2010年福建高考文科數(shù)學(xué)真題及答案

1、2010年福建高考文科數(shù)學(xué)真題及答案第I卷（選擇題 共60分）1. 若集合A=x|1x3，B=x|x2，則AB等于A x | 2x3 B x | x1 C x | 2x3 D x | x22. 計(jì)算12sin222.5的結(jié)果等于A.1/2 B. /2 C/3 D/23. 若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，其側(cè)面積等于A. B.2C.2 D.64. i是虛數(shù)單位，（1+i）/(1-i)）4等于A.i B.-i C.1 D.-15. 若x，yR，且，則z=x+2y的最小值等于A.2 B.3 C.5 D.96. 閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的i值等于A.2 B.3 C.4

2、 D.57. 函數(shù)f（x）= 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.2 B.2 C.1 D.08.若向量a=（x，3）（xR），則“x=4”是“| a |=5”的A.充分而不必要 B.必要而不充分 C充要條件 D.既不充分也不必要條件9.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是A.91.5和91.5 B.91.5和92 C 91和91.5 D.92和9210.將函數(shù)f（x）=sin（x+）的圖像向左平移/2個(gè)單位，若所得圖像與原圖像重合，則的值不可能等于A.4 B.6 C.8 D.1211.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x2/4 +y2/3 =1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上點(diǎn)的任

3、意一點(diǎn)，則的最大值為A.2 B.3 C.6 D.812.設(shè)非空集合S=x | mxl滿(mǎn)足：當(dāng)xS時(shí)，有x2S . 給出如下三個(gè)命題：若m=1，則S=1；若m=1/2 ，則1/4 l 1； l=1/2，則/2m0其中正確命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3第II卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. 把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.若雙曲線x2 / 4y2 / b2=1 (b0) 的漸近線方程為y=1/2 x ，則b等于 .14.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組. 繪制頻率分步直方圖.若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且前三組數(shù)據(jù)

4、的頻率之和等于27，則n等于 .15. 對(duì)于平面上的點(diǎn)集，如果連接中任意兩點(diǎn)的線段必定包涵，則稱(chēng)為平面上的凸集，給出平面上4個(gè)點(diǎn)集的圖形如下（陰影區(qū)域及其邊界）： 其中為凸集的是 （寫(xiě)出所有凸集相應(yīng)圖形的序號(hào)）.16.觀察下列等式： cos2=2 cos2 1； cos 4=8 cos4 8 cos2 +1； cos 6=32 cos6 48 cos4 18 cos2 1； cos 8= 128 cos8256cos6 160 cos4 32 cos2 1； cos 10=mcos101280 cos81120cos6 ncos4 p cos2 1；可以推測(cè)，mn+p= .三、解答題：本大題共

5、6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題滿(mǎn)分12分）數(shù)列a n中，a 1 =1/3，前n項(xiàng)和S n 滿(mǎn)足S n+1 S n =（1 / 3）n + 1 (n)N *.（I）求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式a n 以及前n項(xiàng)和S n（II）若S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值.18.（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)平面向量a m =（m，1），b n =（2，n），其中m，n1,2,3,4.（I）請(qǐng)列出有序數(shù)組（m，n）的所有可能結(jié)果；（II）記“使得a m （a mb n）成立的（m，n）”為事件A，求事件A發(fā)生的概率.19.（本小題滿(mǎn)分

6、12分） 已知拋物線C的方程C：y 2 =2 p x（p0）過(guò)點(diǎn)A（1，-2）.（I）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（II）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l 的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。20.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1 中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1 不重合），且EHA1 D1. 過(guò)EH的平面與棱BB1 ，CC1 相交，交點(diǎn)分別為F，G。（I） 證明：AD平面EFGH；（II） 設(shè)AB=2AA1 =2 a .在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1 內(nèi)隨機(jī)選

7、取一點(diǎn)。記該點(diǎn)取自幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)且滿(mǎn)足EF=a時(shí)，求p的最小值.21. （本小題滿(mǎn)分12分）某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口的O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.（I） 若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（II） 為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；（III） 是否存在v，使得小艇以

8、v海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)P(0,f(0)處的切線方程為.（）求實(shí)數(shù)a，b的值；（）設(shè)是上的增函數(shù). （）求實(shí)數(shù)m的最大值； （）當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線能與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿(mǎn)分60分.1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)

9、和基本運(yùn)算. 每小題4分，滿(mǎn)分16分. 13.1 14.60 15. 16.962三、 解答題：本大題共6小題；共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.本小題主要考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿(mǎn)分12分.解：()由S n+1 S n =（）n + 1得 (nN *)；又，故(nN *)從而(nN *).()由()可得，從而由S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差數(shù)列可得：，解得t=2.18.本小題主要考查概率、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想.

10、滿(mǎn)分12分.解：()有序數(shù)組（m,n）的吧所有可能結(jié)果為：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16個(gè). ()由得，即.由于1,2,3,4，故事件A包含的基本條件為（2,1）和（3,4），共2個(gè).又基本事件的總數(shù)為16，故所求的概率.19.本小題主要考查直線、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想.滿(mǎn)分12分.解：（）將（1,-2）代入，所以. 故所求的拋物線C的方程

11、為，其準(zhǔn)線方程為.（）假設(shè)存在符合題意的直線l ，其方程為y=2x + t ，由，得y2 2 y 2 t=0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以得=4+8 t，解得t 1/2 .另一方面，由直線OA與l的距離d=，可得=，解得t=1.因?yàn)?-,），1，），所以符合題意的直線l 存在，其方程為2x+y-1 =0.20.本小題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考察空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考察函數(shù)與方程思想、形數(shù)結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。滿(mǎn)分12分解法一：（I） 證明：在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1 中，ADA1 D1

12、 又EHA1 D1 ，ADEH.AD平面EFGHEH 平面EFGHAD/平面EFGH.（II） 設(shè)BC=b，則長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1 的體積V=ABADAA1 =2a2b，幾何體EB1F-HC1G的體積V1 =（1/2EB1 B1F）B1C1 =b/2EB1 B1 FEB12 + B1 F2=a2 EB12 + B1 F2 （EB12 + B1 F2 ）/2 = a2 / 2,當(dāng)且僅當(dāng)EB1 =B1 F=/2 a時(shí)等號(hào)成立從而V1 a2b /4 .故 p=1-V1/V 7/8解法二：（I） 同解法一（II） 設(shè)BC=b，則長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1 的體積V=ABADAA1 =2a

13、2b ，幾何體EB1F-HC1G的體積V1=（1/2 EB1 B1 F）B1C1 =b/2 EB1 B1 F設(shè)B1EF=（090），則EB1 = a cos，B1 F =a sin故EB1 B1 F = a2 sincos= ，當(dāng)且僅當(dāng)sin 2=1即=45時(shí)等號(hào)成立.從而p=1- V1/V=7/8，當(dāng)且僅當(dāng)sin 2=1即=45時(shí)等號(hào)成立.所以，p的最小值等于7/821.本小題主要考察解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考察推斷論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考察函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿(mǎn)分12分.解法一：（I）設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里，則S= = =

14、故t=1/3時(shí)，S min = ，v= =30即，小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。ǎ┰O(shè)小艇與輪船在B處相遇由題意可知，（vt）2 =202 +（30 t）2-22030tcos（90-30），化簡(jiǎn)得：v2=+900 =400+675由于0t1/2，即1/t 2,所以當(dāng)=2時(shí)，取得最小值，即小艇航行速度的最小值為海里/小時(shí)。（）由（）知，設(shè)，于是。（*） 小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價(jià)于方程（*）應(yīng)有兩個(gè)不等正根，即：解得。所以的取值范圍是。解法二：（）若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较?。設(shè)小艇與輪船在C處相遇。

15、在中，。又,此時(shí)，輪船航行時(shí)間，。即，小艇以海里/小時(shí)的速度行駛，相遇時(shí)小艇的航行距離最小。（）同解法一（）同解法一22. 本小題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考察推力論證能力、抽象概況能力、運(yùn)算求解能力，考察函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)換思想、分類(lèi)與整合思想。滿(mǎn)分14分。解法一：（）由及題設(shè)得即。（）（）由得。是上的增函數(shù)， 在上恒成立，即在上恒成立。設(shè)。，即不等式在上恒成立當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立。當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，因此。，即。又，故。綜上，的最大值為3。（）由（）得，其圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。證明如下： 因此，。上式表明，若點(diǎn)為函數(shù)在圖像上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)也一定在函數(shù)的圖像上。而線段中點(diǎn)恒為點(diǎn)，由此即知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。這也就表明，存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的直線若能與函數(shù)的圖像圍成