三次函數(shù)的所有題型

1、三次函數(shù)的基本題型由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)其導函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1) 若，則恰有一個實根；(2) 若,且，則恰有一個實根；(3) 若,且，則有兩個不相等的實根；(4) 若,且，則有三個不相等的實根.說明:(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）;(3)有兩個相異實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且;(4)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即

2、有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且. 【例題1】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)在（-，+）為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。【變式6】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！纠}2】：設(shè)函數(shù)，求的極值。【例題3】：設(shè)函數(shù)，求在0,4的最值?！咀兪?】：【2005高考北京文第19題改編】 已知函數(shù)f(x)=x33x29xa, 若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值【變式2】：【2012高考北京文第19題改編】已

3、知函數(shù)，。當時，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍?！纠}4】：設(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求c的取值范圍。【變式】：設(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求c的取值范圍?！纠}5】：【2014高考北京文第20題改編】已知函數(shù).若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；【變式】(1)已知函數(shù).若過點存在2條直線與相切，求t的取值范圍；(2)已知函數(shù).若過點存在1條直線與相切，求t的取值范圍 (3）問過點A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線yf(x)相切？【變式】：已知函數(shù)f(x)=在處有極值. （）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,3上有且僅

4、有一個零點，求b的取值范圍。【例題6】：設(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；【變式】已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍【例題7】已知函數(shù)當時，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍【例題8】，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；【例題9】已知函數(shù)，其中求在區(qū)間上的最小值答案：【例題1】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：的定義域為R，,此時為的單調(diào)遞增區(qū)間；，此時為的單調(diào)遞減區(qū)間。【變式1】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：的定義域為R，,此時為的單調(diào)遞增區(qū)間；，此時為的單調(diào)遞減區(qū)間。【老吳幫你解后反思】：變式1與例題的區(qū)別在于把三次函數(shù)的常數(shù)項換成參數(shù)m，但是不影響函數(shù)的單調(diào)性。

5、【變式2】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：依題意可得 當即時,恒成立,故,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增; 當即時, 有兩個相異實根，且，故，此時為的單調(diào)遞增區(qū)間；，此時為的單調(diào)遞減區(qū)間。綜上可知，當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增; 當時,單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減。【老吳幫你解后反思】：函數(shù)求導后為常數(shù)項未知的二次函數(shù)，不能確定二次函數(shù)與圖像的交點個數(shù)，即二次方程的跟，所以要討論的正負。【變式3】：設(shè)函數(shù)在（-，+）為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍。解析：依題意可得 ，所以?！纠蠀菐湍憬夂蠓此肌浚?、單調(diào)函數(shù)為在定義域范圍內(nèi)為增函數(shù)或減函數(shù);2函數(shù)求導后為含參數(shù)的二次函數(shù)， 二次函數(shù)圖像開口向上，所以只能滿足（-，+）上

6、，所以要 ?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：依題意可得 ， 令，（1) m1,即為單調(diào)遞增，為單調(diào)遞減； （2）m=1,即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增; （3）m1,即為單調(diào)遞增，為單調(diào)遞減；【老吳幫你解后反思】：由于m的不確定性，不能確定兩根的大小，所以要進行分類討論，很多同學不知道分類討論的分界點是什么，遇到這種能夠直接可以因式分解的，討論的分界點即為兩根相等時求出的參數(shù)值，所以此題分類討論的分界點為m=1,m1,m000單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增附圖：【例題3】：設(shè)函數(shù)，求在0,4的最值。解析：定義域為，依據(jù)題意可知，令，（舍）0340單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增通過表格可以發(fā)

7、現(xiàn)，最大值為，最小值【老吳幫你解后反思】：本題主要注意求出 導數(shù)值為零點時，不在給定范圍。附圖：【變式1】：【2005高考北京文第19題改編】 已知函數(shù)f(x)=x33x29xa, 若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值解析： 依據(jù)題意，（舍）-2-1 20 單調(diào)遞減單調(diào)遞增由表可知f(x)的最大值為=20，所以=-2.f(x)的最小值為=-7.附圖：【變式2】：【2012高考北京文第19題改編】已知函數(shù)，。當時，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍。解析： 依據(jù)題意，-3-12000單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知，要使最大值為，必須使?！纠蠀?/p>

8、幫你解后反思】： 在解決函數(shù)問題時，一定要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值大致繪出函數(shù)圖像（如下圖),通過圖像一目了然就可以觀察出。【例題4】：設(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求c的取值范圍。解析：定義域為，依據(jù)題意可知，令，（舍）0340單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為，最小值在0,4的滿足恒成立，必須使c1.【變式】：設(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求c的取值范圍。解析：定義域為，依據(jù)題意可知，令，（舍）0340單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為，最小值在0,4的滿足恒成立，必須使c.【老吳幫你解后反思】： 此類題目為恒成立問題，可以總結(jié)為恒成立，滿足；恒成立，滿足。【例

9、題5】：【2014高考北京文第20題改編】已知函數(shù).若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；方法一：方法二：，設(shè)，則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“圖像有三個交點”。g(x)12x212x12x(x1)當x變化時，g(x)與g(x)的變化情況如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)單調(diào)遞增3單調(diào)遞減1單調(diào)遞增所以，g(0)3是g(x)的極大值，g(1)1是g(x)的極小值結(jié)合圖像知，當y=g(x)與有3個不同交點時，有1t3,即3t-1或t-3 (3)過點A(1，2)存在3條直線與曲線yf(x)相切；過點B(2，10)存在2條直線與曲線yf(x)相切；過點C(0，

10、2)存在1條直線與曲線yf(x)相切【老吳幫你解后反思】： 解法一是高考標準答案，解法二，運用分離參數(shù)法思想，分解成兩個函數(shù)，一個是三次函數(shù)且不含參數(shù)，一個是常見的常函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像（如圖)即可求解?！咀兪健浚阂阎瘮?shù)f(x)=在x=-2處有極值. （）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,3上有且僅有一個零點，求b的取值范圍。解: （） 由題意知: ,得a=-1，令，得x0, 令，得-2x0, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-，-2）和（0，+），單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，0）。（）解法一：由（）知，f(x)= ，f(-2)=為函數(shù)f(x)極大值，f(0)=b為極小值。函數(shù)f(x

11、)在區(qū)間-3,3上有且僅有一個零點，或或或或 ，即 ，即b的取值范圍是。 解法二：由（）知，f(x)= ，令=0，（以下略解）求出在-3,3的最值與單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)圖像即可求解。附圖：【例題6】：設(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；【解析】 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，【變式】已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍解析由于，的變化情況如下表：+00+單調(diào)增極大值單調(diào)減極小值單調(diào)增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和. 【例題7】已知函數(shù)當時，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍解析：因為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，所以函數(shù)在上存在零點而的兩根為，區(qū)間長為，在區(qū)間上不可能有2個零點所以，即， 又，【例題8】，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；解析：在上存在單調(diào)遞增區(qū)間【例題9】已知函數(shù)，其中求在區(qū)間上的最