球面波及點聲源公式

1、球面波及點聲源公式球面波表達式脈動球源是進行著均勻漲縮振動的球面聲源，也就是在球源表面上各點沿著 徑向作同振幅、同相位的振動。顯然這是一種理想的輻射情況，雖然在實際生 活中很少遇到，但對它的分析具有一定的啟發(fā)意義，特別是如果應(yīng)用點源（小脈動球源）的組合來處理任何復(fù)雜的面聲源，那么這種球源就可以說是最基本 的聲源了。設(shè)有一半徑為1的球體，其表面作均勻的微小漲縮振動，也就是它的半徑在i附近以微量=廠作簡諧的變化，從面在周圍的媒質(zhì)中輻射了聲波。因為球 面的振動過程具有各向均勻的脈動性質(zhì)，因而它所產(chǎn)生的聲波波陣面是球面。 輻射的是均勻球面波。顯然，取球坐標(biāo)系比較簡單，坐標(biāo)原點取在球心。因為波陣面是球面

2、的，所以在距離r處的波陣面面積就是球面面積二一。在這種情況下可以方便地運用特殊形式的波動方程（3-1-10）Mp _ dp _ 1 d2p 二 _ _:，( 3-1-10將代人上式，貝U成為）式就可化為現(xiàn)在作一變量變換，令茁：h ( 4-1-2)顯然這方程與（3-1-8）式的形式相同，因此可以直接得到（4-1-2）式的一般解為：八“ f（ 4-1-3）其中A和B為兩個待定常數(shù)。解得丫就可求得（4-1-1）式的一般解為rr（ 4-1-4）根據(jù)前面講述的知識，我們知道上式第一項代表向外輻射（發(fā)散）的球面波；第二項代表向球心反射（會聚）的球面波?，F(xiàn)在討論向無界空間輻射的自由行波，因而沒有反射波，這里

3、常數(shù)丄11。這樣（4-1-1 ）式就成為F（ 4-1-5）A其中A /的絕對值即為聲壓振幅。按徑向質(zhì)點速度與聲壓的關(guān)系（3-1-1 a）式，可以求得徑向質(zhì)點速度為1 dpV =(4-1-6其中wA 旳丿的絕對值即為速度的振幅。（4-1-5）式及（4-1-6）式就是脈動球源輻射聲場的一般形式。球面波聲場特性以上求得的脈動球輻射一般解中尚包含有一個待定常數(shù)A ，它取決于邊界 條件，也就是取決于球面振動情況，這在物理上是顯然的，因為聲場是由于球 源振動而產(chǎn)生的、所以聲場的特征自然也應(yīng)與球面的振動情況有關(guān)。設(shè)球源表面的振動速度為式中t為振速幅值，指數(shù)中一二是為了運算方便而引入的初相位角，它并 不影響討

4、論的一般性。在球源表面處的媒質(zhì)質(zhì)點速度應(yīng)等于球源表面的振動速度，即有如下邊界條件(4-1-7將（4-1-6）式代入上式就可得到小鶴也村時（4-1-8）其中5 = arc tan 兇丿把求得的A值代入（4-1-5式就可最后求得脈動球源輻射聲壓為訶-加0 )(4-1-9將A值代入（4-1-6）式就得到脈動球輻射聲場的質(zhì)點速度為( 4-1-10式中ff = arc tan這里雹即為徑向質(zhì)點速度幅值。由（4-1-9 ）式可見，在離脈動球源距離為“的地方，聲壓幅值的大小就決定于H值，而由（4-1-8 ）式知卜I值不僅與球源的振速 t有關(guān)，而且 還與輻射聲波的頻率（或波長）、球源的半徑等有關(guān)。當(dāng)球源半徑比

5、較小或 者聲波頻率比較低，以至有1 時，AL顯然，: .這說明在以同樣大小的速度r振動時，如果球源比較小或者頻率比較低，則輻射聲壓較??；如果球源比較大或者頻率比較高，則輻射聲壓較大。因此當(dāng) 球源大小一定時，頻率愈高則輻射聲壓愈大；頻率愈低則輻射聲壓愈小。而對 于一定的頻率，球源半徑愈大則輻射聲壓愈大；半徑愈小則輻射聲壓愈小。這種輻射聲場與球源大小、聲波頻率的關(guān)系具有普遍意義。一般說來，只要 振動速度一定，凡聲源振表面大的，向空間輻射的聲壓也大，反之就小。例如， 弦樂器如果沒有助聲膜或板，而僅有單根弦的振動，那么所發(fā)出的聲音是很微 弱的，因此弦樂器必須將單根弦的振動，通過一定的耦合方式帶動助聲膜

6、或板 一起振動而發(fā)聲（例如胡琴用蛇皮等做成助聲膜，提琴則用優(yōu)質(zhì)的木料做成助 聲板），而且一般講來，振動面越大，低頻聲越豐富。再例如小口徑的揚聲器 輻射低頻聲比較困難，而大口徑的揚聲器就比較容易些，也就是這個道理。我們已經(jīng)求得了脈動球源在空間輻射的聲壓為（4-1-9）圖 4 I 1點聲源前面已提到，所謂點聲源是指半徑ro比聲波波長小很多，即滿足kro ： 1條 件的脈動球源。其輻射本領(lǐng)及輻射聲場的特征在以上已基本討論了，這里再來 專門研究點聲源的目的，主要是準(zhǔn)備用點源的組合來處理較復(fù)雜聲源（例如活塞）的輻射。我們已經(jīng)求得了脈動球源在空間所輻射的聲壓為（4-1-9）式，當(dāng)kro ： 1，-時，貝U

7、（ 4-1-9）式成為(4-1-232其中一小11為小脈動球的體積速度幅值，通常稱為點源強度。如果是向半空間輻射，例如球源被滌在無限大障板上，則僅有半個圓球的振動對半空間聲場有貢獻，這時點源強度為；，而（4-1-23）式可改寫為(4-1-24現(xiàn)在假設(shè)有一個任意形狀的而聲源，其表面各點振動的振幅和相位一般說來 可能是各不相同的，我們可以設(shè)想把該聲源表面 S分成無限多個小面元dS ， 在每個面元dS 上,各點的振動則可看成是均勻的， 從而把這些面元dS都看 成是點聲源。設(shè)位于（-匚|處點源的振動規(guī)律為二訕恥）占叫這里-v 1為該面元的振動速度幅值,一一 .L一 1為該面兀的初相位,般地講，它們都是位置的函數(shù)。該點源的強度為IUt。于是該面兀振動時在空間產(chǎn)生的聲壓據(jù)（6 4 1）式為4 曲(xj,z)(4-1-25其中為該面元到觀察點的距離因為S面上各面元對空間聲場都有貢獻疊加起來即可得到總聲壓%（刊丿zgg切出