數(shù)列通項(xiàng)公式的求法之不動(dòng)點(diǎn)法

1、思考題：求下列遞推式的通項(xiàng)公式 ,其中11111322nnnnaaaa、11123115nnaa、1154221nnnaaa、1172423nnnaaa、na13a11111113225421nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa解：中，把看作已知數(shù)，把 當(dāng)作未知數(shù)將 從上式中解出 得 恰好與第2題的遞推公式相同。11111322nnnnaaaa、1154221nnnaaa、1111112-1-157223nnnnnnnnaaaaaaaa同理，在中，把看作已知數(shù)，把 當(dāng)作未知數(shù)將 從上式中解出 得 恰好與第4題的遞推公式相同11123115nnaa、1172423nnnaaa、 由此可知對(duì)于

2、形如 的遞推公式求通項(xiàng)公式需要我們先構(gòu)造成等比數(shù)列或等差數(shù)列，再利用等比數(shù)列或等差數(shù)列的相關(guān)定義及公式進(jìn)行求解。 現(xiàn)在我們將介紹一種構(gòu)造等比數(shù)列和等差數(shù)列的新方法-不動(dòng)點(diǎn)法不動(dòng)點(diǎn)法11nnnaabacad1111322nnnnaaaa115421nnnaaa不動(dòng)點(diǎn)：不動(dòng)點(diǎn)： 定義：被函數(shù)y=f(x)映射到其自身的 一個(gè)點(diǎn)；即函數(shù)上x(chóng)=y的點(diǎn)，可由x=f(x)解出。1254(x)2154(x)=21x1254(x)21xfxxfxxxfx例如：求的不動(dòng)點(diǎn)。令 解得 ，x為函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。利用不動(dòng)點(diǎn)法求形如 的通項(xiàng)公式的方法：（1）令 ，并解出方程的根即為不動(dòng)點(diǎn) ；（2）構(gòu)造數(shù)列a、當(dāng) 時(shí)， ，

3、可以構(gòu)造為如下形式：11nnnaabacad(x)=ax bfxcx d1122xpp， x12pp11111221nnnnnnaabpapcadaabappcad11nnnaabacad化解后得一個(gè)等比數(shù)列 的遞推公式：由此可求出 最后解出 即求得 的通項(xiàng)公式。111212nnnnapapkapap12nnapap1111212nnnapapkapapnana11154321nnnnaaaaa例 1、 已 知 ：，求 數(shù) 列的 通 項(xiàng) 公 式 。1111-1-154112154222111322nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa即得 化簡(jiǎn)得 1254(x)= ,1,221xfxx解：令

4、求得不動(dòng)點(diǎn)xx111n-1n-1n-113=321=221=2 321 4 3=(n 1,2,3,.)1 2 3nnnnnaaaaaaaa 可知是公比q= 的等比數(shù)列，所以 故 可解得 b、當(dāng) 時(shí)， ，可以構(gòu)造為如下形式：求倒數(shù)化解后得一個(gè)等差數(shù)列 的遞推公式：11nnnaabacad12=ppp11nnnaabappcad111=nnhapap1nap由此可求出 最后解出 即求得 的通項(xiàng)公式。111(n 1)hnapapnana11172323nnnnaaaaa例2、已知：，求通項(xiàng)公式。111721=123112=115nnnnnaaaaa即得 求倒數(shù)化簡(jiǎn)得 72(x)= ,123xfxx解：令求得不動(dòng)點(diǎn)x1112d=31511=1 2112= +n-11 25411=(n 1,2,3,.)41nnnaaaanan可知是公差 = 的等差數(shù)列，