函數項級數一致收斂的幾個判別法及其應用(終極完整無敵升華版)

1、函數項級數一致收斂性判別法及其應用欒孌 20111101894數學科學學院數學與應用數學11級漢班指導老師：吳嘎日迪摘要:本文證明了常用的函數項級數一致收斂性的判別法，并通過例題給岀了它的應用.另外，仿照極限的夾逼原理，得到函數項級數一致收斂的夾逼判別法 .關鍵詞：一致收斂，函數項級數，和函數1函數列與一致收斂性qQ(1) 函數項級數一致收斂性的定義：設有函數列Sn ( X )(或函數項級數a Un(X)的n占部分和序列)。若對任給的；.0 ,存在只依賴于；的正整數N(；),使n N (；) 時，不等式Sn(X) S(X)N,一p三N ,及一x三I都有n 4p送 Uk (x)=Sn 郴(X)-

2、Sn(X)=Un 出(X)+ Und2(X)+ Un 卄(X)kM證明：必要性:已知a uk(x)在區(qū)間I 一致收斂，設其和函數式S ( x)，即k 4S(x) S(x)誇 也有&井(X)S(X)詩 于是n井遲 Uk (x) = Sn非(x) - Sn (x) = Sn4p(x) - S(X)+ S(X)- Sn(X) kzn卅M|Sf(x) S(x)| +|S(x) Sn(x) W +； =E充分性：已知-；0, TN 二 N( ；) N - n N, - p N 及-x In W有送 Uk(x) =|Sn4p(X)-Sn(X)| sk=a十qQ從而J uk(x)在區(qū)間收斂S( x )，因為

3、p是任意正整數，所k生cO以當p：:時，上述不等式有 &(X)- S(X)：；即函數項級數Uk(x)在區(qū)間I kT致收斂.余項準則函數列 f n在D上一致收斂于f的充要條件是lim sup fn (x) - f (x) = 03函數項級數一致收斂判別法(1 )充分條件定理1 (魏爾斯特拉斯判別法)若對充分大的n,恒有實數an使得Un(x)|蘭an對X上任意的x都成立，并且數項級 數an收斂，則7 Un(X)在X上一致收斂證明 由瓦an的收斂性，對任給的客0,可得N (名)，使nN()時an 1 an .2 . - an .p :： ； (p=1,2,)，對X上的一切的X我們有Un出(X)+ +

4、Un知(X)勻Unx) +也計&)蘭 a + a.電 + + a.# Q ,由一致收斂的柯西充要條件即得定理的結論.例2 若7 an絕對收斂，則an sin nx和an cosnx 在(-：)內都是絕對 收斂和一致收斂的級數.事實上，ansinnx 蘭 an ，an cosnx 蘭|an ，由魏爾斯特拉斯判別法即可得證定理2(阿貝爾判別法)若在X上7 bn(x) 一致收斂，又對X中每一固定的x,數列an(x單調.而對任意 的n和X中每個x，有an(x)乞L (不依賴于x和n的定數)，那么x an(x)bn(x)在 X上一致收斂.這個定理與數項級數的阿貝爾定理相似， 其證明也大體相同，只要利用阿

5、貝爾引 理即可。事實上，由bn(x)的一致收斂性，對任意給定的；0,可得N (；), 使n N (；)時恒有bn + (X)+ +6命(X)| G(p=1,2 ),固定x，由上式及an(x)的單調性，利用阿貝爾引理得到an + (x)bn4f(x) +.+an4p(X)bn(X)|:;(an 1(x) 2an p(x)空3L；(n N(0;p=1,2, .)再從一致收斂的柯西充要條件即可.例3設級數v an收斂，證明lim 7琴八an .t n證明：因為丄 蘭1，且丄 一1 (x引0,畑),n = 1,2,.)，故丄單調且一致有 nn (n +1)n界，又級數an收斂，即an在0,=)上一致收

6、斂，所以由阿貝爾判別法知,、冀在0,：)上一致收斂，又ax(n =1,2.)在0,：)上連續(xù),nn故- an在0,：)上也連續(xù),nan 八 lim an 八 an. nJ0 n定理3 (狄利克雷判別法) 設J bn (X)的部分和n 4nBn(x)八 bi(x)i=1在X上一致有界，又對X內每一 x，數列an (x)單調，并且函數列 an (x)在X上 一致收斂于零，則a an (x)bn (x)在X上一致收斂.n證明 設送d(x) EL(不依賴于n和x的定數)，i =B +那么對X上任意的x和任意的正整數p恒有n北0瓦 b(x)瓦 bi (x)+瓦 bi (x)i旦im 2L因此，禾I用阿貝

7、爾引理n 4ps ai(x)b(x)蘭2L(an4i(x) +2an4p(x)，i二n卅再由an(x) 一致收斂于零即得例3討論7 ( 1 2xn的一致收斂性nF (1 x2)n設x2an(x)2、n，n(X)二(-1)(1 +x )n易見對一切n及(皿，畑)都有送Pn(x) 1，即一致有界，另外，對任意固定的X，(：，=)都有aniX2(1 x2)n1a? = (1 x2)n 1 X= 1 x2所以an(x)對任意的x單調遞減，并且有an (x)x2x2=(1 x2)n2 01 nx n(nr :)6#故an(x)在(_：,：)上隨n-；：而一致收斂于零.qQ(-二，：)內致收斂.依狄利克雷

8、判別法知級數二n -1(2)必要條件函數項級數a un (x)在數級D上一致收斂的必要條件是函數列un (x)在D上致收斂于零.4由極限的夾逼原理得到的一致收斂判別法定理4：已知Un(X),l： Vn(X)在I上一致收斂，且 N N ，當nn理oOn - N 時有 Vn(X)二 Wn(X)咗 Un(X)則二 Wn(X)在 I 上一致收斂.nTQOQ0證明：不妨設n =1開始，便有vn(x)豈wn(x)乞un(x)，由un(x) vn(x)在I上n呂n占一致收斂,根據一致收斂的柯西準則：；7, Nr N，當n Nn, pN，有-名 UnH1(X) +Un七(X) +. + Un4p(X) 名即-

9、；:：Vn1(X)Vn 2(X). Vn p(X)而Vn(X)乞 Wn(X)乞叫&) (n =1,2，)就必有Y Vn(X)+%七(X) +.+%舟&)蘭Wn 1(X) Wn 2(X). . . W p(x)乞Un 1(X) Un 2(X). Un p (x):；0此即wn(x),在I上滿足柯西一致收斂條件n生推論：已知數項級數anbn都收斂，若 N N ,當ngn 4nN時有an Wn(X)mbn,XI，貝U函數項級數Wn(x),在I 一致收斂，顯然當n 二wn(x)二W,即7 wn(x)為常數項級數，則可判斷7 wn(x)收斂.n衛(wèi)n三qQ定理 5：設函數數列un(x), x a,b, -n N. un(x)在a,b單調，且un(a)及n =Un(b)都絕對收斂，則級數 &Un(x)在a,b一致收斂.n 生n證明時只要注意有min un(a),un(b) un (x max un (a),un