第2章231上課(2)

1、24向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積(一一)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算積的運(yùn)算.課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案知能優(yōu)化訓(xùn)練知能優(yōu)化訓(xùn)練2.4向向量量的的數(shù)數(shù)量量積積(一一)課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案溫故夯基溫故夯基1設(shè)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab_；ab_；a_；ab_.2向量加法的運(yùn)算律有向量加法的運(yùn)算律有_和和_(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x1y2x2y10交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律知新益能知新益能1向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積(

2、1)定義：已知兩個(gè)非零向量定義：已知兩個(gè)非零向量a和和b，它們的夾角，它們的夾角是是，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量_叫做向量叫做向量a和和b 的 數(shù) 量 積的 數(shù) 量 積 ( 或或 _ _ _ _ _ _ ) ， 記 作， 記 作 a b ， 即， 即_(2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_|a|b|cos內(nèi)積內(nèi)積ab|a|b|cos.0.2向量的夾角的定義向量的夾角的定義夾角夾角0180或或0，同向同向|a|b|a|2反向反向|a|b|垂直垂直03.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律向量的數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量已知向量a，b，c和實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，則，則(1)ab_；(2)(a)b_

3、；(3)(ab)c_.4向量數(shù)量積的幾何意義向量數(shù)量積的幾何意義baa(b)ab(ab)acbc(1)向量向量b在在a方向上的投影方向上的投影_叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影，它是方向上的投影，它是_(2)數(shù)量積數(shù)量積ab的幾何意義的幾何意義數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的的_與與b在在a的方向上的方向上的投影的投影_的乘積的乘積|b|cos數(shù)量數(shù)量長(zhǎng)度長(zhǎng)度|a|b|cos問題探究問題探究對(duì)于向量對(duì)于向量a，b，c，等式，等式(ab)ca(bc)一定成一定成立嗎？立嗎？提示：提示：不一定成立，不一定成立，若若(ab)c0，其方向與，其方向與c相同或相反；而相同或相反；而a(bc)0時(shí)，其方向

4、與時(shí)，其方向與a相同或相同或相反，而相反，而a與與c方向不一定相同，故該等式不一定方向不一定相同，故該等式不一定成立成立課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算求向量的數(shù)量積，需靈活采用向量數(shù)量積的計(jì)算求向量的數(shù)量積，需靈活采用向量數(shù)量積的計(jì)算公式，在應(yīng)用過程中還需掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，在應(yīng)用過程中還需掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律，一般原則是：先化簡(jiǎn)，后計(jì)算律，一般原則是：先化簡(jiǎn)，后計(jì)算 已知已知|a|3，|b|6，當(dāng)，當(dāng)ab，ab，a與與b的夾角是的夾角是60時(shí)，分別求時(shí)，分別求ab.【點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)】(1)非零向量共線的充要條件是非零向量共線的充要條

5、件是ab|a|b|，因此，當(dāng)，因此，當(dāng)ab時(shí)，時(shí)，a與與b所成角有所成角有0或或180兩種可能；兩種可能；(2)非零向量非零向量abab0；(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積ab|a|b|cos，與它們的夾，與它們的夾角有關(guān)，夾角范圍是角有關(guān)，夾角范圍是0，EX1已知已知|a|4，|b|8，a與與b的夾角是的夾角是150，求值：，求值：(1)ab；(2)(a2b)(2ab)與向量模有關(guān)的問題與向量模有關(guān)的問題求一個(gè)向量的模常轉(zhuǎn)化為求這個(gè)向量的平方，求一個(gè)向量的模常轉(zhuǎn)化為求這個(gè)向量的平方，將所得結(jié)果開平方即可得到該向量的模將所得結(jié)果開平方即可得到該向量的模 若向量若向量a與向量與向量b的夾角

6、為的夾角為60，|b|4，(a2b)(a3b)72.求：求：(1)|a|；(2)|ab|.互動(dòng)探究互動(dòng)探究2本例條件不變，求本例條件不變，求|ab|.與向量夾角有關(guān)的問題與向量夾角有關(guān)的問題對(duì)于兩向量的夾角，一定要看清是否是同一起對(duì)于兩向量的夾角，一定要看清是否是同一起點(diǎn)，否則容易出錯(cuò)，向量的夾角常常與向量的點(diǎn)，否則容易出錯(cuò)，向量的夾角常常與向量的數(shù)量積聯(lián)系，有時(shí)也可結(jié)合有關(guān)的三角形或平數(shù)量積聯(lián)系，有時(shí)也可結(jié)合有關(guān)的三角形或平行四邊形來研究行四邊形來研究 若若(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，試求試求a，b的夾角的夾角的余弦值的余弦值方法感悟方法感悟3若若a，b，c(b0)為實(shí)數(shù)，則為

7、實(shí)數(shù)，則abbcac；但；但對(duì)于向量，對(duì)于向量，abbc(b0)，a與與c不一定相等，不一定相等，a與與c是否相等與是否相等與a，b的夾角的夾角和和b，c的夾角的夾角有關(guān)有關(guān)4兩個(gè)向量的數(shù)量積不是向量而是數(shù)量，要注兩個(gè)向量的數(shù)量積不是向量而是數(shù)量，要注意區(qū)分兩向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)與向量的數(shù)乘、意區(qū)分兩向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)與向量的數(shù)乘、實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的積之間的差異實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的積之間的差異24向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積(二二)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法，理解并掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法，能利用向量的數(shù)量積解決向量夾角、平行、垂能利用向量的數(shù)量積解決向量夾角、平行、垂直等

8、問題直等問題.課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案知能優(yōu)化訓(xùn)練知能優(yōu)化訓(xùn)練2.4向向量量的的數(shù)數(shù)量量積積(二二)課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案溫故夯基溫故夯基知新益能知新益能1向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，i與與j分別為與分別為與x軸、軸、y軸同向的單位向量，則軸同向的單位向量，則i2ii1，j2jj1，ijji0；a(x1，y1)x1iy1j，b(x2，y2)x2iy2j.a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab_.2求向量模的公式求向量模的公式設(shè)設(shè)a(x，y)，則，則x1x2y1y2x1x2y1y20問題探究問題探究與向量與向量

9、a(x，y)同向的單位向量的坐標(biāo)如何表示？同向的單位向量的坐標(biāo)如何表示？課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算引入坐標(biāo)運(yùn)算后，向量的數(shù)量積的運(yùn)算與兩個(gè)向引入坐標(biāo)運(yùn)算后，向量的數(shù)量積的運(yùn)算與兩個(gè)向量的坐標(biāo)運(yùn)算聯(lián)系起來，因而數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算量的坐標(biāo)運(yùn)算聯(lián)系起來，因而數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算成了一種代數(shù)運(yùn)算成了一種代數(shù)運(yùn)算 已知向量已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)求：求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c，a(bc)【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式，將相應(yīng)利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式，將相應(yīng)向量的坐標(biāo)代入計(jì)算即可向量的

10、坐標(biāo)代入計(jì)算即可向量的模與夾角問題向量的模與夾角問題由于由于ab|a|b|cosx1x2y1y2，即數(shù)量積有兩，即數(shù)量積有兩種表現(xiàn)形式，這就為求向量的夾角，提供了另種表現(xiàn)形式，這就為求向量的夾角，提供了另外一種途徑，即運(yùn)用坐標(biāo)形式求數(shù)量積，再求外一種途徑，即運(yùn)用坐標(biāo)形式求數(shù)量積，再求夾角夾角【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的夾角公式求解算及向量的夾角公式求解EX2已知向量已知向量a(2,1)，b(m,2)，它們的，它們的夾角為夾角為，當(dāng)，當(dāng)m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，取什么實(shí)數(shù)時(shí)，為為(1)直角；直角；(2)銳角；銳角；(3)鈍角？鈍角？與向量垂直有關(guān)的問題與向量垂直有關(guān)的問題兩個(gè)非零向量垂直主要有兩種形式：兩個(gè)非零向量垂直主要有兩種形式：(1)若若a與與b為非零向量，則為非零向量，則abab0；(2)設(shè)非零向量設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則abx1x2y1y20.要注意兩種形式的選擇與靈活應(yīng)用要注意