[其它]線性代數(shù)簡明教程方小娟科學出版社第三章習題答案

1、第三章第三章向量空間習題答案向量空間習題答案 1.設設 ,)3 , 1 , 2(,)3 , 1 , 2(,) 1 , 1, 1 (321tttvvv,21vv .23321vvv求求 及及解：解：tvv) 1, 2, 1 (21tvvv)2 , 4, 5(233212.設設 )(5)(2)(33215522333216235523321)523(61321t)4 , 3 , 2 , 1 (3.判別下列向量組的線性相關性：判別下列向量組的線性相關性： （方法一）定義法（方法一）定義法 令：令：,332211xxx321,xxx代入討論代入討論解的情況解的情況（方法二）求秩法（方法二）求秩法 ),

2、(321行的階梯形行的階梯形 行變換求求 是否等于是否等于3),(321r（方法三）行列式法（方法三）行列式法 321,求求 是否等于是否等于04.同書上例題，令同書上例題，令,332211bxbxbx,321bbb代入代入利用利用 線性無關，線性無關，,321,321xxx討論討論 是否全為是否全為05.利用定義能相互表出即等價利用定義能相互表出即等價111111111),(),(321321111111111t04 t令令所以所以t是可逆的是可逆的),(),(3211321t所以兩組之間相互表出即等價所以兩組之間相互表出即等價6.000030100201),(432124133,2,21所

3、以所以 是向量組的一個極大無關組是向量組的一個極大無關組其余向量表示為其余向量表示為7.（方法一）（方法一）n21,n21,n21,n21,n21,n21,n21,(已知已知)（定理）（定理）能由能由 線性表出線性表出 線性無關線性無關與與 等價等價nrrnn),(),(2121能由能由 線性表出線性表出（方法二）（方法二）能由能由 線性表出線性表出n21,n21,nrrnnn),(),(2121nrn),(21（無關）（無關）8.（方法一）（方法一）4122141bbaba(已知已知)4315bcdbac再令再令433211xxx4),(5431r)(2133211baxxx3223131)

4、(xbxaxx因為因為 線性無關線性無關321,0002331xbxaxx000321xxx421, 線性無關線性無關3),(5431r（方法二）（方法二）一定可由一定可由 線性表出線性表出321,5431,) 1 (,)2(412a321,也可由也可由 線性表出線性表出5431,321,與與 等價等價5431,3),(),(3215431rr（方法三）（方法三）dcba01000100001),(54321dcba01000001),(5431dcba10000001dcba,由于由于 均不為均不為03),(5431r（*方法四）令方法四）令54433211xxxx342243131)()(

5、)(dxxcxbxaxx000424331dxxcxbxaxx323431xcbdxxcbxaxx9.解：解：)(),(min)(1)(1)()(brarabrabrbrar1)(1abr1)(abr（方法一）（方法一）（方法二）（方法二）nnab2121nnnnnnnn) 1(2) 1(221120000011nn1)(abr所以所以a的一個最高階非零子式為的一個最高階非零子式為26411111210.解：解：00000310000133041211a行3)(ar21311.解：解：4220752084403021tta0000752021103021tt0000330021103021tt

6、2)(ar03t3t12.解：解：),(4321a0000000023103511),(43212)(ar4321,21,由于由于 是是 的一個極大無關組的一個極大無關組 21,4321,所以所以 是是 的一個極大無關組的一個極大無關組 行13.解：令解：令1131323212),() 1 (4321baa2123231131ab1311332221),()2(1243baaaaba111023410221250032410221ababa2)(ar0205ab25ab14.證明：證明：aa 2) 1 (oeaa)(nearar)()()()()2(aerear)()()()(aerarear

7、arnaear)(nearar)()(15.解：解：),(),(321321tbat bat1110212011)()(2()()() 1 (1111baeeabaaeeaa特別提示復習題三復習題三1.解：解：111111111111kkkka2111011001010111kkkkkkkk2210011001010111kkkkkkkk22300011001010111kkkkkkk3)(ar032012kkk31kk1k或3k2.證明：證明： 充分性充分性)(假設假設 線性相關線性相關則存在一組不全為零的數(shù)則存在一組不全為零的數(shù)使得使得,:21rb,21rrr2211rsrrk212121

8、21,),(（方法一參照書定理（方法一參照書定理7證明）證明）設設rk21,21s線性無關線性無關rr2121,s,21不全為不全為0s,21線性相關線性相關這與這與 矛盾。矛盾。rrkrr21,)(所以假設錯誤所以假設錯誤 。r,21所以所以 線性無關。線性無關。（方法二）（方法二）bxakxkxxsar)(rkr)(akb 令令組線性無關。組線性無關。b必要性必要性)(因為因為b組線性無關組線性無關rbr)(因為因為a組線性無關組線性無關sar)(akb )(),(min)(krarbrrbrkrsarbrr)()()()(（1）（2）又因為又因為k為為 矩陣。矩陣。rsrskr,min)

9、(（3）由（由（1）（）（2）（）（3）知：）知：rkr)(（方法一）（方法一）（方法二）（方法二）b組無關組無關只有零解只有零解bxakx只有零解只有零解又因為又因為a組無關組無關kxrkr)(3.證明：證明：（方法一）（方法一）因為因為a組線性無關，組線性無關，b組線性相關，所以設：組線性相關，所以設：3322114kkk令令)(54433221154343324221411)()()(kkk因為因為c組線性無關組線性無關,所以：所以：00004433422411kkk04321所以所以 線性無關。線性無關。54321,假設假設 線性相關，線性相關，（方法二）（方法二）3322115433

10、22114kkk3332221115)()()(kkk5321,線性相關，線性相關，這與已知這與已知 線性無關相矛盾，線性無關相矛盾，5321,54321,所以所以 線性無關。線性無關。（方法三）（方法三）),(54321),(5332211321kkk),(5321),(53215321,:c54321,線性無關，線性無關，也線性無關。也線性無關。列4. （1）證明：）證明：321321,各自線性無關即可。各自線性無關即可。（2）t321321,bat1110111011212121212121212121021112111210（3）321321321,121,xxx321321321,121,xxxt121321txxx1210211121112102108. 證明證明