通信原理—隨機(jī)過程

1、統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 12021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院隨 機(jī) 過 程u隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念u統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征u平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程u高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程u隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)u窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程u正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 22021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加

2、窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院隨機(jī)過程的基本概念u確定性過程確定性過程p其變化過程可以用一個或幾個時間其變化過程可以用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描述的確定函數(shù)來描述u隨機(jī)過程隨機(jī)過程p其變化過程不可能用一個或幾個時間其變化過程不可能用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描的確定函數(shù)來描述。述。通信過程是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中遇到的信號和噪聲總帶有隨機(jī)性，從統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，隨機(jī)信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過隨機(jī)信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程程隨機(jī)過程隨機(jī)過程=隨機(jī)變量隨機(jī)變量+時間時間t的函數(shù)的函數(shù)統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

3、 窄帶隨機(jī)過程 32021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院隨機(jī)過程的基本概念u隨機(jī)過程的定義：設(shè)隨機(jī)過程的定義：設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試驗(yàn)都有一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作驗(yàn)都有一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作 ，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體 就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作 。u簡言之，無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過程簡言之，無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過程幾個基本概念幾個基本概念v隨機(jī)過程：所有樣本函數(shù)的集合，隨機(jī)過程

4、：所有樣本函數(shù)的集合，t與與s均可均可變；變；v樣本函數(shù)：確定的時間函數(shù)，樣本函數(shù)：確定的時間函數(shù)，t是變量，是變量，s是是固定的；固定的；v樣本隨機(jī)變量：樣本隨機(jī)變量：t固定時，隨機(jī)信號的狀態(tài)固定時，隨機(jī)信號的狀態(tài);v樣本值：確定的數(shù)值，樣本值：確定的數(shù)值，t與與s均固定均固定(1, 2,)kSk )(txi)(,),(),(21txtxtxn)(t統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 42021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院隨機(jī)過程的基本概念x1(t)x2(t

5、)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk一個樣本一個隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 52021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院 (si,t)= xi(t),樣樣本函數(shù)本函數(shù); (s,tk)= (tk),隨機(jī)變量隨機(jī)變量; (si,tk)= 確定確定實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)實(shí)數(shù)值實(shí)數(shù)值樣本函數(shù)樣本函數(shù)tkt (Ai,tk)統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 62021-9-23隨機(jī)信號分析平

6、穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院隨機(jī)過程的基本概念u隨機(jī)過程隨機(jī)過程(t)具有兩個基本特征：具有兩個基本特征：p (t)是是時間時間t的函數(shù)的函數(shù)；p在某一觀察時刻在某一觀察時刻t1，樣本的取值，樣本的取值(t1)是一個是一個隨機(jī)變量隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看成因此，我們又可以把隨機(jī)過程看成依賴時間參數(shù)的一族依賴時間參數(shù)的一族隨機(jī)變量隨機(jī)變量。p可見，隨機(jī)過程具有可見，隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和和時間函數(shù)的特點(diǎn)。的特點(diǎn)。,.2 , 1),(),(itstsi確定樣本函數(shù)集合隨機(jī)過程,.2 , 1),(),(it

7、stsi隨機(jī)變量集合隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 72021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院一維分布函數(shù)：一維分布函數(shù)：)(),(11111xtPtxF一維概率密度函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：),(),(1111111txfxtxF二維分布函數(shù)：二維分布函數(shù)：221121211)(,)(),;,(xtxtPttxxF二維概率密度函數(shù)：二維概率密度函數(shù)：),;,(),;,(2121221212122ttxxfxxttxxF隨機(jī)過程的隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性用統(tǒng)計(jì)

8、特性用分布函數(shù)、分布函數(shù)、概率密度函概率密度函數(shù)或數(shù)字特數(shù)或數(shù)字特征來描述。征來描述。統(tǒng)計(jì)特性相當(dāng)于隨機(jī)變相當(dāng)于隨機(jī)變量的相應(yīng)量變量的相應(yīng)量變?yōu)闀r間的函數(shù)為時間的函數(shù)統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 82021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)能夠較全面地描述隨分布函數(shù)或概率密度函數(shù)能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性在實(shí)際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和在實(shí)際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，概率密

9、度函數(shù)，用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單直觀。特性，更簡單直觀。統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 92021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院111111),()(dxtxfxtEdxtxfxtEta),()()(1數(shù)學(xué)期望（均值）數(shù)學(xué)期望（均值）方差方差數(shù)字特征方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過程方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過程在時刻在時刻t對于均值對于均值a(t)的的偏離程

10、度偏離程度。均值和方差是對均值和方差是對隨機(jī)變量求積分隨機(jī)變量求積分或求和或求和均值均值和方差和方差是是時時間的函數(shù)間的函數(shù)22()()()D XE XEX統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 102021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)衡量隨機(jī)過程在任意兩個時刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)衡量隨機(jī)過程在任意兩個時刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，常用協(xié)方差函數(shù)聯(lián)程度時，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。來表示。

11、協(xié)方差函數(shù)同一隨機(jī)過程同一隨機(jī)過程,不同時間間關(guān)系不同時間間關(guān)系自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)不同隨機(jī)過程不同隨機(jī)過程,不同時間間關(guān)系不同時間間關(guān)系互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 112021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR)()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)同一隨機(jī)過程同一隨機(jī)過程,不同時間

12、間關(guān)系不同時間間關(guān)系自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)不同隨機(jī)過程不同隨機(jī)過程,不同時間間關(guān)系不同時間間關(guān)系互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)數(shù)字特征統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 122021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院 過程是慢變化，過程是慢變化， 過程是快變化，它們大致有相過程是快變化，它們大致有相同的均值、方差，但是在不同時刻的取值，對于同的均值、方差，但是在不同時刻的取值，對于 來說，相關(guān)性強(qiáng)；對于來說，相關(guān)性強(qiáng)；對于 來說，相關(guān)性強(qiáng)弱來說，相關(guān)性強(qiáng)弱 數(shù)字特征)(t)(t

13、)(t相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù))(t)(t)(t統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 132021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院數(shù)字特征【例】【例】 已知已知X和和Y是相互獨(dú)立的兩個是相互獨(dú)立的兩個隨機(jī)變量隨機(jī)變量，它們均值和方，它們均值和方差分別為差分別為2和和6，試求，試求 的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。11( )cossinZ tXwtYwt獨(dú)立概念相關(guān)概念22 E XYE X E YD XYD X D YE aXbYaE XbE YD aXb

14、Ya D Xb D Y() ( )()( )xyE XE XE YE YD X D Y0 xyX和Y不相關(guān)1xyX和Y線性相關(guān)( , )( )( )( , )( )( )XYXYF x yFx Fyf x yfxfy統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 142021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院數(shù)字特征【例】【例】 已知已知X和和Y是相互獨(dú)立的兩個隨機(jī)變量，它們均值和方是相互獨(dú)立的兩個隨機(jī)變量，它們均值和方差分別為差分別為2和和6，試求，試求 的均值、方差和自相關(guān)

15、函數(shù)。的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。11( )cossinZ tXwtYwt111111 ( )cossincos sin2(cossin)E Z tE XwtYwtE XwtE Ywtwtwt1122112211 ( )cossincos sin6(cossin)6D Z tD XwtYwtD XwtD Ywtwtwt121 11 11 21 221 11 21 11 21 11 21 21 121211211211 ( ),( )(cossin)(cossin)()coscossinsin(cossincossin)()cos() sin()10cos()4sin(R Z tZ tE XwtY

16、wtXwtYwtE XwtwtwtwtE XYwtwtwtwtE Xw ttE X E Yw ttw ttw t21)t統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 152021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時間的推移而變化。是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時間的推移而變化。),;,(),;,(21212121hththtxxxftttxxxfnnnnnn則稱則稱 是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。)

17、(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf)(t平穩(wěn)隨機(jī)過程如果如果任意非零值任意非零值21tt一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 162021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院均值均值adxxfxtE1111)()(自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù))();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR )(),(11RttR平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特

18、征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 172021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院設(shè)有一個二階矩隨機(jī)過程設(shè)有一個二階矩隨機(jī)過程 ，它的均值為常數(shù)，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。)(t平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)隨機(jī)過程過程均值為常數(shù)均值為常數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函

19、數(shù)只與時間間隔有關(guān)只與時間間隔有關(guān)與時間起點(diǎn)無關(guān)與時間起點(diǎn)無關(guān)如何判別隨機(jī)過程是平穩(wěn)的？統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 182021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院u統(tǒng)計(jì)特性（概率密度函數(shù)，相關(guān)函數(shù)等）具有平統(tǒng)計(jì)特性（概率密度函數(shù)，相關(guān)函數(shù)等）具有平穩(wěn)性的隨機(jī)信號成為平穩(wěn)隨機(jī)過程穩(wěn)性的隨機(jī)信號成為平穩(wěn)隨機(jī)過程u觀測平穩(wěn)隨機(jī)過程的相應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性時，不受觀察觀測平穩(wěn)隨機(jī)過程的相應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性時，不受觀察時刻的影響時刻的影響u嚴(yán)格平穩(wěn)：全部統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)嚴(yán)格平穩(wěn)：全部統(tǒng)計(jì)特

20、性平穩(wěn)u廣義平穩(wěn)：部分統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)廣義平穩(wěn)：部分統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)p均值平穩(wěn)均值平穩(wěn)p自相關(guān)平穩(wěn)自相關(guān)平穩(wěn)122121)(),(),(ttRttttRttR，0)()()(attEtEta統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 192021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程 的任意一個實(shí)現(xiàn)，它的的任意一個實(shí)現(xiàn)，它的 時間均值時間均值 和和時間相關(guān)函數(shù)時間相關(guān)函數(shù) 分別為分別為2/2/)(1lim)(TTTdttxTtxa2/2/)()(1l

21、im)()()(TTTdttxtxTtxtxR)(t如果平穩(wěn)隨機(jī)過程依概率1使下式成立： aa )()(RR 則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 202021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院各態(tài)歷經(jīng)性 2121 11 21 11 221121212211211 ,cos()cos()cos()cos()2cos()cos()2 )4cos()cos22R t tE Aw tAw tAw tw tdAw ttw t

22、tdAAw ttw 已知已知均勻分布均勻分布 (t)是否為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，是否服從各態(tài)歷經(jīng)性？是否為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，是否服從各態(tài)歷經(jīng)性？111 ( )cos()cos()02EtE Aw tAw td寬平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 212021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院各態(tài)歷經(jīng)性/2/21/2/211( )lim( )limcos()0 ( )TTTTTTtt dtAw tdtTTEt /2/2/22111/22/2111/2211( )(

23、 ) ()lim( ) ()1limcos()cos()limcoscos(2 )2cos2( )TTTTTTTTTRttttdtTAw tw twdtTAww twdtTAwR 各態(tài)歷經(jīng)性統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 222021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院 “各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義：的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此， 我們無需（實(shí)際中也不可能）我們無需（實(shí)際中

24、也不可能）獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均”化為化為“時間平均時間平均”，使實(shí)際測量和計(jì)算的問題大，使實(shí)際測量和計(jì)算的問題大為簡化。為簡化。 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均

25、能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。各態(tài)歷經(jīng)性判斷各態(tài)歷經(jīng)性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件判斷各態(tài)歷經(jīng)性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 232021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院設(shè)設(shè) 為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的自相關(guān)函數(shù)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的自相關(guān)函數(shù))(t)()()(ttER具有下列主要性質(zhì)：具有下列主要性質(zhì)：)()0(2tER（1）)()(2tER（2）)()( RR（3） 的偶函數(shù) )0()(RR（4） 的上界( )R 2)()0( RR（5）平

26、穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)( ) t ( ) t 方差， 的交流功率( ) t 的平均功率 的直流功率( ) t 統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 242021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。對于任意的確定功率信號對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為，它的功率譜密度為TFPTTf2)(lim)(我們可以把我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程(t

27、)中的任一實(shí)現(xiàn)，因而中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每一實(shí)現(xiàn)每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用上式來表示。的功率譜密度也可用上式來表示。由于由于(t)是無窮多個實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知是無窮多個實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平功率譜的統(tǒng)計(jì)平均均，即，即 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度( )的f tFT統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 252021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小

28、 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院功率信號功率信號f(t)及其截短函數(shù)及其截短函數(shù)f (t)Otf T(t)tOT2T2平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 262021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院TFEPEPTTf2)(lim)()(的平均功率的平均功率S則可表示成則可表示成dTFEdPSTT2)(lim21)(21)(t平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度功率譜的統(tǒng)功率譜的統(tǒng)計(jì)平均計(jì)平

29、均統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 272021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院2/2/2/2/2/2/2()/2/2/2/2( )1( )( )1( )()( )TTTj tjTt tTTTtTTTTTjTTjTEttdtTFEEt edtt edtTTeddRe 2lim( )( )( )TjFPETTRed 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 282021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本

30、概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院u確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對度是一對 傅氏變換關(guān)系傅氏變換關(guān)系。 對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系，即對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系，即deRPj)()(dePRj)(21)()()(PR平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 292021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院)()(21)0(2tEd

31、PRR(0)表示隨機(jī)過程的平均功率表示隨機(jī)過程的平均功率0)(P)()(PP非負(fù)性非負(fù)性偶函數(shù)偶函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 302021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院例例 某隨機(jī)相位余弦波某隨機(jī)相位余弦波 ，其中，其中A和和 均為常數(shù)，均為常數(shù)，是在是在(0, )內(nèi)均勻分布的隨內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。機(jī)變量。 求求 的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度.)cos()(tAtcc2)(t平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度統(tǒng)計(jì)特性

32、和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 312021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院解：解： 先考察先考察(t)是否是否廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn) 的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為20( ) ( )cos(12)0ca tEtAtd的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為)()(cos2)()(),(1222121RttAttEttRc)(t)(t根據(jù)根據(jù))()(cosccc以及以及)()(PR是廣義平穩(wěn)。是廣義平穩(wěn)。)(t)()(2)(2ccAP則功率譜密度為則功率譜密度為2)()0(2AdPRS平均功

33、率為平均功率為平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 322021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程(t)的任意的任意n維（維（n=1, 2, ）分布都是正）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。 12121/2/212111(,; ,)(2 )1exp2nnnnnnnjjkkjkjkjkfx xxt ttBxaxaBB 22)()(kkkkkatE

34、tEa統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 332021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 1111,(,; ,)(, )()nnnnnfxx ttf x tf x t如果各隨機(jī)變量兩兩之間互不相關(guān)，則上式中，對所有如果各隨機(jī)變量兩兩之間互不相關(guān)，則上式中，對所有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 342021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代

35、通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院由式可以看出由式可以看出, 高斯過程的高斯過程的n維分布完全由維分布完全由n個隨機(jī)變量的數(shù)個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值、方差與時間無關(guān)，如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值、方差與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)，由性質(zhì)協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)，由性質(zhì)1知，它的知，它的n維分布與時間起點(diǎn)無關(guān)。所

36、以，廣義平穩(wěn)的高斯維分布與時間起點(diǎn)無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。過程也是狹義平穩(wěn)的。高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程。高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì) 統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 352021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院222)(exp21)(axxff(x)具有如下特性 (1) f(x)對稱于x=a這條直線。 (2)21)()(aadxxfdxxf1)(dxxf正

37、態(tài)分布的概率密度正態(tài)分布的概率密度f (x)12Oax一維高斯隨機(jī)過程一維高斯隨機(jī)過程 0, xfxx或或?qū)Σ煌膶Σ煌腶，表現(xiàn)為，表現(xiàn)為f(x)的左右平移，對不同的的左右平移，對不同的 ， f(x)圖形隨圖形隨 的減小而變高的減小而變高變窄變窄統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 362021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)xtdtexerf022)(dtexerfxerfcxt22)(1)(互補(bǔ)誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù))

38、()(, 1)(, 0)0(xerfxerferferf)(2)(, 0)(, 1)0(xerfcxerfcerfcerfc誤差函數(shù)誤差函數(shù)統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 372021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院2)(0nP這種噪聲被稱為這種噪聲被稱為白噪聲白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機(jī)過，它是一個理想的寬帶隨機(jī)過程。式中程。式中n n0 0為一常數(shù)，單位是瓦為一常數(shù)，單位是瓦/ /赫。顯然，白噪聲赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即的自相關(guān)函

39、數(shù)可借助于下式求得，即)(2)(0nR信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即這說明，白噪聲只有在這說明，白噪聲只有在=0=0時才相關(guān)，而它在任意兩時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。個時刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。高斯白噪聲高斯白噪聲統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 382021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院P

40、()0f0n02n02R白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲高斯白噪聲 2)(0nP 20nR 統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 392021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院 如果如果白噪聲白噪聲又是又是高斯分布高斯分布的，我們就稱之為高斯的，我們就稱之為高斯白噪聲。白噪聲。 高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

41、應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。我們就可以把它視為白噪聲。高斯白噪聲高斯白噪聲功率譜功率譜角度角度概率分概率分布角度布角度統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 402021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院隨機(jī)過程通過線性

42、系統(tǒng)只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)v vo o(t)(t)等于輸入信號等于輸入信號v vi i(t)(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)h(t)的卷積，即的卷積，即dthvthtvtvii)()()()()(0),()(),()(),()(00HthVtvVtvii若若則有則有)()()(0iVHV統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特

43、征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 412021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則dthvtvti)()()(0或或dtvhtvi)()()(00 如果把如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個樣本，看作是輸入隨機(jī)過程的一個樣本，則則vo(t)可看作是輸出隨機(jī)過程的一個樣本。顯然，輸可看作是輸出隨機(jī)過程的一個樣本。顯然，輸入過程入過程i(t)的每個樣本與輸出過程的每個樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之的相應(yīng)樣本之間都滿足上式的

44、關(guān)系。間都滿足上式的關(guān)系。 這樣，就整個過程而言，便有這樣，就整個過程而言，便有dthti)()()(00隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 422021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院 deRPjo0ioPHP2線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)輸入輸入 i(t)()(iiPR輸出輸出 o(t)()(ooPR2)()(HRh統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 432021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加

45、窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院假定輸入假定輸入i(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，是平穩(wěn)隨機(jī)過程， 則可以分析系統(tǒng)的輸則可以分析系統(tǒng)的輸出過程出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性。的統(tǒng)計(jì)特性。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)000000( )( )()( )( )()()( )( )()( )iiiiithtdEtEhtdEtEtahEtdahd 1. 輸出過程輸出過程o(t)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望000( )( )(0)( )( )(0)j tHh t edtHh t dtEta H 由此可見由此可見, 輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流

46、傳遞函數(shù)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與的乘積，且與t無關(guān)。無關(guān)。 統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 442021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院011010111001100( ,)( )()( )()( )()( ) ( )()()iiiiR t tEttEhtdhtdhhEttd d 可見可見, o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔而與時間而與時間起點(diǎn)起點(diǎn)t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期

47、望和自相關(guān)函數(shù)證明，數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。過程也是平穩(wěn)的。2. 輸出過程輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) )()()(11iiiRttE011000( ,)( ) ( )()( )iR t thhRd dR 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 452021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院3. 輸出過程輸出過程o(t)的功率譜密度的功率譜密度deddRhhdeR

48、Pjij 0000)()()()()(可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的乘積。的乘積。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng))()()()()()(20iiPHPHHPdeRdehdehPjwijj000)()()()(統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 462021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院( )( )jooPRed00() ( ) ( )jiRhhd ded 00() ( )

49、 ( )jiRhhed d d 00( )( )( )jjjiRehehed d d ()00()( )( )jjjiRehehed d d 統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 472021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院00( )( )( )jjjiRehehed d d 00( )( )( )jjjiRedhedhed*( )( )( )iPHH2( )( )iPH統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 482021-9-23隨機(jī)信

50、號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院例 帶限白噪聲帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為其它, 0,)(0HtjeKH可見，輸出噪聲的功率譜密度在可見，輸出噪聲的功率譜密度在|H內(nèi)是均勻的，內(nèi)是均勻的， 在此范圍外則為零，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪在此范圍外則為零，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。聲。HiHPHPKH),()()(,)(20202帶限白噪聲統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程

51、492021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院白噪聲通過理想低通濾波器u傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)u功率傳遞函數(shù)功率傳遞函數(shù)u輸出功率譜輸出功率譜 其其它它0|)(0mtjdeKH 其其它它0|)(202mKH )(| )(|)(2iOPHP 其其它它0|2020mnK 統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 502021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函

52、數(shù)fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2帶限白噪聲統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 512021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院帶限白噪聲其自相關(guān)函數(shù)為其自相關(guān)函數(shù)為2200002001( )( )22sinHHfjjffHHHnRPedKedfK n f 由此可見，帶限白噪聲只有在由此可見，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。即，如果對帶上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。即，如果對帶限白噪

53、聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。相關(guān)的隨機(jī)變量。HfnKR0200)0(帶限白噪聲的平均功率：帶限白噪聲的平均功率：統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 522021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院白噪聲通過理想帶通濾波器u傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)u功率傳遞函數(shù)功率傳遞函數(shù) 其其它它0|)(0hltjdeKH 其其它它0|)(202hlKH 統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程

54、532021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院u輸出功率譜輸出功率譜u輸出功率輸出功率其它0|2020hlnK)()(21020lhoffnKdPNO2020nK l0 h- h- l)(| )(|)(2iOPHP)(oP統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 542021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院從原理上看，在已知輸入過程分布的情況從原理上看，在已知輸入過程分布的

55、情況dthti)()()(00總可以確定輸出過程的分布?？偪梢源_定輸出過程的分布。其中一個十分有用的情形是：其中一個十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。因?yàn)閺姆e分原理來看，上式可表示為一個和式的極因?yàn)閺姆e分原理來看，上式可表示為一個和式的極限，即限，即kkkkihttk)()(lim)(0004. 輸出過程o(t)的概率分布帶限白噪聲統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 552021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代

56、通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院 由于由于i(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時刻已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時刻的每項(xiàng)的每項(xiàng) 都是一個高斯隨機(jī)變量。都是一個高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時刻得到的每一隨機(jī)變量，都因此，輸出過程在任一時刻得到的每一隨機(jī)變量，都是無限多個高斯隨機(jī)變量之和。是無限多個高斯隨機(jī)變量之和。 由概率論得知，這個由概率論得知，這個“和和”的隨機(jī)變量也是高斯的隨機(jī)變量也是高斯隨機(jī)變量。這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸隨機(jī)變量。這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程仍為高斯過程。出過程仍為高斯過程。 更一般地說，更一般地說，高斯過程經(jīng)線

57、性變換后的過程仍為高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。高斯過程。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。 kkkiht)()(帶限白噪聲統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 562021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院)(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats窄帶隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過以隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即

58、為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶隨機(jī)過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度是窄帶隨機(jī)過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度ffc，且，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程?？杀硎緸椋河质请S機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程?？杀硎緸椋?)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()(統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程

59、572021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院窄帶過程的頻譜和波形示意 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )緩慢變化的包絡(luò)a(t)頻率近似為 fc(b)窄帶隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 582021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院 a(t)及(t)分別是(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位，c(t)及s(t)分別稱為(t)的同相分量和正交分量，它們也

60、是隨機(jī)過程，顯然它們的變化相對于載波cosct的變化要緩慢得多。 (t)的統(tǒng)計(jì)特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的統(tǒng)計(jì)特性。 窄帶隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)字特征高斯隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 窄帶隨機(jī)過程 592021-9-23隨機(jī)信號分析平穩(wěn)隨機(jī)過程小 結(jié) 基本概念正弦波加窄帶高斯噪聲 現(xiàn)代通信原理現(xiàn)代通信原理電子科學(xué)與技電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院術(shù)學(xué)院1 同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性 設(shè)窄帶過程設(shè)窄帶過程(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且且 均值為零，方差為均值為