直線與橢圓解答題

1、解析幾何解答方法2 21.橢圓篤 爲(wèi)1(a b 0)上的點到其兩焦點距離之和為4，且過點(0,1).a b(I)求橢圓方程;(n) o為坐標(biāo)原點，斜率為 k的直線過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點A(xi, yi), B(X2, y2)，假設(shè)晉0，求AOB的面積.依題意有a 2，1.故橢圓方程為y2 1 .(n)因為直線AB過右焦點(.3,0)，設(shè)直線AB的方程為y k(x .3).2X 2聯(lián)立方程組7 yy k(x1,yy消去y并整理得(4k2故 x1 x28 3k4k21)x2 8、3k2x 12k2 4 0.(*),X!X212k244k2 1k(x, x3) k(X2 x3)k24k2 1

2、8X1X2 y1 y2X1X2又 r-F 0，即卩 丁 y“2 0.又a b4所以 3kn0，可得 k2 -，即 k . 104k21 4k2122方程(* )可化為3x2 4.3x 20，由 AB|(1 k2 |x1 X2 ，可得 AB 2 . 11原點0到直線AB的距離d1213分所以 S AOB 1 AB d 1 .22.橢圓b21(a b 0)的離心率為1 ,過橢圓G右焦點F的直線2m:x 1與橢圓G交于點M (點M在第一象限)(I)求橢圓G的方程;(U)A為橢圓G的左頂點，平行于AM的直線丨與橢圓相交于B,C兩點.判斷直線MB,MC是否關(guān)于直線m對稱，并說明理由.解：(I)由題意得c

3、 11分由c 1可得a2a 2-2分所以b2 a2 c2 3-3分22所以橢圓的方程為X143-4分( n)由題意可得點A(32,。),叫)-6分所以由題意可設(shè)直線l:y -xn,n 12-7分設(shè) B(x1, yJ,C(X2, y2),2 2x-y- 1,由 43得 x- nx n2 3 0.1y x n2由題意可得n24(n23)123n20,即n ( 2,2)且 n 1 8分x1x2n, x.|x2n23.-9分33y1y2因為kMBkMC221X21-10分1(n 1)(n22) 0n n213分所以直線MB,MC關(guān)于直線m 對稱14分2 23.如圖，橢圓冷每1(a b 0)的左焦點為F

4、，過點F的直線交橢圓于A , B兩a b點.當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為 60 .(I)求該橢圓的離心率;(U)設(shè)線段 AB的中點為G， AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點.記 GFD的面積為色， OED( O為原點)的面積為S2I )解：依題意，當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的頂點(0,b)60的取值范圍.傾斜角廬F( c,0)，bc.2 分tan 60b 、3c代入2.2 2a b c ，3分所以橢圓的離心率為ec 14分a 2(U ) 解：由(I ), 橢圓的方程可設(shè)為2x22-y2 1 .5分4c3c設(shè) A(x1, y1),B(x2, y2).依題意，直線AB不能與x, y

5、軸垂直，故設(shè)直線AB的方程為y k(x c)將其代入2 2 23x 4y 12c2 2 2 2 2 2(4k3)x 8ck x 4k c 12c那么 XiX28ck24k23，yiy2 k(xiX2 2c)6ck4k2 3，2G( 4ck 3ck )4k2 3 4k23因為GD AB,3ck4k2 34ck22Xd4k2 3ck24k23因為 GFD OED ,51 |GD|252 |0D|2(4ck2ck2 )2 ( 3ck )2(4k2 3 4k2 3)(4k2 3)(ck2 )2(4k2 3)(3ck2)2(3ck)211分13分(9,).2y的直線的距離是心.54.橢圓2 2(ck )

6、S2求橢圓C的方程;(II)如果直線y kxa 2b.9c2k4 9c2k2c2k40 )的離心率e都在以B為圓心的圓上，求(I)因為原點到直線14分T，原點到過點交橢圓C于不同的兩點k的值.c 3a 2，且E，AB : : : 1 的距離 dab24.55yMkBM故所求橢圓C的方程22xy 1.-5164(n)由題意ykx 1,x2y2消去y14，整理得162 2(1 4k2)x2 8kx 120 .7可知 0.設(shè) Eg) , FXm) , EF 的中點是 M(Xmm),kxM 1yM 2Xm12 4kX2 Xm2X34k1 4 k210kyM 2k4k1 4k2k1 4k22k1113分

7、x2上的兩個點，點 A的坐標(biāo)為1,1，直線AB的斜率又因為k 所以k2丄.所以85.A,B是拋物線 W: y為k， O為坐標(biāo)原點(I)假設(shè)拋物線 W的焦點在直線AB的下方，求k的取值范圍;AC，過B,C兩點分別作 W勺切線，記兩切(U)設(shè)C為W上一點，且AB 線的交點為D，求0D|的最小值(1I)解：拋(0,)4由題意，得y 1k(x1)，令x 0 ，得y 1 k(0,1k).3分物線2y x的焦八、占八、為-1分直線AB的方程為2分即直線AB與y軸相交于占八、因為拋物線W的焦點在直線AB的下方，所以1 k -，4解得k 3. 5 分4(n)解：由題意，設(shè) B(X!,x2)，C(X2,x；)， D(Xs,ys)，聯(lián)立方程1 2 k(x 1),消去y，得x2 kx k 1 0，y x ,由 韋 達 定 理， 得 lk ， 所 以x, k 1. 7 分1同 理， 得 AC 的 方 程 為 y 1 (x 1)，k1x2一 1. 8 分k對函數(shù)y x2求導(dǎo)，得y 2x，所以拋物線y x2在點B處的切線斜率為2X1，22x1x x1 .1(尹上.立.2,55同理，拋物線yX2在點線CD聯(lián)立兩條切線的方程y2x1x2 X ,y2x2x2X2,解得X3Xl X222(ki k2),y