2021-2021版高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性(一)學(xué)案北師大版必修1

1、3函數(shù)的單調(diào)性(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念 2會劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 判斷單調(diào)性3 會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.H問題導(dǎo)學(xué)T知識點一函數(shù)的單調(diào)性思考 畫出函數(shù)f(x) = x、f(x) = x2的圖像，并指出f(x) = x、f(x) = x2的圖像的升降情況 如何？梳理 單調(diào)性是相對于區(qū)間來說的，函數(shù)圖像在某區(qū)間上上升，那么函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)反之那么為減函數(shù).很多時候我們不知道函數(shù)圖像是什么樣的，而且用上升下降來刻畫單調(diào)性很粗糙.所以有以下定義：一般地，在函數(shù)y = f (x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間 A上，如果對于任意兩數(shù) Xi, X2 A當(dāng)xiX2 時，都有f(xi)

2、f(X2)，那么，就稱函數(shù) y = f (x)在區(qū)間A上是，有時也稱函數(shù) y=f (x)在區(qū)間A上是在函數(shù)y= f (x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間 A上，如果對于任意兩數(shù) xi, X2代當(dāng)xif(X2)，那么，就稱函數(shù) y= f (x)在區(qū)間A上是，有時也稱函數(shù) y= f (x)在區(qū)間A上是如果函數(shù)y = f(x)在定義域的某個子集上是增加的或是減少的，就稱函數(shù)y= f(x)在該子集上具有單調(diào)性；如果函數(shù) y = f(x)在整個定義域內(nèi)是增加的或是減少的，我們分別稱這個函 數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).知識點二 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2i思考 我們已經(jīng)知道f (X) = X在(一8, 0上是減少的，

3、f (X)=-在區(qū)間(一8, 0)上是減少X的，這兩個區(qū)間能不能交換?梳理 一般地，有以下常識：(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨一點不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點假設(shè)屬于定義域，那么該點處區(qū)間可開可閉，假設(shè)區(qū)間端點不屬于定義域那么只能開.單調(diào)區(qū)間D?定義域I .(3)遵循最簡原那么，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大.題型探究類型一 求單調(diào)區(qū)間并判斷單調(diào)性以及在例1如圖是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)y= f(x),根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 每一單調(diào)區(qū)間上，它是增加的還是減少的？反思與感悟 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集; 當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個以上單調(diào)區(qū)間時，單

4、調(diào)區(qū)間之間可用“，分開，不能用“U，可以用和來表示；在單調(diào)區(qū)間 D上函數(shù)要么是增加的，要么是減少的，不能二者兼有.跟蹤訓(xùn)練1寫出函數(shù)y=|x2 2x 3|的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性.類型二證明單調(diào)性命題角度1證明具體函數(shù)的單調(diào)性 例2證明f(x)= x在其定義域上是增函數(shù).反思與感悟 運(yùn)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時， 應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)給定的區(qū)間上任意 取xi, X2且Xi0時，f(x)1.求證：函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù).反思與感悟 因為抽象函數(shù)不知道解析式，所以不能代入求f(Xi) f(X2)，但可以借助題目提供的函數(shù)性質(zhì)來確定 f( xi) f(X2)的大小，這時就需要根據(jù)解題需要對抽

5、象函數(shù)進(jìn)行賦 值.跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f (x)的定義域是R,對于任意實數(shù) m n,恒有f(m+ n) = f ( n) f(n),且當(dāng)x0時，0f(x)1.求證：f(x)在R上是減函數(shù).類型三單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1利用單調(diào)性求參數(shù)范圍3a 1 x + 4a, x1是定義在R上的減函數(shù)，那么 a的取值范圍A.1 18, 3)1B (0 , 3) c.【8，+呵+ 8)反思與感悟分段函數(shù)在定義域上單調(diào)，除了要保證各段上單調(diào)外，還要接口處不能反超.另外，函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的圖像不一定是連續(xù)不斷的.跟蹤訓(xùn)練4函數(shù)f(x) = x22ax 3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，那么實數(shù)a的取值范圍為.命題角度2用單調(diào)性

6、解不等式 例5y = f (x)在定義域(一1,1)上是減函數(shù)，且f(1 a)f (2 a 1)，求a的取值范圍.反思與感悟 假設(shè)函數(shù)f(x)的單調(diào)性，那么由X1, X2的大小，可得 f(Xi) , f(X2)的大小，可得X1 , X2的大小.f (Xi) , f(X2)的大??；由 f(1 a) f (2 a- 1)，貝y a跟蹤訓(xùn)練5在例5中假設(shè)函數(shù)y= f(X)的定義域為R,且為增函數(shù)， 的取值范圍又是什么？當(dāng)堂訓(xùn)練)B. ( , 0D. ( , 0) U (0 ,+3)1函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2,2上的圖像如下圖，那么此函數(shù)的增區(qū)間是A. 2,0C. 2,12函數(shù)y= 6的減區(qū)間是(xA

7、. 0 ,+s )C. ( 3 0) , (0 ,+)3. 在以下函數(shù)f (x)中，滿足對任意 Xi，X2 (0,+)，當(dāng)Xif(X2)的是1B f(X) = X( )2A. f (X) = XC. f (x) = |x|D. f (x) = 2x + 14. 函數(shù)y= f(x)滿足：f( 2)f ( 1) , f ( 1) f(1)，貝U x的取值范圍是()A. x 1C. 1x1D. x1規(guī)律與方法1 .假設(shè)f (X)的定義域為D,A?D,B?D f(x)在A和B上都遞減，未必有f (x)在AU B上遞減.2. 對增函數(shù)的判斷，對任意X1X2,都有f(x0 或0.對減函數(shù)的判斷，對任意X1

8、 f(X2),相應(yīng)地也可用一個不等式來替代：(X1X2)f(X1) f(X2)0或fX1 fX20.X1 X23. 熟悉常見的一些單調(diào)性結(jié)論，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等.4. 假設(shè)f(x), g(x)都是增函數(shù)，h(x)是減函數(shù)，貝V：在定義域的交集(非空)上，f(x) + g(x)1遞增，f (x) h(x)遞增，f (x)遞減，f遞減(f (x)豐0).f Xi5. 對于函數(shù)值恒正(或恒負(fù))的函數(shù)f (x)，證明單調(diào)性時，也可以作商一與1比擬.T X2合案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考兩函數(shù)的圖像如下:函數(shù)f(x) = x的圖像由左到右是上升的；函數(shù) 軸右側(cè)是上升的.梳理 增加的 遞增

9、的 減少的 遞減的知識點二f (x) = x2的圖像在y軸左側(cè)是下降的，在y思考 f(x) = x所以y=|x 2x 3|的單調(diào)區(qū)間有(一8 , 1 , 1,1 , 1,3 , 3 , +8),其中遞減區(qū) 間是(一8 , 1 , 1,3;遞增區(qū)間是1,1 , 3, +8).例2證明f (x) =的定義域為0 , +8).設(shè)X1 , X2是定義域0 , +8 )上的任意兩個實數(shù)，且X1% ,的減區(qū)間可以寫成(一8, 0)，而f(x)=-的減區(qū)間(一8, 0)不能寫成(一x18, 0，因為0不屬于f(x)=-的定義域.x題型探究例 1 解 y= f(x)的單調(diào)區(qū)間有5, - 2 , 2,1 , 1

10、,3 , 3,5，其中 y = f (x)在區(qū) 間5, 2 , 1,3上是減少的，在區(qū)間2,1 , 3,5上是增加的.x2 2x 3, x3 ,跟蹤訓(xùn)練1解先畫出f (x) =2的圖像，如圖.x 2x 3 , K XW3那么 f (Xi) - f (X2)= X1 - X2.Z X2Xl + p：;X2Xi - X2Xi+ ；X2/ 0 XiX2,二 Xi- X20,/.f(Xi) -f(X2)0,即卩 f(Xi)f(X2), f (x) = x在定義域0 ,+s)上是增函數(shù).跟蹤訓(xùn)練2 證明 設(shè)Xi, X2是實數(shù)集R上的任意實數(shù)，且K XiX2，貝U f(Xi) - f(X2)= Xi=(X

11、i X2)(ii航)=(Xi -iii iX2 Xi+ Xi-(X2 + X2) =(Xi-X2)+ (Xi- X2) = (Xi -X2)+uX2)( 9).XiX2/ K XiX2,. Xi X20,i0,故(Xi-X2)(XiX2XiX2 iXiX2)0,即 f(Xi) -f(X2)0,即卩 f(Xi)X2.令 x+ y = xi, y = X2,貝U x= xi- X20.f(xi) -f(X2)= f (x + y) -f (y) = f (x) + f(y) - i -f (y) = f (x) - i. x0,. f(x)i , f(x) - i0, f(Xi) -f(X2)0,

12、即卩 f(Xi)f(X2).函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù).方法二 設(shè) xiX2，貝U xi-X20,從而 f (Xi-X2)i，即 f (Xi-X2) - i0.f (Xi) = f X2+ ( Xi X2) = f (X2) + f (Xi - X2) if ( X2),故f (x)在R上是增函數(shù).跟蹤訓(xùn)練3 證明對于任意實數(shù) m n,恒有f(m n) = f (n) f(n),令m= i, n=0,可 得 f(i) = f(i) f(0),當(dāng) x 0 時，0v f(x) v i, f (i)工0,a f(0) = i.令 m= xv 0, n=-x0,那么 f(m n) = f(0) =

13、f ( - x) f(x) = 1f(x)f( - x) = 1,又t x0 時，Ovf ( x) v 1,1 f (x) = 1.f x對任意實數(shù)x, f(x)恒大于0.設(shè)任意 X10, 0f(X2 xj1 , f (X2) f (X1) = f ( X2 X1) + X1 f (X1) = f (X2 X1)f (X1) f (X1) = f ( X1) f (X2 X1) 10 , f (x)在R上是減少的.3a 10,例4 A 要使f (x)在R上是減函數(shù)，需滿足：a a 1.1 1解得 w av 3.跟蹤訓(xùn)練4 awl或a2解析由于二次函數(shù)開口向上，故其增區(qū)間為a,+R )，減區(qū)間為(一a