蓋厚度近似為其他部分的3倍，相應的單位面倍，相應的單位面積的成本也是側壁部分的積的成本也是側壁部分的3倍倍.下面我們討論：在容量一定的情況下面我們討論：在容量一定的情況下，怎樣設計能下，怎樣設計能節(jié)約包裝的成本節(jié)約包裝的成本。 2.建立數(shù)學模型的方案建立數(shù)學模型的方案（1）模型假設）模型假設 1）一個易拉罐近似地看成一個圓柱體；）一個易拉罐近似地看成一個圓柱體； 2）影響易拉罐包裝成本的量有底面半經、高、側面

8、）影響易拉罐包裝成本的量有底面半經、高、側面 面積、頂蓋和底部的面積，其他因素忽略不計；面積、頂蓋和底部的面積，其他因素忽略不計；（2）變量表示）變量表示 1）設易拉罐的底面半徑為）設易拉罐的底面半徑為 （單位：（單位：cm） 2）設易拉罐的高為）設易拉罐的高為 （單位：（單位：cm） 3）易拉罐的體積為）易拉罐的體積為 （單位：（單位：mL） 4）易拉罐的側壁和底部每平方厘米的成本為）易拉罐的側壁和底部每平方厘米的成本為1， 頂蓋每平方厘米的成本為頂蓋每平方厘米的成本為3 5）易拉罐的包裝成本為）易拉罐的包裝成本為xh330V y 3.求包裝成本的最小值求包裝成本的最小值2223242yxx

9、xhxxh2330 x hV22330Vhxx26604(0)yxxx 3.求包裝成本的最小值求包裝成本的最小值3226608-6608=xyxxx 0y 令3330,4x得列表 xyy333043330(0,)43330(,)4233330,3304,4xy當時取得最小值3233332330523304=08033hx此時0極小值=?h此時 4.實際應用分析實際應用分析 理論值：理論值：高約為高約為 cm,底面底面直徑直徑約為約為 cm ； 高：底面直徑高：底面直徑= ： 測量值：測量值：高高約約為為 cm,底面底面直徑約為直徑約為 cm ； 高：底面直徑高：底面直徑= ： 33331651

10、6542223301652,42hxxy當時 成本 最小，此時高底面直徑四、課堂小結四、課堂小結1. 知識知識2. 方法方法3. 思想思想五、作業(yè)布置五、作業(yè)布置P69 A組 2,4 一一 邊長為邊長為 48 cm 的正方形鐵皮，四角各截去一的正方形鐵皮，四角各截去一大小大小相同相同的正方形后折起，可做成無蓋的長方體容的正方形后折起，可做成無蓋的長方體容器，其容積器，其容積 V 是關于截去小正方形邊長是關于截去小正方形邊長 x 的函數(shù)。的函數(shù)。（1）隨）隨 x 的變化，容積的變化，容積 V 如何變化？如何變化？（2）截去小正方形邊長為多少時，）截去小正方形邊長為多少時，容積容積最大最大？最大容

11、積是多少？最大容積是多少？動手做一做動手做一做分析：分析： 解決實際應用問題，首先要分析并列出函數(shù)關解決實際應用問題，首先要分析并列出函數(shù)關系，要注意根據(jù)實際意義寫出定義域。求函數(shù)值的系，要注意根據(jù)實際意義寫出定義域。求函數(shù)值的變化情況即單調性，求導判斷導數(shù)符號即可，求最變化情況即單調性，求導判斷導數(shù)符號即可，求最值就是求導、解方程求出極值點，最后通過比較函值就是求導、解方程求出極值點，最后通過比較函數(shù)值寫出最值。數(shù)值寫出最值。解：解：求導得求導得24, 0 xxxxfV2)248()(，2)248()248(4)(xxxxf)8)(24(12)48)(248(xxxx -6令令 ，得，得0)( xf24, 821xx+ 0極大值極大值- vo248192x8分析可知，分析可知，x = 8 是極大值點，極大值為是極大值點，極大值為)(81928)1648()8(3