大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題_第1頁
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文檔簡介

第五屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題一、（本題共4小題，每小題6分，共24分）解答下列各題1）求極限解：原式 2）證明廣義積分不絕對收斂。解：因?yàn)樗杂杀容^判別法得發(fā)散。3）設(shè)函數(shù)由所確定，求的極值。解：兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 當(dāng)時，此時因?yàn)闀r，所以 是極大值，是極小值。4）過曲線上的點(diǎn)作切線，使該切線與曲線及所圍成的平面圖形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：任取曲線上一點(diǎn)，此點(diǎn)處曲線的切線方程為當(dāng)時， 點(diǎn)坐標(biāo)為。二、（本題12分）計算定積分。解： 三、（本題12分）設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：級數(shù)收斂。證明：因?yàn)?，所以級?shù)收斂，由比較判別法得級數(shù)收斂。四、（本題10分）設(shè)，證明：。證明：因?yàn)?，所以存在反函?shù)，設(shè)其反函數(shù)為。五、（本題14分）設(shè)是光滑封閉曲面，方向朝外，給定第二型曲面積分試確定曲面，使得積分取值最小，并求最小值。解：利用高斯公式 要使最小，則有，即為橢球面，此時 六、（本題14分）設(shè)，其中為常數(shù)，曲線為橢圓，取正向，求極限。解：曲線的參數(shù)方程為，從0變到當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，是常數(shù)，并且曲線積分與路徑無關(guān)。七、（本題14分）判斷級數(shù)的斂散性，若收斂，求其和。解：設(shè)級數(shù)的前項的和

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