圓的切線復習

1、直線和圓的位置關系位置關系位置關系相交相交相切相切相離相離公共點個數(shù)公共點個數(shù)d與與r的關系的關系公共點名稱公共點名稱直線名稱直線名稱2 2個個1 1個個無無drdrdr交點交點切點切點割線割線切線切線有且僅有有且僅有判定一條直線是圓的切線的方法有：判定一條直線是圓的切線的方法有：（1）與圓有唯一公共點的直線是圓的切線；）與圓有唯一公共點的直線是圓的切線；（2）圓心到直線的距離等于該圓的半徑，則）圓心到直線的距離等于該圓的半徑，則這條直線是圓的切線這條直線是圓的切線.切線的判定定理切線的判定定理 定理定理 經(jīng)過半徑的外端經(jīng)過半徑的外端, ,并且垂直于這條并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線半徑的

2、直線是圓的切線. .CDOA如圖如圖OAOA是是O O的的半徑半徑, , 且且CDOACDOA, , CDCD是是O O的切線的切線. .判斷下圖直線判斷下圖直線l l是否是是否是O O的切線？的切線？并說明為什么。并說明為什么。OLAOLA切線的判定定理的兩種應用切線的判定定理的兩種應用1、連半徑，證垂直連半徑，證垂直 如果已知直線與圓有如果已知直線與圓有交點，往往交點，往往要作出過這一要作出過這一點的半徑點的半徑，再證明直線垂再證明直線垂直于這條半徑即可直于這條半徑即可.2、作垂線，證半徑作垂線，證半徑 如果不明確直線與圓如果不明確直線與圓的交點，往往的交點，往往要作出圓心要作出圓心到直線

3、的垂線段到直線的垂線段，再證明再證明這條垂線段等于半徑即可這條垂線段等于半徑即可.ABCDEO.切線的性質定理切線的性質定理圓的切線垂直于圓的切線垂直于過切點的半徑過切點的半徑. .CDCD切切O O于于, A, A是切點是切點, , OAOA是是O O的半徑的半徑CDOACDOA. 提示：提示：切線的性質定理是證明兩條直線切線的性質定理是證明兩條直線垂直的重要根據(jù)垂直的重要根據(jù);作過切點的半徑是常用作過切點的半徑是常用經(jīng)驗輔助線之一經(jīng)驗輔助線之一.切線性質定理的推廣 性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 推推1 1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

4、：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 推推2 2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心你能用一個定理把圓的切你能用一個定理把圓的切線的性質及它的兩個推論線的性質及它的兩個推論概括出來嗎？概括出來嗎？如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可以推出第三個就可以推出第三個：（：（1）垂直于切線；（）垂直于切線；（2）過切點；（過切點；（3）過圓心。）過圓心。經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心垂直于切線垂直于切線直線經(jīng)過切點直線經(jīng)過切點垂直于切線垂直于切線經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心直線經(jīng)過切點直線經(jīng)過切點直線經(jīng)過切點直線經(jīng)過切點經(jīng)過圓心經(jīng)過圓

5、心切線垂直于半徑切線垂直于半徑按圖填空：按圖填空：(1). 如果如果AB是是 O的切線，的切線，那么那么AOB O的切線的切線(2). 如果如果OAAB，那，那么么AB是是切點切點OAAB.(3).如果如果AB是是 O的切線，的切線，OAAB，那么，那么A是是_練一練練一練、切線和圓有且只有一個公共點、切線和圓有且只有一個公共點、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 、經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點、經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點、經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心、經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心、切線和圓心的距離等于半徑、切線和圓心的距離等于半徑n從

6、圓外一點可以引圓的兩條切線，他們的從圓外一點可以引圓的兩條切線，他們的切線切線長長_ ，這一點和圓心的連線，這一點和圓心的連線會會_兩條切線的夾角兩條切線的夾角ABPO12切線長定理切線長定理:PA,PB切切 O于于A,B _ _ 相等相等平分平分PA=PB1=2 從圓外一點引圓的兩條切線，它們從圓外一點引圓的兩條切線，它們的的切線長相等切線長相等；這點；這點與圓心的連線平分與圓心的連線平分這兩條切線的夾角。這兩條切線的夾角。BAPOPA、PB為為 O的切線的切線PA=PB,APO= BPOl例例1已知：直線已知：直線AB經(jīng)過經(jīng)過 O上的點上的點C，并且，并且OAOB，CACB。求證：直線。求

7、證：直線AB是是 O的切線。的切線。OCBA練習練習如圖如圖, O切切PB于點于點B,PB=4,PA=2,則則 O的半徑多少？的半徑多少？AOBP練習練習2 2 如圖：如圖：PA,PC分別分別切圓切圓O于點于點A,C兩點兩點,B為為圓圓O上與上與A,C不重合的點不重合的點,若若P=50,則則ABC=_OCPAB例例如圖如圖AB為為 O的直徑，的直徑，D是弧是弧BC的中點，的中點，DEAC交交AC的延長線的延長線于于E， O的切線的切線BF交交AD的延長線的延長線于于F。(1)求證：求證：DE是是 O的切線。的切線。 CDOBFEA(2)若若DE3， O的半徑是的半徑是5，求，求BD的長。的長。

8、 GOCBADE1234例例3:已知已知: 如圖如圖 RT ABC中中,C=900, 以以AC為直徑的為直徑的 O交斜邊交斜邊 AB于于D,OEAB交交BC于于E,求證求證: DE是圓是圓O的切線的切線.OCBADE1234例3：已知已知: 如圖如圖 RT ABC中中,C=900, 以以AC為直徑為直徑 的的 O交斜邊交斜邊 AB于于D,OEAB交交BC于于E 求證求證: DE是圓是圓O的切線的切線證明：證明：連結連結OD OEAB, 1 12 2，3 34 4， 又又OA=OD,OA=OD, 1=3. 1=3. 2=4 2=4 在在OCEOCE和和ODEODE中中 OC=ODOC=OD，2

9、24 4，OE=OEOE=OE OCEOCEODE.ODE. C=90 C=900 0 ODE=90 ODE=900 0, ,即即DEOD.DEOD. DE DE是是O O的切線。的切線。GHOEFBADC例例4:已知：已知： 如圖如圖ABC中中ADBC，AD= BC ，E，F(xiàn)分別是分別是AB，AC的中點，的中點，AD與與EF相交于相交于H，求證：求證： 以以EF為直徑的為直徑的 O與與BC相切相切12（兩種輔助線的做法）若明確直線和圓的公共點,我們作半徑(連接公共點和圓心),去證明這條半徑和直線垂直;若不明確直線和圓的公共點,我們過圓心作這條直線的垂線,去證明垂線段等于半徑.證明相切的常用思

10、路：GHOEFBADC例4：已知：已知： 如圖如圖ABC中中ADBC，AD= BC ， E，F(xiàn) 分別是分別是AB，AC的中點，的中點，AD與與EF相交于相交于H， 求證：求證： 以以EF為直徑的為直徑的 O于于BC相切相切12證明：證明：作作OGBC，垂足為，垂足為G E，F(xiàn)分別是分別是AB，AC的中點的中點 EFEFBC,BC,且且EFEF BC。 H H是是ADAD的中點，即的中點，即HD= HD= AD. AD AD BC. AD=EF AD=EF HD= HD= EF ADBC, OGBC, EFBC, EFBC,BC, OG=HD= OG=HD= EF OG OG是是O O的半徑。的

11、半徑。 以以EFEF為直徑為直徑O O的與的與BCBC相切相切 1212121212（兩種輔助線的做法）若明確直線和圓的公共點,我們作半徑(連接公共點和圓心),去證明這條半徑和直線垂直;若不明確直線和圓的公共點,我們過圓心作這條直線的垂線,去證明垂線段等于半徑.證明相切的常用思路：2. 已知已知:如圖如圖, O交交OA于于C,弦弦BCAC,A30求證：求證： AB是是 C的切線的切線OBAC（6）1.已知已知: 如圖如圖,在以在以O為圓心的兩個同心圓中為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦大圓的弦AB和和CD 相等相等,且且AB與小圓相切于與小圓相切于E 求證：求證：CD與小圓相切與小圓相切EFOAB

12、CD.(5)3 3、已知：、已知：ABAB是圓是圓O O的直徑，的直徑，C C是是ABAB延延長線上的一點，長線上的一點，CDCD切圓切圓O O于點于點D D，DEABDEAB于點于點E E。求證：求證： CDB = EDBCDB = EDBEACODBCBDOEA5、如、如 ABC中中 C 900,AC12cm,BC=16cm,O的直徑的直徑MN在在AB上上,且且分別切分別切AC于于D,BC于于E,求求MN的長的長BCAONMDE方法小結：根據(jù)切線的方法小結：根據(jù)切線的性質，構造相似三角形性質，構造相似三角形利用相似三角形對應邊利用相似三角形對應邊成比例的性質成比例的性質,建立方建立方程求解

13、。程求解。5、如、如ABC中中C900,AC12cm,BC=16cm O的直徑的直徑MN在在AB上上,且分別切且分別切AC于于D,BC于于E 求求 MN的長的長解：解： 連結連結OD，OE,設圓的半徑為設圓的半徑為R. O分別切分別切AC,BC于于E， ODOE=R,ODAC,OEBC, 又又 C900， DC=OE=R,ODBC. ,即即.解得，解得， R cm. MN= cm.ODBCADACR1612-R12487967BCAONMDE方法小結：根據(jù)切線的性質，方法小結：根據(jù)切線的性質，構造相似三角形利用相似三角構造相似三角形利用相似三角形對應邊成比例的性質形對應邊成比例的性質,建立建立

14、方程求解。方程求解。6、已知、已知,如圖如圖,D(0,1), D交交y軸于軸于A、B兩點兩點,交交x軸負半軸于軸負半軸于C點點,過過C點點的直線的直線:y=2x4與與y軸軸交于交于P.試猜想試猜想PC與與 D的位置關系，并說明理的位置關系，并說明理由由.解：解：令令x=0，得得y=-4;令令y=0,得得x=-2C(-2,0), P(0,-4) 又又D(0,1)OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5在在RtCOD中中, CD2=OC2+OD2=4+1=5在在RtCOP中中, CP2=OC2+OP2=4+16=20在在CPD中中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25CD2+CP2

15、=DP2CDP為直角三角形為直角三角形,且且DCP=90PC為為 D的切線的切線.直線直線y=-2x-4PC是是 O的切線，理由如下：的切線，理由如下：6、已知、已知,如圖如圖,D(0,1), D交交y軸于軸于A、B兩點兩點,交交x軸負半軸于軸負半軸于C點點,過過C點點的直線的直線:y=2x4與與y軸軸交于交于P.試猜想試猜想PC與與 D的位置關系，并說明理的位置關系，并說明理由由. 思考：判斷在直線思考：判斷在直線PC上是否存在點上是否存在點E，使得，使得SEOC=4SCDO,若存在，若存在，求出點求出點E的坐標；若不存的坐標；若不存在，請說明理由在，請說明理由. 解：假設在直線解：假設在直

16、線PC上存在這樣的點上存在這樣的點E(x0,y0),使得使得SEOC =4S CDO，1122121CODODCDS4210yCDSEOC40 y40 yE點在直線點在直線PC：y=-2x-4上，上，當當y0=4時有：時有：442x4 x 當當y0=-4時有：時有：442x0 x在直線在直線PC上存在滿足條件的上存在滿足條件的E點，其的坐標為點，其的坐標為(-4,4) , (0,-4) .邊長為，的三角形，其內(nèi)心和邊長為，的三角形，其內(nèi)心和外心間的距離是外心間的距離是。7 7、2108686r8、如圖，、如圖，PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點，試探究為切點，試探究ABO與

17、與APB的關系，的關系，并證明并證明. 9、如圖所示，、如圖所示，EB、EC是是 O的兩條的兩條切線，切線，B、C是切點，是切點，A、D是是 O上兩上兩點，如果點，如果E=46，DCF=32；求求A的度數(shù)的度數(shù)10、從圓外一點向半徑為、從圓外一點向半徑為9的圓作切線，的圓作切線，已知切線長為已知切線長為18，從這點到圓的最短距，從這點到圓的最短距離為離為 1111、如圖，正方形、如圖，正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為4cm4cm，以，以正方形的一邊正方形的一邊BCBC為直徑在正方形為直徑在正方形ABCDABCD內(nèi)作內(nèi)作半半圓，再過圓，再過A點作半圓的切線，與半圓相點作半圓的切線，與半圓相

18、切于切于F點，與點，與DC相交于相交于E點點求梯形求梯形ABCE的面積的面積12. 如圖：如圖：ABC中，中，C900，點，點O在在BC上，以上，以OC為半徑的半圓切為半徑的半圓切AB于點于點E，交交BC于點于點D,若若BE4,BD2,求求 O的半的半徑和邊徑和邊AC的長的長 BACEOD13、如圖，、如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，AD、DC、BC是切線，點是切線，點A、E、B為切點，為切點， (1)求證：求證：OD OC (2)若若BC=9，AD=4，求，求OB的長的長. OABCDEF 14、ABC外切于外切于 O ，切點分別為點，切點分別為點D、E、F，A600，BC7, O的半的半徑為徑為 求求ABC的周長的周長3ECFDABO1515、如圖，、如圖，I I為為ABCABC的內(nèi)切圓，點的內(nèi)切圓，點D D，E E分別為邊分別為邊AB,ACAB,AC上的點，且上的點，且DEDE為為I I的切線，的切線，若若ABCABC的周長為的周長為212