(完整版)平方差公式與完全平方公式知識點(diǎn)總結(jié).docx

1、乘法公式的復(fù)習(xí)一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b 2歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化， xyy x x2y2 符號變化， x yxyx 2 y2 x 2 y2 指數(shù)變化， x2 y2x2y2x4y4 系數(shù)變化， 2a b2a b4a2 b2 換式變化， xyz mxyz mxy 2z m2x2y2z m z mx2y2z22zm zm mx2y2z222zm m 增項變化， x y z x y zxy 2z2xyxyz2x2xyxy y2 z2x22xy y2z222 連用公式變化，x y x y xy2222xyxy44xy 逆用公式變化，x y z 2x y z

2、2x y zx y zx y zx y z2x2y 2z4xy 4xz完全平方公式活用 : 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：1. a22aba2b2b2. a22aba2b2b3. a2a22 a 2b2bb4. a2a24abbb靈活運(yùn)用這些公式， 往往可以處理一些特殊的計算問題， 培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力。例 1已知 ab2 ， ab1，求 a 2b2 的值。例 2已知 ab 8， ab2，求 (ab)2的值。解： (a b) 2a 22abb 2(ab)2a22ab b 2(ab) 2(ab) 24ab (ab)

3、24ab =(ab) 2ab8， ab2 ( ab) 2824256例 3已知 ab4， ab5，求 a2b2 的值。解：2222aababb425262三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”例 1 計算 (-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本題兩個因式中 “-5 ”相同，“2x2”符號相反， 因而“-5 ” 是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2 中的 a，而“ 2x2”則是公式中的 b例 2 計算 (- a2+4b) 2分析：運(yùn)用公式 ( a+b) 2=a2+2ab+b2 時，“ - a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的 b；若將

4、題目變形為 (4 b- a2) 2 時，則“ 4b”是公式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析：粗看不能運(yùn)用公式計算， 但注意觀察，兩個因式中的“2x”、“5”兩項同號，“ y”、“ z”兩項異號，因而，可運(yùn)用添括號的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式例 5 計算 (2+1)(2 2 +1)(2 4+1)(2 8+1) 分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項（ 2-1 ），則可運(yùn)用公式，使問題化繁為簡（三）、注意公式的推廣計算多項式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab

5、+b2，可推廣得到：( a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項式的平方， 等于各項的平方和， 加上每兩項乘積的2倍例 6 計算 (2 x+y-3) 2解：原式 =(2 x) 2+y2 +(-3) 2+22xy+22x(-3)+2 y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y（四）、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例 7 已知： x+2y=7，xy=6，求 ( x-2 y) 2 的值例 10 計算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算， 但逆用完全平方公式，

6、則運(yùn)算更為簡便四、怎樣熟練運(yùn)用公式：熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)常見的幾種變化是：1、位置變化如（ 3x+5y）（5y3x）交換 3x 和 5y 的位置后即可用平方差公式計算了2、符號變化如（ 2m7n）（2m 7n）變?yōu)椋?2m+7n）（2m 7n）后就可用平方差公式求解了 （思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如 98102，992，912 等分別變?yōu)椋?002）（100+2），（1001）2，（90+1）2 后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化如（ 4m+ n）（2mn）變?yōu)?

7、（2m+ n）（2mn）2444后即可用平方差公式進(jìn)行計算了（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解， 此時要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂嬎愀啽闳缬嬎悖?a2+1）2（a21）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣， 若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計算， 則非常簡便 即原式 = （a2+1）（a2 1）2=（a41） 2=a8 2a4+1對數(shù)學(xué)公式只會順向 （從左到右） 運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的， 還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用如計算（1 1 ）（1 1 ）（1 1 ） （ 1223242192）（11102），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯若注意到各因式均為平方差的形

8、式而逆用平方差公式，則可巧解本題即原式 =（1 1）（1+1 ）（1 1）（1+ 1） （ 1 1 ）（1+ 1 ）22331010= 1 3 2 4 911= 1 11= 112233101021020有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有： a2 +b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2 +2ab等用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效2222如已知 m+n=7，mn=18，求 m+n，mmn+ n 的值面對這樣的問題就可用上述變式來解，22222（ 18）=49+36=85，即 m+n =（m+n） 2mn=722223（ 18） =

9、103mmn+ n= （m+n） 3mn=7下列各題，難不倒你吧？！1、若 a+ 1 =5，求（ 1） a2+ 12 ，（2）（a 1 ）2 的值aaa2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（ 216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字（答案： 1. （1）23；（2） 212. 6）五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式： (a b)(a b)=a 2b2，(a b)=a 22abb2，(a b)(a 2abb2)=a 3b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡單的套用例1計算( 2xy)(2x y) 第二層次逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用例2計

10、算第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例 3 化簡： (2 1)(2 21)(2 41)(2 8 1) 1分析直接計算繁瑣易錯， 注意到這四個因式很有規(guī)律， 如果再增添一個因式“ 21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解解原式 =(2 1)(2 1)(2 21)(2 41)(2 81) 1=(2 21)(2 2 1)(2 41)(2 81) 1=216第四層次變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2b2=(a b) 22ab，a3b3=(a b) 33ab(a b) 等，則求解十分簡單、明快例

11、5 已知 ab=9，ab=14，求 2a22b2 的值解：ab=9，ab=14， 2a22b2 =2(a b) 22ab=2(9 2 214)=106 ，第五層次綜合后用：將 (a b) 2=a2 2ab b2 和(a b) 2 =a2 2ab b2 綜合，可得 (a b) 2(a b) 2=2(a 2b2 ) ；(a b) 2(a b) 2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷例 6 計算： (2x yz5)(2x yz5) 解：原式= 1 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2- 1 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x 5) 2(y z) 2

12、=4x220x25y22yz z2乘法公式的使用技巧：提出負(fù)號：對于含負(fù)號較多的因式，通常先提出負(fù)號，以避免負(fù)號多帶來的麻煩。例1、運(yùn)用乘法公式計算：（ 1）(-1+3x)(-1-3x) ； （2）(-2m-1) 2改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式的特征更加明顯 . 例2、運(yùn)用乘法公式計算：1 11 a2（1）( 3a- 4b )(-4b - 3 );（2） (x-1/2)(x +1/4)(x+1/2)逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b 2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得an bn=(ab) n, 等等

13、，在解題時常會收到事半功倍的效果。例3、計算：（1）(x/2+5) 2-(x/2-5) 2 ; （ 2）(a-1/2) 2(a 2+1/4) 2(a+1/2) 2 合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計算。計算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（ 2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例 2.yy計算： 8x4x24簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的 x 的系數(shù)成倍數(shù)， y 的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個多項式中各項提公因數(shù)2 出來，變?yōu)?2 4 xy，則可利用乘法公式。4三 . 先分項，再用公式例 3. 計算： 2 x 3y 2 2x 3y 6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系， 但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)， x 的系數(shù)相同， y 的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將 2 分解成 4 與 2 的和，將 6 分解成 4 與 2 的和，再分組，則可應(yīng)