橢圓專題復習試題

1、橢圓專題復習試題221相交于 A, B兩點，則使得點 P 為1已知直線 l 過點 P 3, 2 且與橢圓 C : x y20 16弦 AB 中點的直線斜率為(AC3565答案】 C解析】試題分析：用點差法：設2 x12y12 1162022x2y22 11620A(x1,y1),B(x2,y2) ，則有兩式作差：2x22022y1 y216(x1 x2 )(x1 x2)20(y1 y2)(y1 y2 )16又因為x1x26，所以 620y1y24y1y2kABx1x22 x10, kAB5 ，故選 C.考點：直線與橢圓的位置關系2已知動點P(x,y) 在 橢圓x2y21上,若 A點坐標為 (3

2、,0)uuuur| AM | 1 , 且2516uuuuruuuur0則uuuurPMAM|PM | 的最小值是()A2B3C 2 D3【答案】 B【解析】uuuur試題分析：由 |AM | 1可知點 M的軌跡為以點 A為圓心， 1 為半徑的圓，過點 P作該圓的切線 PM，則|PA| 2=|PM| 2+|AM| 2，得 |PM| 2=|PA| 2-1， uuuur uuur uuur要使得 | PM | 的值最小，則要 PA 的值最小，而 PA 的最小值為 a-c=2 ，uuuur此時 |PM | 3 ，故選 B考點：橢圓的定義2x3若直線 y=x+t 與橢圓+y 2=1相交于 A、B 兩點,

3、當 t 變化時 ,|AB|的最大值為 ( )4A2B 4 5C4 10D8 105答案】 C解析】 聯(lián)立兩個方程化為5x 2+8tx+4t 2-4=0.設 A(x 1,y1)、B(x2,y2),則 x1+x2=- 8 t,x1x2= 4 (t2-1).55|AB|= 2(x1 x2) 2 4x1x22( 85t)2 156(t 21)= 10 2t .5而 =(8t)2-4 5(4t2-4)0,解得 02t5.取 t2=0 得|AB| 最大=44 10 .522xy6設橢圓 2 2 1 a bab0 的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以 F1F2 為直徑的圓與直線 bx a2 b2 y b2 相切

4、，則該橢圓的離心率為 (A2C51D312答案】解析】 由題以 F1F2為直徑的圓的圓心為（ 0， 0），半徑為 c,所以cb2，即 a2 c2 ac ，解得 e52 1.故選 C.點睛： 橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)， 求橢圓的離心率 （或離心率的取值范圍 ），c常見有兩種方法： 求出 a，c，代入公式 e ；只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，ac 的齊次式，結(jié)合 b2a2c2轉(zhuǎn)化為 a，c 的齊次式，然后等式 （不等式）兩邊分別除以 a或 a2 轉(zhuǎn)化為關于 e 的方程 （不等式 ），解方程 （不等式 ）即可得 e（e 的取值范圍 ） 27若橢圓 x2 a2 y2 b21a0 和圓 x

5、2c 為橢圓的半焦距 ） ，有四個不同的交點，則橢圓的離心率 e 的取值范圍是A. 5 ，3B. 2 ， 5 C.5 5 5 5【答案】 AD.5解析】試題分析：聯(lián)立橢圓22xy2 2 1 a b 0a2 b2與圓 x22c2b 2 22x( c)2 b2a22橢圓 x2a22 y2 b21ab 0 與圓22xy2c ，（ c 為橢圓的半焦距 ） 有四個不同交點，02c22 x2ac，b 2 2 2 0 ( c)2 b2 c2 ，23b 2c ，92cc41653 e，故選 A.55b24c2，92c16a2 c24c2，25c2 a2 5 c2，16考點：圓與圓錐曲線的綜合思路點睛】聯(lián)立橢圓

6、x22y2 1 a b 0b22cb2y2x圓與2c2b 2 22x( c)2 b2a2，根據(jù)橢圓22x2 y22 a2 b21ab0與圓 x2 y22b c ，( c 為橢2圓的半焦距 ) 有四個不同交點，可知方程有兩個不等的根，結(jié)合橢圓的范圍，即可求得 離心率的取值范圍 .228如果橢圓 x y 1的弦被點 (4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是 36 9【答案】 x 2y 8 0.【解析】 試題分析：由題意得，設直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程，用韋達定理即可求解 . 考點：橢圓中平分弦的問題 .229(12分)已知橢圓 C：xy 1，直線l過點P( 2,1)交橢圓C于A、B兩點84(1)

7、若 P是AB中點，求直線 l 的方程及弦 AB的長；( 2)求弦 AB中點 M的軌跡方程答案】1)4332) x2 2y 2 2x 2y 0解析】 解： (1) 由題意， a 2 2,b 2 p 是 AB 中點，則直線 l 斜率存在 設 A( x1,y1), B( x2,y2)1由點差法得1X128X 22Y2284k即03yx即2x1y2yAB 1 k2ABx 1x22 (x1x2 )2 4x1x2433 .6(2) 設 A( x1, y1) 、B( x2, y2), 中點 M(x,y )由點差法得 kAB K OMb2a2上，有 k ABk PMy1,k OMyx2 OMx，且 P 在x2

8、 2y2 2x 2y 0y 1 y1 ，整理得x 2 x2.12若l 斜率不存在或斜率為 0，則M（-2,0 ）或M（0,1 ）也滿足上式22M 的軌跡方程為 x 2 2y2 2x2y 022xy212 ab210設 AB 是橢圓ab 0 ）的長軸，若把 AB 給 100 等分，過每個分點作 AB 的垂線，交橢圓的上半部分于P1、 P2、 、P99 ，F(xiàn)1 為橢圓的左焦點，則F1 A F1P1 F1P2 + F1P99 F1B 的值是答案】 101a解析】略2211已知P是以F1, F2為焦點的橢圓 x2 y2 1（a b 0）上的 a2 b21PF1 PF20, tan PF1F21, 則此

9、橢圓的離心率為2答案】 e 35, | PF2 | r2則 r1 rr2 1 2 2 22 2a, 2, r1 r2 (2c) , e2r1 2 1 2解析】設| PF1 | r1532x2 12已知橢圓 2 y 1 ，1）求斜率為 2 的平行弦的中點軌跡方程。2）過 A（2，1）的直線 L 與橢圓相交，求L 被截得的弦的中點軌跡方程；3）過點P（ 0.5,0.5 ）且被P點平分的弦所在直線的方程。答案】1) y= 1 x,44x；32) x22x 2y2 2y0 （ 去除包含在橢圓2x2 y2 1 內(nèi)部的部分 ） ；3) 2x+4y-3=0 。解析】 (1) 設這些平行弦的方程為 y=2x+

10、m, 弦的中點為 M(x,y).2聯(lián)立直線方程和橢圓方程 :y=2x+m, 2 y 1 消去 y得,8因此 x1 x2=-9m,64m272(m21) 728m20,3m3.M的坐標是 :x=4m ,y=2x+m,3m3, 消去m得 :y=1x,4x49433(2) 設弦的端點為P( x1,y1 ),Q(x2,y2),其中點是M(x,y).9x2 8mx 2(m2 1) 0,2 x1 22 x2 2y12 1y22 1y2 y1x2x1x2(y2y1)2y化簡得 : x2 2x 2y2 2y0( 去除包含在橢圓y 1 內(nèi)部的部分 ).kAM,kAMkPQ因此 : y1=xx2 AMx22yx1

11、(3) 由(2) 可得弦所在直線的斜率為 k= =, 因此所求直線方程是 :2y 21 11y- =- (x- ), 化簡得 :2x+4y-3=0.2 2213設橢圓 ax2+by2=1 與直線 x+y=1 相交于 A、B 兩點 ,且|AB|=2 2.又 AB 的中點 M2 與橢圓中心連線的斜率為,求橢圓的方程 .2答案】 橢圓方程為 x + 2 y2=1.33解析】 將橢圓方程與直線方程聯(lián)立,消去 y 并整理得 (a+b)x 2-2bx+b-1=0.設 A(x 1,y1)、B(x 2,y2),2bb 1x1+x2=,x1x2=a ba b |AB|= 1 k2 |x1-x2|= 1 k2x2

12、)2 4x1x2=2 (a2bb)2 4(ab b1),kOM=a 2 ,b 2 ,y1 y22x1 x 22由題意知8( a b ab) 2 2,ab1,解之 ,得3,23故所求橢圓方程為2x+32 y2=1.3214 在橢圓 x8=1 上求一點P,使它到定點Q(0,1) 的距離最大 ,則 P 的坐標是答案】 (- 6 ,-1)或( 6 ,-1)解析】 設 P(2 2cos ,2sin),則|PQ|= (2 2 cos )2 (2sin1)2= 8 cos24 sin 24 sin= 5 4sin 4(1 sin 2 )2= 4 sin 4 sin 94(sin1 )2210= 32 |PQ|max= 10 .1此時 sin =- ,cos2P點為(- 6 ,-1)或( 6 ,-1).15 F1，F(xiàn)2 為橢 圓x22a2 b2 1 ab0的 左、