二次函數(shù)知識點總結材料及典型例題

1、實用文案浙教版九年級上冊二次函數(shù)知識點總結及典型例題知識點一、二次函數(shù)的概念和圖像1、二次函數(shù)的概念2一般地，如果 y ax bx c（a,b,c是常數(shù)，a 0），特別注意 a不為零，那么y叫做x的二次函數(shù)。y ax2 bx c（ a, b, c是常數(shù)，a 0）叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像K二次函數(shù)的圖像是一條關于x 對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。3、 二次函數(shù)圖像的畫法五點作圖法：（1 ）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸2（2 ）求拋物線y ax bx c與坐標軸的交點：當拋物線與

2、x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像?！纠?】、已知函數(shù)y=x 2-2x-3，（1）寫出函數(shù)圖象的頂點、圖象與坐標軸的交點，以及圖象與y軸的交點關于圖象對稱軸的對稱點。然后畫出函數(shù)圖象的草圖；（2 ）求圖象與坐標軸交點構成的三角形的面積：（3）根據(jù)第（1）題的圖象草圖

3、，說 出x取哪些值時， y=0 :y0標準知識點二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣般兩根三頂點(1)一般般式：y ax2 bx c(a,b,c是常數(shù)，a 0)(2)兩根2當拋物線y ax bx c與x軸有交點時，即對應的一元二次方程2ax bx c 0有實根X2存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式2ax bx c a(x xj(x x2),二次函數(shù) y2ax bx c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng) a(x xj(x X2)。如果沒有交點，則不能這樣表示。a的絕對值越大，拋物線的開口越小。(3)三頂點 頂點式：y a(x h)【例2】、如圖，拋物線y ax bx c與x軸的一個交點 A在點(-2

4、 , 0)和(-1 , 0)之間(包括這兩點)，頂點C是矩形DEFG上(包括邊界和內(nèi)部)的一個動點，則(1 ) abc0(或或=)(2) a的取值范圍是【例3】、下列二次函數(shù)中，圖象以直線x = 2為對稱軸，且經(jīng)過點(0 , 1)的是 ()A. y = ( x - 2)2 + 1B. y = ( x + 2) 2 + 1C. y = ( x - 2)2 - 3D . y = ( x + 2) 2 - 3 k(a,h,k是常數(shù)，a 0)當題目中告訴我們拋物線的頂點時，我 們最好設頂點式，這樣最簡潔。2【例1】、拋物線y ax bx c與x軸交于A (1, 0), B (3, 0)兩點，且過(-1

5、 ,16),求拋物線的解析式。知識點三、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x時，y最值2a4ac b24a如果自變量的取值范圍是Xi x X2，那么，首先要看b2a是否在自變量取值范圍Xi X X2內(nèi)，若在此范圍內(nèi),b則當x=亦時，y最值4ac b24a若不在此范圍內(nèi),XiX X2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范2axibxic ；如果在此C.有最小值i,有最大值3D .有最小值- i,無最大值, 2圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當 x X2時，y最大 ax? bx? c,當x Xi時，y最小范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當xXi時，y最大ax；

6、bXic，當xx?時，y最小ax；bx?c。【例i】、已知二次函數(shù)的圖像（0 wx3）如圖所示，關于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)下列說法正確的是（）B.有最小值i,有最大值0A.有最小值0,有最大值3【例2】、某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿.當每個房間每天的房價每增加i0元時，就會有一個房間空閑.賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元設每個房間的房價每天增加X元（x為i0的正整數(shù)倍）.（i ）設一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫出y與x的函數(shù)關系式及自變量 x的取值范圍；（2）設賓館一天的利潤為

7、w元，求w與X的函數(shù)關系式；（3）天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？知識點四、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y ax2 bx c(a,b,c 是常數(shù)，a 0)a0圖像(1 )拋物線開口向上，并向上無限延伸;(1 )拋物線開口向下，并向下無限延伸;b(2 )對稱軸是x= ，2ab(2 )對稱軸是x= ,2a頂點坐標是(b2a4ac b24a頂點坐標是(b2a4ac b24a性質(zhì)b(3 )在對稱軸的左側(cè)，即當 xw 時，y隨x2aK的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當x 2a時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增;b(4) 拋物線有最低點， 當x= 時，y有最小2ab

8、(3 )在對稱軸的左側(cè)，即當 x w 時，y隨2ax的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當xb時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；2ab(4 )拋物線有最高點，當 x= 時，y有最2a實用文案/古4ac b2值，y最小值:4a4ac b2大值，y最大值*22、二次函數(shù)y ax bx c（a,b,c是常數(shù)，a 0）中，a、b、c的含義:a表示開口方向：a0時，拋物線開口向上a 0時，圖像與x軸有兩個交點；當 =0時，圖像與x軸有一個交點；當 0時y值隨x值增大而減小的是（).A . y = x2B. y =x -13C. y= 4x【例6】、若二次函數(shù)y (xm）2 1 .當x wi時，y隨x的增

9、大而減小，則 m的取值范圍是（A. m =lB. m lC. m l D. m 0）個單位，yax2 bx c m)當然，對于拋物線的一般式平移時，也可以不把它化為頂點式2 2ax bx c :向左（右）平移 m（ m 0）個單位，y ax bx2y a(x m) b(x m) c)2【例1】將拋物線y x向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是2a y (x 2)2 2B. y x 2 C. y (x 2) D. yax2 bx c 變成 y、 2c 變成 y a(x m)x22【例2】、將拋物線y=x2 2x向上平移3個單位，再向右平移4個單位等到的拋物線是【例3】拋物線y x2可以由拋

10、物線y x 2 23平移得到，則下列平移過程正確的是A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位B.先向左平移2個單位，再向下平移3個單位C.先向右平移2個單位，再向下平移3個單位D.先向右平移2個單位，再向上平移3個單位ax2b(xbxm)c mc (或標準【補】拋物線y=2x 2-3x-7在x軸上截得的線段的長度為【公式】拋物線y=ax 2+bx+c在x軸上截得的線段的長度為2知識點六、拋物線 y ax bx c中,a、b、c的作用（2） b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y ax2 bx c的對稱軸是直線，故:對稱軸為y軸；一 0 （即a、b同號）時，對稱軸在 y軸左側(cè)；一 0

11、（即a、aab異號）時，對稱軸在0時,y軸右側(cè).口訣-左同，右異 （a、b同號，對稱軸在y軸左側(cè)）2（3） c的大小決定拋物線 y ax bx c與y軸交點的位置o當x 0時，y c，二拋物線y ax bx c與y軸有且只有一個交點（0, c）:c 0 ,拋物線經(jīng)過原點； c 0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負半軸.K以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立如拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè)，則 一 0.a【例1】、如圖為拋物線y ax2 bx c的圖像，A、B、C為拋物線與坐標軸的交點，且OA=OC=1，則下列關系中正確的是（）【例2】、已知拋物線y= ax2 + bx + c（a丸）在平面

12、直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（）A. a0 B. b v 0 C. cv 0 D . a+ b + c0【例3】、如圖所示的二次函數(shù) y ax2 bx c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條信息：（1） b2 4ac 0 ； （2）c1 ； （3） 2a b0 ； （4） a+b+c 2a :ax2 +bx+c=0 的兩根分別為-3和1；a-2b+c 0.其中正確的命題是 .（只要求填寫正確命題的序號）【例6】、如圖，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的”對稱軸，則下列關系正確的是（）知識點七、中考二次函數(shù)壓軸題中常用到的公式（浙教版教材上沒講過，但是非常有用，一定要理解性

13、地記憶）i、兩點間距離公式：如圖：點A坐標為（Xi, yi），點B坐標為（X2, y2）,則AB間的距離，即線段AB的長度為:Xi2X2yi2y2來的）2、中點坐標公式：如圖，在平面直角坐標系中,（這實際上是根據(jù)B兩點的坐標分別為yiX2B（X2, y2），AB中點P的坐標為（Xp, yp） 由xpXiX2Xp，得 X PXi2同理yp匕上，所以AB的中點坐標為（亠2 2X2yi3、兩平行直線的解析式分別為:y=k iX+b i, y=k 2X+b 2，那么 ki=k 2,也就是說當我們知道一條直線的k值，就一定能知道與它平行的另一條直線的k值。4、兩垂直直線的解析式分別為:y=k iX+b

14、i, y=k 2x+b 2，那么ki xk2=-i，也就是說當我們知道一條直線的 k值，就定能知道與它垂直的另一條直線的k值。（對于這一條，只要能靈活運用就行，不需要理解）以上四條，我稱它們?yōu)樽鴺讼抵械摹八拇蠼饎偂纠齣】、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y= - x2+2x+3與X軸交于A . B兩點，與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.（1）求直線AC的解析式及B. D兩點的坐標；（2） 點P是X軸上一個動點，過 P作直線I /AC交拋物線于點 Q，試探究：隨著 P點的運動，在拋物線上是否存在 點Q，使以點A . P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐

15、標；若不存在, 請說明理由.（3）請在直線 AC上找一點M，使ABDM的周長最小，求出 M點的坐標.實用文案【例2】、如圖，已知拋物線 y - x2+bx+c與一直線相交于 A (- 1, 0), C (2, 3)兩點，與y軸交于點N .其頂點 為D . (1 )求拋物線及直線 AC的函數(shù)關系式；(2) 設點M (3 , m )，求使MN+MD 的值最小時 m的值;(3) 若拋物線的對稱軸與直線 AC相交于點B, E為直線AC上的任意一點，過點E作EF/BD交拋物線于點F,以B,E的坐標；若不能，請說明理由;D, E, F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(4) 若P是拋物線上位于直線

16、 AC上方的一個動點，求 APC的面積的最大值.【例3】、如圖，拋物線y -x243-x 4與x軸交于A, B兩點(點B在點A的右邊)，與y軸交于C,連接BC,2以BC為一邊，點0為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m , 0)，過P作x軸的垂線I交拋物線于點Q。(1) 求點A、B、C的坐標；(2) 當點P在線段0B上運動時，直線I分別交BD、BC于點M、N。試探究m為何值時，四邊形 CQMD是平行四 邊形，此時，請判斷四邊形 CQBM的形狀，并說明理由。(3) 當點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q,使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，

17、請說明理由。實用文案【練習】1、平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2. 5m處繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂已知學生丙的身高是1 5 m，則學生丁的身高為（建立的平面直角坐標系如右圖所示）（）A 1 5 mB 1 625 mC. 1 66 mD 1 67 m2 -x 11 x33. 二 次 函 數(shù)2y ax bx c的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)ay 與一次函數(shù)xy bx c在同一坐標系中的大致圖象是（）4.如圖，已知二次函數(shù)y x2 bx c的圖象經(jīng)過點

18、（一1 , 0 ）, （1 , - 2），當y隨x的增大而增大時,x的取值范圍是5.在平面直角坐標系中，將拋物線2A y （x 1）2y軸的交點旋轉(zhuǎn) 1802C y (x 1)2，所得拋物線的解析式是（d y （x)1)2426.已知二次函數(shù)y ax2bx c的圖像如圖，其對稱軸1，給出下列結果 b2 4acabc 02a b 0則正確的結論是（）x-2-1012y04664C D27 拋物線 y ax bx c上部分點的橫坐標x，縱坐標 y的對應值如上表：從上表可知，下列說法中正確的是（填寫序號）拋物線與x軸的一個交點為（3,0）；函數(shù)y ax2 bx c的最大值為6；拋物線的對稱軸是 x

19、1；2在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大.標準OAB8. 如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點 A的坐標是（一2 , 4 ）,過點A作AB丄y軸，垂足為B,連結OA （1）求OAB的面積；（2）若拋物線y x2 2x c經(jīng)過點A 求c的值；將拋物線向下平移 m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在的內(nèi)部（不包括厶OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）1 2 9、“已知函數(shù)y X bx c的圖象經(jīng)過點 A (c，- 2),，這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3?！? 題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。(1) 根據(jù)已知和結論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。10