集合與簡易邏輯復習與小結

1、實用標準文案集合與簡易邏輯復習與小結一、基礎知識總結基礎知識框圖表解二、重點知識歸納、總結1、集合部分解決集合問題時，首先要明確集合元素的意義，弄清集合由哪些元素組成，需要對集合的文字語言、符號語言、圖形語言進行相互轉化其次，由于集合知識概念多、符號多，所以要注意集合的特性，空集的特殊性，符號的表示的特殊性三是注意知識間的內(nèi)在聯(lián)系，注意集合思想與函數(shù)思想的聯(lián)系，集合與不等式、解析幾何、三角函數(shù)等知識的聯(lián)系（ 1）集合中元素的三大特征（ 2）集合的分類文檔實用標準文案（ 3）集合的三種表示方法（ 4）集合的運算 n 元集合共有 2n 個子集，其中有 2n 1 個真子集， 2n 1 個非空子集；A

2、 B=x|x A 且 x BA B=x|x A 或 x B A=x|x S 且 x A ，其中 A S.2、不等式的解法（ 1）含有絕對值的不等式的解法|x|0) axa(a0)xa，或 x a.|f(x)|g(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或 f(x) g(x).|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2f(x) g(x) f(x) g(x)0.對于含有兩個或兩個以上的絕對值符號的絕對值不等式，利用“零點分段討論法”去絕對值 . 如解不等式： |x 3| |2x 1|0（a0），或 ax2 bx c 0（ a0）的形式，再根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”得解集（若判別式 0，則

3、利用配方法求解較方便）詳細解集見下表：判別式 0 =0 0）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根ax2 bxc=0沒有實根x,x(x10）的根122ax2bxc0x|x0）的解集或 xx2ax2 bxc0）的解集xx（3）分式不等式的解法分類討論去分母法：轉整式不等式法：運用時，必須使不等式一邊為0，轉化為 0 形式，則：（4）高次不等式的解法3、簡易邏輯知識文檔實用標準文案邏輯聯(lián)結詞 “或”、“且”、“非”是判斷簡單合題與復合命題的依據(jù)；真值表是由簡單命題和真假判斷復合命題真假的依據(jù)，理解好四種命題的關系，對判斷命題的真假有很大幫助；掌握好反證法證明問題的步驟（1）命題簡單命題：不含邏

4、輯聯(lián)結詞的命題復合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題（2）復合命題的真值表非 p 形式復合命題的真假可以用下表表示.p非 p真假假真p 且 q 形式復合命題的真假可以用下表表示 .pqp 且 q真真真真假假假真假假假假p 或 q 形式復合命題的真假可以用下表表示 .pqp 或 q真真真真假真假真真假假假（3）四種命題及其相互之間的關系文檔實用標準文案一個命題與它的逆否命題是等價的（4）充分、必要條件的判定若 pq 且 qp，則 p 是 q 的充分不必要條件；若 pq 且 qp，則 p 是 q 的必要不充分條件；若 pq 且 qp，則 p 是 q 的充要條件；若 pq 且 qp，則 p 是

5、q 的既不充分也不必要條件.（5）反證法反證法是“命題與其逆否命題等價”這一理論的具體體現(xiàn)，用反證法證明命題的一般步驟是：假設命題的結論不成立.經(jīng)過推理論證，得出矛盾.由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.4、運用知識、運用方法過程中應注意的主要問題（ 1）正確理解集合的概念必須掌握構成集合的兩個必要條件：研究對象是具體的，其屬性是確定的（ 2）在判斷給定對象能否構成集合時，特別要注意它的“確定性”，在表示一個集合時，要特別注意它的“互異性”、“無序性”（ 3）在集合運算中必須注意組成集合的元素應具備的性質(zhì)（ 4）對由條件給出的集合要明白它所表示的意義， 即元素指什么， 是什么范圍 用

6、集合表示不等式（組）的解集時，要注意分辨是交集還是并集，結合數(shù)軸或文氏圖的直文檔實用標準文案觀性幫助思維判斷 空集是任何集合的子集，但因為不好用文氏圖形表示，容易被忽視，如在關系式中，易漏掉的情況（ 5）若集合中的元素是用坐標形式表示的，要注意滿足條件的點構成的圖形是什么，用數(shù)形結合法解之（ 6）若集合中含有參數(shù)，須對參數(shù)進行分類討論，討論時既不重復又不遺漏（ 7）解不等式的基本思想是化歸、轉化，解含有參數(shù)的不等式常需要分類討論，同解變形是解不等式的理論依據(jù)（ 8）學習四種命題，關鍵是理解命題結構及邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義，掌握四種命題間的關系是學習充要條件的基礎（ 9）基本的邏

7、輯知識是認識問題和研究問題不可缺少的工具，是我們進行學習、掌握和使用語言的基礎，數(shù)學又是邏輯性很強的學科，因此，學習一些邏輯知識是非常必要的，通過學習和訓練可以規(guī)范和提高推理的技能，發(fā)展思維能力重點是正確使用邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”，是否使用得當?shù)囊罁?jù)是真值表，利用真值表再結合四種命題的充要條件可判定復合命題的真假性 注意區(qū)別一些易錯的邏輯關系， 如“都是”、“都不是”、“不都是”5、在學習和運用集合知識的過程中，須注意的幾個問題目前在中學數(shù)學教學中，集合知識主要有兩方面的應用（ 1）把集合作為一種數(shù)學語言，以表達一定范圍或具有某些特性的元素例如，方程（或方程組）的解集，不等式（或不等

8、式組）的解集，具有某種性質(zhì)或滿足某些條件的數(shù)集、點集、向量集（以后會學）等，因集合元素的任意性，使得集合語言有著廣泛的應用性（ 2）使用集合間的運算法則或運算思想，解決某些邏輯關系較復雜的問題例如，運用集合法判斷真假復合命題和充要條件，運用集合的交集思想、并集思想、補集思想解題等三、學法指導（一）要注意理解、正確運用集合概念例 1、若 P=y|y=x 2,x R，Q=y|y=x 2 1,x R，則 P Q等于（）APBQCD不知道分析：類似上題知 P 集合是 y=x 2（ xR）的值域集合，同樣 Q集合是 y= x 2 1（ x R）的值域集合，這樣 P Q意義就明確了文檔實用標準文案解：事實

9、上， P、 Q中的代表元素都是y ，它們分別表示函數(shù)y=x 2 ,y=x 2 1 的值域，由 P=y|y 0,Q=y|y 1 ，知 QP，即 P Q=Q應選 B例 2、若 P=y|y=x 2,x R，Q=(x ， y)|y=x 2 ,x R，則必有（）APQ=BPQCP=QDPQ分析：有的同學一接觸此題馬上得到結論P=Q，這是由于他們僅僅看到兩集合中的y=x 2,xR 相同，而沒有注意到構成兩個集合的元素是不同的，P 集合是函數(shù)值域集合，Q集合是 y=x 2,x R 上的點的集合，代表元素根本不是同一類事物解：正確解法應為：P 表示函數(shù) y=x 2 的值域， Q表示拋物線y=x 2 上的點組成

10、的點集，因此P Q=應選 A（二）要充分注意集合元素的互異性集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學實踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學生在解題中忽略，從而導致解題的失敗，下面再結合例題進一步講解以期強化對集合元素互異性的認識例 3、若 A=2 ，4,a 3 2a2 a7,B=1,a 1,a 22a 2, (a 2 3a 8),a 3 a2 3a7 ，且 A B=2， 5 ，試求實數(shù)a 的值解： A B=2，5 ， a3 2a2 a7=5,文檔實用標準文案由此求得 a=2 或 a=1至此不少學生認為大功告成，事實上，這只是保證A=2,4,5，集合 B 中的元素是什么，它是否滿足元素的互異性

11、，有待于進一步考查當 a=1 時， a2 2a2=1，與元素的互異性相違背，故應舍去a=1當 a= 1 時， B=1,0,5,2,4，與 A B=2 ，5 相矛盾，故又舍去a= 1當 a=2 時， A=2， 4，5,B=1,3,2,5,25，此時 AB=2， 5 ，滿足題設故 a=2 為所求例 4、已知集合 A=x|x 2 3x 2=0,B=x|x2ax a1=0 ，且 AB=A，則 a 的值為_分析：由 A B=A而推出 B 有四種可能，進而求出a 的值解： A B=A， A=1 ， 2 ， B= 或 B=1 或 B=2 或 B=1， 2 若 B= ，則令 0 得 a R且 a 2，把 x=

12、1 代入方程得 aR，把 x=2 代入方程得 a=3，綜上 a 的值為 2 或 3點評：本題不能直接寫出 B=1 ，a 1 ，因為 a 1 可能等于 1，與集合元素的互異性矛盾，另外還要考慮到集合 B 有可能是空集，還有可能是單元素集的情況文檔實用標準文案（三）要注意掌握好證明、判斷兩集合關系的方法集合與集合之間的關系問題， 是我們解答數(shù)學問題過程中經(jīng)常遇到，并且必須解決的問題，因此應予以重視反映集合與集合關系的一系列概念，都是用元素與集合的關系來定義的因此，在證明（判斷）兩集合的關系時，應回到元素與集合的關系中去例 5、設集合 A=a|a=n 2 1,n N* ，集合 B=b|b=k 2 4

13、k5,k N* ，試證： AB證明： 任設 aA，則 a=n2 1=(n 2) 2 4(n 2) 5(n N* ), n N* ， n 2N* a B故顯然，而由B=b|b=k 2 4k 5,k N*=b|b=(k2) 21, k N* 知 1B，于是 AB由、得 AB點評： （ 1）判定集合間的關系，其基本方法是歸結為判定元素與集合之間關系（ 2）判定兩集合相等，主要是根據(jù)集合相等的定義（ 3）兩個集合 A、B 相等，之所以不以“ A、B 所含元素完全相同”來定義，而是用子集來定義，顯然比較科學，它具有可操作性，用起來很方便（四）要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一個特殊的重要集合，它不含任

14、何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集顯然，空集與任何集合的交集為空集，與任何集合的并集仍等于這個集文檔實用標準文案合當題設中隱含有空集參與的集合關系時，其特殊性很容易被忽視的，從而引發(fā)解題失誤例 6、已知集合 A=x|x 2 (m 2)x 1=0,x R，若 AR =，則實數(shù) m的取值范圍是_分析：從方程觀點看，集合 A 是關于 x 的實系數(shù)一元二次方程x2 (m 2)x 1=0 的解集，而 x=0 不是方程的解，所以由 AR = 可知該方程只有兩個負根或無實數(shù)根，從而分別由判別式轉化為關于 m的不等式，并解出 m的范圍解：由 A R =又方程 x2 (m 2)x 1=0 無零根，

15、所以該方程只有兩個負根或無實數(shù)根，即或 =(m2) 2 40解得 m 0 或 4m 4點評： 此題容易發(fā)生的錯誤是由A R =只片面地推出方程只有兩個負根（因為兩根之積為 1，因為方程無零根），而把A=漏掉，因此要全面準確理解和識別集合語言例 7、已知集合 A=x|x 2 3x 10 0 ，集合 B=x|p 1x 2p 1 若 BA，求實數(shù)p 的取值范圍解：由 x 23x 100 得 2 x5欲使 BA，只須 p 的取值范圍是 3 p 3上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”這一結論，即B=時，符合題設應有：當 B時，即 p1 2p 1p2文檔實用標準文案由 B A 得： 2p1 且 2p1

16、5由 3p3 2 p 3當 B=時，即 p 12p1p 2由、得： p 3點評： 從以上解答應看到：解決有關 A B= 、A B= ，A B 等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題（五）要注意集合語言與其它數(shù)學語言互譯的準確性事實上，各種數(shù)學語言形態(tài)間的互譯，可為我們在更廣闊的思維領域里尋找問題的解決途徑，因而這種互譯是我們在解題過程中常常必須做的事情對于用集合語言敘述的問題，求解時往往需要轉譯成一般的代數(shù)語言或幾何語言例 8、已知集合有唯一元素，用列舉法表示a 的值構成的集合A解：集合 B 表示方程即方程 x2 xa 2=0有等根時 a 的取值集合方

17、程有等根的條件是=( 1) 2 4( a2)=0,解得 a=因此 A= 以上解法對嗎？不難看出，將A 譯為方程有等根時a 的取值集合是不準確的文檔實用標準文案轉譯時忽視了 x2 2 0，即這一隱含條件可見，與方程等價的應是混合組：（）因此，在討論方程有唯一實根時，須照顧到：由于方程為分式方程，可能有增根，當條件的二實根中有一個是方程的增根或時，方程也只有一個實根，正確解法是：方程等價于混合組（）（1）當有等根時，同上解得 a=，此時，適合；（2）當有兩個不等的實根時，由0 可得 a當為的增根時，由得；當為的增根時，由得 由（ 1）、（ 2）得點評：（ 1）集合語言轉譯成其它語言，轉譯的準確與否

18、直接關系到解題的成功與失敗（ 2）集合語言與其它語言轉譯過程中，根據(jù)問題的需要也可能轉譯成圖形語言，利用數(shù)形結合解題根據(jù)解題需要，有時也可能將其它語言轉譯為集合語言文檔實用標準文案（六）要注意數(shù)形結合解集合問題集合問題大都比較抽象， 解題時要盡可能借助文氏圖、數(shù)軸或直角坐標系等工具將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，然后利用數(shù)形結合的思想方法使問題靈活直觀地獲解例 9、設 A=x| 2x1 ，B=x|x 2 axb0 ，已知 AB=x|x 2 ，AB=x|1x 3 ，試求 a、 b 的值分析：可在數(shù)軸上畫出圖形，利用圖形分析解答解：如圖所示，設想集合B 所表示的范圍在數(shù)軸上移動，顯然當且僅當B

19、覆蓋住集合 x| 1x 2 ，且 A B=x|1x 3 根據(jù)二次不等式與二次方程的關系，可知 1 與 3 是方程 x2 axb=0 的兩根， a= ( 1 3)= 2， b=( 1) 3=3點評：類似本題多個集合問題，借助于數(shù)軸上的區(qū)間圖形表示進行處理，采用數(shù)形結合的方法，會得到直觀、明了的解題效果例 10、若關于 x 的不等式 |x 2| |1 x|a 有解，求實數(shù)a 的取值范圍 .分析： 可利用補集思想解題，先求不等式|x 2| |1-x|a無解的 a 的取值范圍 .即對任意實數(shù)x，總有 |x 1| |x 2| a. a |x 2| |1-x|的最小值 .由知： 3 |x 2| |1-x|

20、 3.文檔實用標準文案 |x 2| |1 x|a 無解時， a 3.故 |x 2| |1 x| 3.（七）要注意交集思想、并集思想、補集思想的運用對于一些比較復雜、比較抽象，條件和結論之間關系不明朗，難于從正面入手的數(shù)學問題，在解題時，可調(diào)整思路，從問題的反面入手，探求已知與未知的關系，這樣能起到反難為易，化隱為顯，從而將問題得以解決，這就是“正難則反”的解題策略，是補集思想的具體應用有的問題，根據(jù)問題具體情況，也可采用交集思想、并集思想去處理例 11、已知集合 A=x|x 24mx 2m 6=0,x R，若 AR ，求實數(shù) m的取值范圍分析：集合 A 是方程 x24mx 2m 6=0的實數(shù)解

21、組成的非空集合，AR 意味著方程的根有：（ 1）兩負根，（ 2）一負根一零根，（ 3）一負根一正根三種情況，分別求解較麻煩，上述三種情況雖可概括為方程的較小根,但在目前的知識范圍內(nèi)求解存在困難，如果考慮題設A R的反面：AR=，則可先求方程的兩根x1、 x2 均非負時 m的取值范圍用補集思想求解尤為簡便解：設全集 U=m|=( 4m)2 4(2m6) 0文檔實用標準文案=m|m 1 或 m 若方程 x2 4mx 2m 6=0 的二根為 x1、 x2 均非負，則因此， m|m 關于 U補集 m|m 1 即為所求點評： 采用“正難則反”的解題策略具體地說，就是將所研究對象的全體視為全集，求出使問題反面成立的集合A，即便為所求例 12、命題甲：方程x2 mx1=0 有兩個相異負根；命題乙：方程4x2 4(m 2)x 1=0無實根，這兩個命題有且只有一個成立，求m的取值范圍分析：使命題甲成立的m的集合為 A，使命題乙成立的m的集合為 B，有且只有一個命題成立是求A與 B 的并集解：使命題甲成立的條件是： 集合 A=m|m2使命題乙成立的