第4章被控過程的數學模型(修改)

1、 第第4 4章章 被控過程的數學模型被控過程的數學模型1 1）掌握被控過程機理建模的方法與步驟；掌握被控過程機理建模的方法與步驟； 2 2）熟悉被控過程的自衡和非自衡特性；熟悉被控過程的自衡和非自衡特性； 3 3）掌握單容過程和多容過程的階躍響應曲線及解析表掌握單容過程和多容過程的階躍響應曲線及解析表達式；達式； 4 4）重點掌握被控過程基于階躍重點掌握被控過程基于階躍(方波方波)響應的建模步驟、響應的建模步驟、作圖方法和數據處理；作圖方法和數據處理； 5 5）熟悉被控過程的一次完成最小二乘建模方法，學會熟悉被控過程的一次完成最小二乘建模方法，學會用用MATLAB語言編寫算法程序。語言編寫算法

2、程序。 6 6）熟悉被控過程的遞推最小二乘建模方法，學會用熟悉被控過程的遞推最小二乘建模方法，學會用MATLAB語言編寫算法程序。語言編寫算法程序。 4.14.1 過程建模的基本概念過程建模的基本概念4.1.1 4.1.1 被控過程的數學模型及其作用被控過程的數學模型及其作用 被控過程的數學模型是指過程的被控過程的數學模型是指過程的輸入變量輸入變量與與輸出變量輸出變量之間定量關系的描述之間定量關系的描述過程的輸入變量至輸出變量的信號聯系稱為通道過程的輸入變量至輸出變量的信號聯系稱為通道控制作用至輸出變量的信號聯系稱為控制作用至輸出變量的信號聯系稱為控制通道控制通道干擾作用至輸出變量的信號聯系稱

3、為干擾作用至輸出變量的信號聯系稱為干擾通道干擾通道過程的輸出為控制通道與干擾通道的輸出之和過程的輸出為控制通道與干擾通道的輸出之和 過程的數學模型過程的數學模型靜態(tài)數學模型靜態(tài)數學模型動態(tài)數學模型動態(tài)數學模型 過程輸出實際上是多個輸過程輸出實際上是多個輸入的函數，每個輸入對被控量入的函數，每個輸入對被控量的影響都是不一樣的，通常選的影響都是不一樣的，通常選用一個用一個可控性良好可控性良好的輸入作為的輸入作為控制量，而其他輸入被統稱為控制量，而其他輸入被統稱為外部擾動。外部擾動。被控過程的數學模型在過程控制中的重要性被控過程的數學模型在過程控制中的重要性1)1)全面、深入地掌握被控過程的數學模型

4、是控制系統全面、深入地掌握被控過程的數學模型是控制系統設計的基礎。設計的基礎。2)2)良好數學模型的建立是控制器參數確定的重要依據。良好數學模型的建立是控制器參數確定的重要依據。3)3)數學建模是仿真或研究、開發(fā)新型控制策略的必要數學建模是仿真或研究、開發(fā)新型控制策略的必要條件條件 。4)4)通過對生產工藝過程及相關設備數學模型的分析或通過對生產工藝過程及相關設備數學模型的分析或仿真，可以為生產工藝及設備的設計與操作提供指仿真，可以為生產工藝及設備的設計與操作提供指導。導。5)5)利用數學模型可以及時發(fā)現工業(yè)過程中控制系統的利用數學模型可以及時發(fā)現工業(yè)過程中控制系統的故障及其原因，并提供正確的

5、解決途徑。故障及其原因，并提供正確的解決途徑。 4.1.2 4.1.2 被控過程的特性被控過程的特性依據過程特性的不同依據過程特性的不同分為分為自衡特性自衡特性與與無自衡特性無自衡特性、單容特單容特性與多容特性性與多容特性、振蕩與非振蕩特性等振蕩與非振蕩特性等 1 1有自衡特性和無自衡特性有自衡特性和無自衡特性 當原來處于平衡狀態(tài)的過程受到干擾時，其當原來處于平衡狀態(tài)的過程受到干擾時，其輸出量輸出量在無人或無控制裝置的干預下在無人或無控制裝置的干預下，能夠自動，能夠自動恢復到恢復到原來或新原來或新的平衡狀態(tài)，則稱該過程具有自的平衡狀態(tài)，則稱該過程具有自衡特性，否則，該過程則被認為無自衡特性。衡

6、特性，否則，該過程則被認為無自衡特性。 無自衡過程及其階躍響應曲線無自衡過程及其階躍響應曲線 自平衡特性其傳遞函數的典型形式有：自平衡特性其傳遞函數的典型形式有：( )(1)KG sTs一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié) 二階慣性環(huán)節(jié)二階慣性環(huán)節(jié) 12( )(1)(1)KGsTsTs( )(1)sKeG sTs12( )(1)(1)sKeG sTsTs二階慣性二階慣性+ +純滯后環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié) 一階慣性一階慣性+ +純滯后環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié) 具有自衡特性的過程及其響應曲線具有自衡特性的過程及其響應曲線 無平衡特性其傳遞函數的典型形式有：無平衡特性其傳遞函數的典型形式有：1()GsT s121( )(1)G

7、sTs T s1( )sG seTs121( )(1)sG seTs Ts一階環(huán)節(jié)一階環(huán)節(jié) 二階環(huán)節(jié)二階環(huán)節(jié) 二階二階+ +純滯后環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié) 一階一階+ +純滯后環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié) 3 3振蕩與非振蕩過程的特性振蕩與非振蕩過程的特性在階躍輸入作用下，輸出會在階躍輸入作用下，輸出會出現多種形式。圖中，出現多種形式。圖中，a)a)、b)b)和和c)c)為振蕩過程，為振蕩過程，d)d)和和e)e)為非振蕩過程。為非振蕩過程。 4 4具有反向特性的過程具有反向特性的過程 對過程施加一階躍輸入信號，若在開始一段時間內，對過程施加一階躍輸入信號，若在開始一段時間內，過程的輸出先降后升或先升后降，即出現相反

8、的變化方向，過程的輸出先降后升或先升后降，即出現相反的變化方向，則稱其為具有反向特性的被控過程。則稱其為具有反向特性的被控過程。4 4具有反向特性的過程具有反向特性的過程鍋爐汽包水位的變化過程即為典鍋爐汽包水位的變化過程即為典型的具有反向特性的過程。型的具有反向特性的過程。 冷水量冷水量 蒸發(fā)率蒸發(fā)率水位水位進水量大進水量大 汽泡潰滅汽泡潰滅 水位水位 1 1機理演繹法機理演繹法白箱方法 根據被控過程的內部機理，運用已知的根據被控過程的內部機理，運用已知的靜態(tài)或動態(tài)平衡關系靜態(tài)或動態(tài)平衡關系，用數學解析的方法求取被控過程的數學模型。用數學解析的方法求取被控過程的數學模型。2 2試驗辨識法試驗辨

9、識法黑箱方法 先給被控過程人為地施加一個輸入作用，然后記錄過程的先給被控過程人為地施加一個輸入作用，然后記錄過程的輸出變化量，得到一系列試驗數據或曲線，最后再根據輸入輸出變化量，得到一系列試驗數據或曲線，最后再根據輸入輸出試驗數據確定其模型的結構（包括模型形式、階次與純滯輸出試驗數據確定其模型的結構（包括模型形式、階次與純滯后時間等）與模型的參數。后時間等）與模型的參數。 3. 3. 混合法混合法灰箱方法機理演繹法與試驗辯識法的相互交替使用機理演繹法與試驗辯識法的相互交替使用的一種方法的一種方法4.1.3 4.1.3 過程建模方法過程建模方法4.2 4.2 解析法建立過程的數學模型解析法建立過

10、程的數學模型4.2.14.2.1解析法建模的一般步驟解析法建模的一般步驟1 1）明確過程的輸出變量、輸入變量和其他中間變量；）明確過程的輸出變量、輸入變量和其他中間變量；2 2）以物料或能量平衡方程為基本依據）以物料或能量平衡方程為基本依據, ,列寫列寫基本平衡方程基本平衡方程；3 3）以基本平衡方程減去起始平衡點的平衡方程（初始）以基本平衡方程減去起始平衡點的平衡方程（初始 條件），得到增量方程；條件），得到增量方程；4 4） 整理得到以增量為變量的微分方程標準形式。整理得到以增量為變量的微分方程標準形式。4.2.2 4.2.2 單容過程的解析法建模單容過程的解析法建模例例1 1：某單容液位

11、過程，如右圖。：某單容液位過程，如右圖。貯貯罐中液位高度罐中液位高度h為被控參數為被控參數, ,流入貯罐流入貯罐的體積流量的體積流量q1q1為為過程的輸入量過程的輸入量并可通并可通過閥門過閥門1 1的開度來改變；流出貯罐的的開度來改變；流出貯罐的體積流量體積流量q2q2為過程的干擾為過程的干擾，其大小可，其大小可以通過閥門以通過閥門2 2的開度來改變。試確定的開度來改變。試確定q1q1與與h h之間的數學關系之間的數學關系? ?解解 根據動態(tài)物料平衡關系，即在根據動態(tài)物料平衡關系，即在單位時間內貯罐的液體流入量與單位單位時間內貯罐的液體流入量與單位時間內貯罐的液體流出量之差應等于貯罐中液體貯存

12、量的變化率時間內貯罐的液體流出量之差應等于貯罐中液體貯存量的變化率12dhqqAdt則有：則有：寫為增量形式為寫為增量形式為12d hqqAdt 1q2q其中其中h分別為偏離某平衡狀態(tài)的增量。分別為偏離某平衡狀態(tài)的增量。A A為貯罐的截面積為貯罐的截面積2R假定假定近似成正比近似成正比, ,而與閥門而與閥門2 2的液阻的液阻成反比成反比2q與與h則有則有 22hqR, ,帶入增量式中可得帶入增量式中可得單容液位過程的微分方程增量式單容液位過程的微分方程增量式 進行拉普拉斯變換，進行拉普拉斯變換，并寫成傳遞函數形式并寫成傳遞函數形式 221d hR AhR qdt 212( )( )( )11H

13、 sRKGsQ sRCsTs其中：其中：CRT2為被控過程的時間常數為被控過程的時間常數 2RK 為被控過程的放大系數為被控過程的放大系數 為被控過程的為被控過程的容量系數容量系數，或稱，或稱 AC C過程容量，這里過程容量，這里列寫基本方程式并增量化列寫基本方程式并增量化根據動態(tài)物料平衡關系:表示為增量形式有: 偏離某平衡狀態(tài) 的增量hqq,2102010,hqq水箱截水箱截面積面積 dd 21thAqq dd 21thAqq靜態(tài)時：0 ddth 21qq 單位時間內水箱內液體流入量與流出量之差水箱內液體容量變化率消去中間變量消去中間變量假定q2與h 近似成線性正比關系，與閥門2處的液阻R2

14、 成反比關系，則根據壓力關系：22Rhq閥門阻力，即流量增加1m2/s時的液位升高量微分方程與傳遞函數微分方程與傳遞函數拉氏變換，得到傳遞函數形式：整理得到單容液位過程的微分方程增量表示： 綜合上述兩類關系： dd 21thAqq22Rhq dd122qRhthAR 1A)()( )(221sRRsQsHsG令：過程的時間常數 T=R2A=R2C 過程的放大系數 K=R2 過程的容量系數 C=A則：單容自衡過程可以采用一階慣性環(huán)節(jié)加以描述。11A)()( )(221TsKsRRsQsHsG容量：貯存能力大小，即引起單位被控量變化時，被控過程貯存量變化程度。微分方程與傳遞函數微分方程與傳遞函數對

15、象框圖對象框圖21Rcs1Q2 (s)Q1 (s)H(s)水箱的輸入量/輸出量之間的動態(tài)平衡關系閥2的靜壓力關系一階對象的特性參數都具有明顯的物理意義：一階對象的特性參數都具有明顯的物理意義：KG(s)Ts 1ttx0y( )yxv放大倍數放大倍數K的物理意義的物理意義K表明了穩(wěn)態(tài)時，輸出表明了穩(wěn)態(tài)時，輸出對輸入的放大倍數對輸入的放大倍數 。求法：。求法： K = y( ) / x0vK 越大，表示對象的輸入對輸出的影響越大。越大，表示對象的輸入對輸出的影響越大。/0( )(1)t Ty tKxe階躍響應函數：階躍響應函數：階躍響應曲線階躍響應曲線v時間常數時間常數T的物理意義的物理意義對象受

16、到階躍輸入后，輸出達到新的穩(wěn)態(tài)值對象受到階躍輸入后，輸出達到新的穩(wěn)態(tài)值的的63.2所需的時間，就是時間常數所需的時間，就是時間常數T?；蚧驅ο笫艿诫A躍輸入后，輸出若保持初始速對象受到階躍輸入后，輸出若保持初始速度變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需時間就是時間常數。度變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需時間就是時間常數。0y( ) x (1-)tTt TtKe-10y( )x (1-)TKetT0.632y)00.632xK求法：求法：在相同的在相同的階躍輸入作用階躍輸入作用下，對象的時下，對象的時間常數不同時，間常數不同時，被控變量的響被控變量的響應曲線如圖應曲線如圖所所示示 。 vT反映了對象輸出對輸入的響應速度反映了對

17、象輸出對輸入的響應速度T越大，響應越慢。如水槽對象中越大，響應越慢。如水槽對象中 T=AR ，說，說明水槽面積越大，水位變化越慢。明水槽面積越大，水位變化越慢。vT也反映了過渡過程時間也反映了過渡過程時間被控變量變化到新的穩(wěn)態(tài)被控變量變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時間理論上需要無值所需要的時間理論上需要無限長。限長。當當t時，才有時，才有yKx0 ，但是當但是當t =3T 時，便有時，便有： 即即：經過：經過3T時間，輸出已經變化了滿幅值的時間，輸出已經變化了滿幅值的95。這時，可以近似地認為動態(tài)過程基本結束。這時，可以近似地認為動態(tài)過程基本結束。300y(3 )x (1-)0.95 x0.95y(

18、)-TKeK0y( )x (1-)tTtKetTy)3T例例2 具有純滯后的單容對象具有純滯后的單容對象 假設流經長度為假設流經長度為l的管道所需時間為的管道所需時間為0 0，具有，具有純時延純時延的單的單容過程的微分方程和傳遞函數為：容過程的微分方程和傳遞函數為：T0=R2A K0=R2C=A0與與l有關有關 )-(dd0022tqRhthAR 11A)()( )(0000221ssesTKesRRsQsHsG 在例在例1中中考慮輸入液體體積流量為考慮輸入液體體積流量為Q0，當進水閥當進水閥1 1的開度的開度產生變化后，需流經長度為產生變化后，需流經長度為l 的管道才能進入水箱，使液位發(fā)的管

19、道才能進入水箱，使液位發(fā)生變化。生變化。具有純滯后的單容對象具有純滯后的單容對象階躍響應曲線階躍響應曲線 q0(t)h(t)t例例3 無自衡能力的單容對象無自衡能力的單容對象 考慮例考慮例1中輸出液體體積流量中輸出液體體積流量Q2通過定量泵來調節(jié)，通過定量泵來調節(jié)， 液位液位高度變化時，出口處靜壓力不會對泵產生影響，高度變化時，出口處靜壓力不會對泵產生影響，Q2不變。不變。解 根據根據動態(tài)物料平衡動態(tài)物料平衡關系關系:定量泵導致定量泵導致:整理后得到其增量化方程為：整理后得到其增量化方程為：單容非自衡過程可以采用積分環(huán)節(jié)加以描述。 dd 21thAqq02q dd 1thAq得到其傳遞函數為：

20、得到其傳遞函數為： 1)()( )(1TssQsHsG無自衡能力的單容對象無自衡能力的單容對象階躍響應階躍響應無時延非自衡有純時延非自衡0t1QOt0QOOthOth意義：進水量增加，出水量不變，液位會升高，直到溢出。單容過程模型總結單容過程模型總結 單容控過程中都有一個儲存單容控過程中都有一個儲存“能量能量”的環(huán)節(jié)。的環(huán)節(jié)。液容液容 液位控制系統中水箱的儲水量液位控制系統中水箱的儲水量 系數為水箱截面積系數為水箱截面積A熱容熱容 溫度控制系統中熱水所含的熱量溫度控制系統中熱水所含的熱量 系數為熱水質量與比熱的乘積系數為熱水質量與比熱的乘積Gcp電容電容 電壓控制系統系統中的電容電壓控制系統系

21、統中的電容 系數為電容量系數為電容量C 有自衡特性的單容過程是一階慣性環(huán)節(jié)，無自衡特性的有自衡特性的單容過程是一階慣性環(huán)節(jié)，無自衡特性的是一個積分環(huán)節(jié)。是一個積分環(huán)節(jié)。1.具有自平衡能力的雙容對象具有自平衡能力的雙容對象 例如：例如：分離式雙容液位槽分離式雙容液位槽 過程輸入量為過程輸入量為Q1 1，過程輸出量第二個液位槽的液位過程輸出量第二個液位槽的液位h2 2假設：不計第一個與第二個液位槽之間液體輸送管道所造成的時間延假設：不計第一個與第二個液位槽之間液體輸送管道所造成的時間延遲，求遲，求h2與與Q1之間的數學關系。之間的數學關系。4.2.3 4.2.3 多容過程的解析法建模多容過程的解析

22、法建模具有自平衡能力的雙容對象具有自平衡能力的雙容對象微分方程組微分方程組根據動態(tài)平衡關系，有水槽1水槽2閥2閥3 dd 1121thCqq dd 2232thCqq212Rhq323Rhq2112( )1( )1Q sQ sC R s32223( )( )1RHsQ sC R s令：令： 水槽水槽1的過程時間常數的過程時間常數 T1=R2A1=R2C1 水槽水槽2的過程時間常數的過程時間常數 T2=R3A2=R3C2 過程的放大系數過程的放大系數 K=R3獲得獲得雙容液位過程的雙容液位過程的傳遞函數為傳遞函數為雙容自衡過程可以采用二階環(huán)節(jié)加以描述。具有自平衡能力的雙容對象具有自平衡能力的雙容

23、對象傳遞函數傳遞函數322121223231221 21212( )( )( ) ( )( )1()1(1)(1)RQ sHsG sQ sQ sC R s C R sC R sC R sKKTT sTT sTsT s具有自平衡能力的雙容對象具有自平衡能力的雙容對象對象框圖對象框圖21Rsc11Q3 (s)Q1 (s)水槽1的輸入量/輸出量之間的動態(tài)平衡關系閥3的靜壓力關系H1(s)sc21Q2 (s)H2(s)31R水槽2的輸入量/輸出量之間的動態(tài)平衡關系閥2的靜壓力關系具有自平衡能力的雙容對象具有自平衡能力的雙容對象階躍響應階躍響應q1q2q3qh1h2ht 與單容過程相比，多容過程受到擾動

24、后，被控量與單容過程相比，多容過程受到擾動后，被控量h2的變化速度并不是一開始就最大，而是要經過一段滯后的變化速度并不是一開始就最大，而是要經過一段滯后后才達到最大，即多容過程對于擾動的響應在時間上存后才達到最大，即多容過程對于擾動的響應在時間上存在滯后，稱為在滯后，稱為容量滯后容量滯后。 產生容量滯后的原因是兩個容積之間存在阻力，所產生容量滯后的原因是兩個容積之間存在阻力，所以使以使h2的響應時間向后推移。的響應時間向后推移。具有自平衡能力的雙容對象具有自平衡能力的雙容對象容量滯后容量滯后具有自平衡能力的雙容對象具有自平衡能力的雙容對象模型簡化模型簡化sesTRsQsHsG01)()()(0

25、312拐點采用單容過程近似：采用單容過程近似：具有自平衡能力的雙容對象具有自平衡能力的雙容對象帶純滯后帶純滯后考慮兩水槽之間的管道長度，當閥考慮兩水槽之間的管道長度，當閥2的開度變化后，需流經長度的開度變化后，需流經長度為為l的管道才能進入貯罐的管道才能進入貯罐2，使液位，使液位h2發(fā)生變化。假設流經管道所發(fā)生變化。假設流經管道所需時間為需時間為1，則具有純時延多容過程傳遞函數為：，則具有純時延多容過程傳遞函數為：T0 0+ 1Oth2h2()ssesTResTsTRsG)(03213l0l)1(1)(1( )(具有自平衡能力的多容對象具有自平衡能力的多容對象考慮n個水槽（容器）依次分離式連接

26、類推出多容過程（類推出多容過程（n個）的傳遞函數個）的傳遞函數若各個容器的容量系數相同，各閥門的液阻也相同，則若各個容器的容量系數相同，各閥門的液阻也相同，則 120nTTTT注：多容過程模型簡化過程與雙容過程簡化為單容過程方法類似。1)(1)(1( )(210sTsTsTKsGn過程的總放大系數各單容過程的時間常數nsTKsG) 1( )(00n=1n=2n=3n=4n=5具有自平衡能力的多容對象具有自平衡能力的多容對象階躍響應階躍響應注：容量環(huán)節(jié)越多輸出響應越緩慢2 2、無自平衡能力的雙容對象、無自平衡能力的雙容對象 考慮輸出液體體積流量為Q3通過泵來調節(jié) -水槽水槽1的液位高度變化，會對

27、的液位高度變化，會對Q2產生影響。產生影響。 -水槽水槽2的液位高度變化，不會對的液位高度變化，不會對Q3產生影響。產生影響。 根據多容過程類推關系根據多容過程類推關系:1111)()()(121121sCRsTsQsQsGscsTsQsHsG2222211)()()(得到其傳遞函數為：得到其傳遞函數為：注：只要多容過程中存在一個無自衡環(huán)節(jié)則為無自衡多容過程。sTsTsQsHsQsQsG212212111)()()()()(無自平衡能力的雙容對象無自平衡能力的雙容對象階躍響應階躍響應 h2q1t3.相互作用的雙容對象相互作用的雙容對象 一串并聯式雙容液位槽 要求：試求要求：試求h2與與Q1之間

28、的數學描述。之間的數學描述。R2同時受到h1和h2的影響。3、相互作用的雙容對象相互作用的雙容對象 根據根據動態(tài)平衡動態(tài)平衡關系，有關系，有水槽水槽1水槽水槽2閥閥2閥閥3 dd 1121thCqq dd 2232thCqq2212Rhhq323Rhq21Rsc11Q3 (s)Q1 (s)兩水槽間的關聯關系H1(s)sc21Q2 (s)H2(s)31R3. 相互作用的雙容對象相互作用的雙容對象 3. 相互作用的雙容對象相互作用的雙容對象 令：令： 水槽水槽1的過程時間常數的過程時間常數 T1=R2A1=R2C1 水槽水槽2的過程時間常數的過程時間常數 T2=R3A2=R3C2 過程的放大系數過

29、程的放大系數 K=R3獲得串聯獲得串聯雙容液位過程的雙容液位過程的傳遞函數為傳遞函數為1)()()()(122122112TTTsTTKsQsHsG水槽1與水槽2之間的關聯時間常數R3C13.相互作用的雙容對象相互作用的雙容對象 本過程的階躍響應仍是單調上升的本過程的階躍響應仍是單調上升的 ，傳遞函數可等效為，傳遞函數可等效為等效時間常數為等效時間常數為1 221212121212121 221212121212122()(22)2()(22)ABTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT)1)(1()()()(12sTsTKsQsHsGBA4.3 4.3 實驗法建立過程的數學模型實驗法

30、建立過程的數學模型試驗辨識法可分為經典辨識法與現代辨識法兩大類。試驗辨識法可分為經典辨識法與現代辨識法兩大類。在經典辨識法中，最常用的有在經典辨識法中，最常用的有基于響應曲線的辨識方法基于響應曲線的辨識方法；在現代辨識法中，又以在現代辨識法中，又以最小二乘辨識法最小二乘辨識法最為常用。最為常用。 4.3.1 4.3.1 響應曲線法響應曲線法 響應曲線法是指通過操作調節(jié)閥，使被控過程的控制響應曲線法是指通過操作調節(jié)閥，使被控過程的控制輸入產生一階躍變化或方波變化，得到被控量隨時間變化輸入產生一階躍變化或方波變化，得到被控量隨時間變化的響應曲線或輸出數據，再根據輸入輸出數據，求取過的響應曲線或輸出

31、數據，再根據輸入輸出數據，求取過程的輸入輸出之間的數學關系。響應曲線法又分為程的輸入輸出之間的數學關系。響應曲線法又分為階躍階躍響應曲線法響應曲線法和和方波響應曲線法方波響應曲線法 4.3.1.1 4.3.1.1 階躍響應曲線法階躍響應曲線法1 1）試驗測試前，被控過程應處于相對）試驗測試前，被控過程應處于相對穩(wěn)定穩(wěn)定的工作狀態(tài)的工作狀態(tài); ; 一、注意事項一、注意事項2 2）在相同條件下應重復多做幾次試驗）在相同條件下應重復多做幾次試驗 ，減少隨機干擾的影響，減少隨機干擾的影響; ;3 3）對正、反方向的階躍輸入信號進行試驗，以衡量過程的）對正、反方向的階躍輸入信號進行試驗，以衡量過程的非線

32、性程度非線性程度; ;4 4）一次試驗后，應將被控過程恢復到原來的工況并穩(wěn)定一段）一次試驗后，應將被控過程恢復到原來的工況并穩(wěn)定一段時間再做第二次試驗時間再做第二次試驗; ; 5）輸入的階躍幅度不能過大，以免對生產的正常進行產生不利輸入的階躍幅度不能過大，以免對生產的正常進行產生不利影響影響, ,但也不能過小，以防其它干擾影響的比重相對較大而影響但也不能過小，以防其它干擾影響的比重相對較大而影響試驗結果。試驗結果。 一般取階躍變化在正常輸入信號最大幅值的一般取階躍變化在正常輸入信號最大幅值的5%10%之間，之間，多取多取10%。 控制器控制器被控過程被控過程測量變送測量變送+-ryuym調節(jié)閥

33、調節(jié)閥信號發(fā)生器信號發(fā)生器記錄儀記錄儀實驗信號的測取框圖實驗信號的測取框圖二、模型結構的確定二、模型結構的確定在完成階躍響應試驗后，應根據試驗所得的響應曲線確定模型的結構在完成階躍響應試驗后，應根據試驗所得的響應曲線確定模型的結構 對于大多數過程，數學模型和傳對于大多數過程，數學模型和傳遞函數分別為遞函數分別為: :- s00( )e1KG sT s012( )(1)(1)KG sT sT s- s012( )e(1)(1)KG sTsTs00( )1KG sT s一階慣性一階慣性一階慣性一階慣性+ +純滯后純滯后 二階慣性二階慣性+ +純滯后純滯后 二階慣性二階慣性 對于某些無自衡特性過程，

34、對于某些無自衡特性過程， 其對應的傳遞函數為：其對應的傳遞函數為：01( )G sT s- s01( )eG sT s121( )(1)G sTs T s- s121( )e(1)G sTs T s注意：注意： 對于更高階或其它較復雜的系統，應在保證辨識精度的前提下，對于更高階或其它較復雜的系統，應在保證辨識精度的前提下，數學模型結構應盡可能簡單數學模型結構應盡可能簡單 )1()(000sTKsG直角坐標圖解法直角坐標圖解法如果過程的階躍響應曲線在如果過程的階躍響應曲線在t=0時曲線的斜率最大，隨后斜率時曲線的斜率最大，隨后斜率逐漸減小，當上升到穩(wěn)態(tài)值是斜率為零，那么該響應曲線可以逐漸減小，當

35、上升到穩(wěn)態(tài)值是斜率為零，那么該響應曲線可以一階慣性環(huán)節(jié)來近似。一階慣性環(huán)節(jié)來近似。三、模型參數的確定三、模型參數的確定（1 1）確定一階環(huán)節(jié)的參數）確定一階環(huán)節(jié)的參數 一階環(huán)節(jié)參數一階環(huán)節(jié)參數(直角坐標圖解法直角坐標圖解法)1()(000TtexKty設設階躍輸入變化量階躍輸入變化量為為x0 0，一階無時延環(huán)節(jié)的階躍響應為，一階無時延環(huán)節(jié)的階躍響應為以K0 x0/T0為斜率作切線，在t=T0處與y()相交。00)(| )(xKytyt00)(xyK0000|TxKdtdyt)(|000000yxKtTxKTt分分析析過過程程趨于新的穩(wěn)態(tài)：趨于新的穩(wěn)態(tài)： t t=0=0時斜率：時斜率： t t=

36、T=T0 0時響應值：時響應值： 一階環(huán)節(jié)參數一階環(huán)節(jié)參數(直角坐標圖解法直角坐標圖解法)由階躍響應曲線確定由階躍響應曲線確定y() ，再由，再由K0= y()/x0確定確定K0。由由t=0處作切線，其與處作切線，其與y()的交點所對應的時間為的交點所對應的時間為T0 （OB段）段） 。t0 x( )x tOt( )y ( )y tOABT0一階環(huán)節(jié)參數一階環(huán)節(jié)參數(直角坐標圖解法直角坐標圖解法)擴展：由于擴展：由于t=0t=0處，階躍響應的數值小，切線不易確定。處，階躍響應的數值小，切線不易確定。 可以采用三個典型點取值的可以采用三個典型點取值的平均平均來確定來確定T0。t( )y ( )y

37、 tO02T0T02T39%( )y63%( )y86.5%( )y)(%39)2(0yTy)(%63)(0yTy)(%5 .86)2(0yTy三個典型點三個典型點在階躍響應曲線上求得在階躍響應曲線上求得三個狀態(tài)下的時間三個狀態(tài)下的時間t1t1、t2t2、t3t3，不難計算出，不難計算出0T0210322()TttTtt或一般求多個值的平均一般求多個值的平均Time (sec.)AmplitudeStep Response05101520253000.511.522.53 153s0 x)(HTsesTKsG0)1()(000在在t t=0 =0 時斜率幾乎為零，之后斜率逐漸增大，達到某點（稱

38、為時斜率幾乎為零，之后斜率逐漸增大，達到某點（稱為拐點）后斜率又逐漸減小，曲線呈現拐點）后斜率又逐漸減小，曲線呈現S S形狀。形狀。S形曲線（2 2）確定一階時延環(huán)節(jié)的參數）確定一階時延環(huán)節(jié)的參數 純滯后的一階環(huán)節(jié)參數純滯后的一階環(huán)節(jié)參數(圖解法圖解法)( )y t( )y ABCDtOT0拐點純滯后的一階環(huán)節(jié)參數純滯后的一階環(huán)節(jié)參數(計算法計算法)1）轉換）轉換y(t)為相對值：為相對值： 標幺化處理標幺化處理)()()(*ytyty000010)(*tettyTt2）選取兩個不同的時間點：）選取兩個不同的時間點：0020011)(*1)(*21TtTtetyetytO1t2t1)(* ty

39、)(*1ty)(*2ty純滯后的一階環(huán)節(jié)參數純滯后的一階環(huán)節(jié)參數(計算法計算法)4 4）聯立求解）聯立求解3 3）取自然對數）取自然對數0022000110)(1ln)(1lnTttyTtty)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)(1ln201020110202010120tytytyttyttytyttT兩點法常選用的配對點及計算公式兩點法常選用的配對點及計算公式(2.5t1-t2)/1.5(t2-t1)/1.20.8650.552t1-t22(t2-t1)0.6320.3930.3(3t1-t2)1.5(t2-t1)0.6320.284Ty*(t2)y*(t1)純滯后的一階環(huán)

40、節(jié)參數純滯后的一階環(huán)節(jié)參數(計算法計算法) 可多取幾組計算，最后求平均值。如果不同組之間可多取幾組計算，最后求平均值。如果不同組之間獲得的數值相差較大，則說明采用該模型結構不合理，獲得的數值相差較大，則說明采用該模型結構不合理，可以選用二階模型近似?？梢赃x用二階模型近似。補充例題補充例題1 163. 01003 . 6)0()(ryyK5878. 0)10*63. 08 . 21ln()1ln(11KryM7568. 2)10*63. 09 . 51ln()1ln(22KryM利用兩點法，取利用兩點法，取A(20,2.8)和和B(50,5.9)兩點進行計算：兩點進行計算：解：解：補充例題補充例

41、題1 15878. 0)10*63. 08 . 21ln()1ln(11KryM7568. 2)10*63. 09 . 51ln()1ln(22KryM8313.137568. 25878. 020502112MMttT21121250*( 0.5878) 20*( 2.7568)11.870.5878 2.7568t Mt MMM87.11 ,83.13 ,63. 0TK可知其參數為：可知其參數為：（3）確定二階環(huán)節(jié)的參數）確定二階環(huán)節(jié)的參數 012( )(1)(1)KG sTsT s傳遞函數為：傳遞函數為：三個需要確定的參數三個需要確定的參數1,T0K2T的確定與一階環(huán)節(jié)確定方法相同的確定

42、與一階環(huán)節(jié)確定方法相同 0K1T2,T的確定采用的確定采用兩點法兩點法。二階無時延環(huán)節(jié)的輸入、輸出關系為二階無時延環(huán)節(jié)的輸入、輸出關系為 )ee1 ()(2121221100TtTtTTTTTTxKty 含兩個未知數的函數，只要任意求含兩個未知數的函數，只要任意求兩點就可以解出兩點就可以解出T1和和T2，經常取穩(wěn)，經常取穩(wěn)態(tài)值的態(tài)值的40%和和80 % 兩點來計算。兩點來計算。2 . 0ee6 . 0ee22122111212211212211TtTtTtTtTTTTTTTTTTTT求解可得求解可得)55. 074. 1 ()()(16. 2121221212121ttTTTTttTT注意注意

43、：用這種方法確定：用這種方法確定T1和和T2時，應滿足時，應滿足120.320.46tt的條件的條件 因為，因為，說明有一個時間常數遠大于另一個，說明有一個時間常數遠大于另一個，系統可以用一個一階環(huán)節(jié)近似。系統可以用一個一階環(huán)節(jié)近似。00(1)KT s 其中其中1202.12ttT200)1(sTK其中其中12022.16ttT時，應為二階以上環(huán)節(jié)。時，應為二階以上環(huán)節(jié)。 當當120.46ttnsTKsG) 1()(00)55. 074. 1 ()()(16. 2121221212121ttTTTTttTT32.021tt當時021TT46.021tt當時25.0)(22121 TTTT這時這

44、個函數取得極大值的條件是：這時這個函數取得極大值的條件是：T1=T2 ，則用一個二階環(huán)節(jié)近似則用一個二階環(huán)節(jié)近似：對于對于n階環(huán)節(jié)傳遞函數階環(huán)節(jié)傳遞函數nsTKsG) 1()(00nttT16.22100,T可以按可以按近似計算近似計算的大小由下表確定的大小由下表確定12tt其中其中n可以根據可以根據n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75高階過程的高階過程的n與與12tt的關系的關系h ()Othn=1 n=2 n=3 n=4 n=5 容量個數越多（階數容量個數越多（階數n越多），階躍響應曲線上升越慢

45、。越多），階躍響應曲線上升越慢。（4）確定二階時延環(huán)節(jié)的參數）確定二階時延環(huán)節(jié)的參數 二階時延環(huán)節(jié)階躍響應曲線如右圖：二階時延環(huán)節(jié)階躍響應曲線如右圖： 1)1)(e)(210sTsTKsGs傳遞函數為：傳遞函數為：需確定參數需確定參數4個個1,T2T0K,通過拐點通過拐點F作切線作切線, 得純滯后時間得純滯后時間 OA0，容量滯后時間，容量滯后時間 ABC以及以及BDTAEDTC、而總的純滯后時間而總的純滯后時間 00( )yKxC0可以證明：可以證明：21TT與與ACTT的關系為的關系為xxACxxTT1)1 (其中其中12,TxT12CTTT在在CTTT21的約束條件下，可以解得的約束條件

46、下，可以解得1T2T和和這個方程為超越方程，求解比較復雜，通常采用圖解法這個方程為超越方程，求解比較復雜，通常采用圖解法 自學自學圖解法圖解法（5）一階無自衡環(huán)節(jié)參數一階無自衡環(huán)節(jié)參數sesTsG0001)( )y ttOT00 xtan00 xT （6）二階無自衡環(huán)節(jié)參數）二階無自衡環(huán)節(jié)參數saeTssTsG-o)1(1)(微分方程為： )()(d)(dddtxtyttyTtTattytyd)(d)()()(d)(dtxtyTttyTTaa傳遞函數轉換為： saeTsTsXsY11)()(參照具有純滯后環(huán)節(jié)的一階慣性環(huán)節(jié)參數的確定方法，可以求得Ta、T、 nittytyttytyiiii,

47、2 , 1,) 1()()()(有些工藝對象不允許長時間施加較大幅度的擾動，改為施有些工藝對象不允許長時間施加較大幅度的擾動，改為施加脈寬為加脈寬為t的方波脈沖，得到的響應曲線稱為的方波脈沖，得到的響應曲線稱為“方波響應方波響應”。4.3.1.2 4.3.1.2 方波響應曲線法方波響應曲線法方波響應曲線法是在正常輸入的基礎上，施加一方波輸方波響應曲線法是在正常輸入的基礎上，施加一方波輸入，并測取相應輸出的變化曲線，據此估計過程參數。入，并測取相應輸出的變化曲線，據此估計過程參數。 一個是在一個是在t = 0時加入的正階躍信號時加入的正階躍信號x1（t） 另另 一個是在一個是在 t =t 時加入

48、的負階躍信號時加入的負階躍信號x2（t） x（t）= x1（t）+ x2（t）其中，其中， x2（t）= - x1（t -t）原理：方波信號是兩個階躍信號的代數和。原理：方波信號是兩個階躍信號的代數和。tttttxxxx0 x0 x0 根據此式，方波響應根據此式，方波響應可逐點拆分為階躍飛升曲可逐點拆分為階躍飛升曲線線y1（t）和）和 y2（t）。）。 對應的響應也為兩個階躍對應的響應也為兩個階躍響應之和：響應之和： y（t）= y1（t）+ y2（t） = y1（t）- y1（t-t）ty2(t)OtxOO tttx1(t)x2(t)= x1(t-t)txy1(t)y(t)y(t)如圖輸出響

49、應由兩個時間相差如圖輸出響應由兩個時間相差t0、極、極性相反、形狀完全相同的階躍響應疊性相反、形狀完全相同的階躍響應疊加而成。加而成。12110()()()()()yty ty ty ty t t110( )( )()y ty ty tt t=0t0 階躍響應曲線與方波階躍響應曲線與方波響應曲線重合響應曲線重合 t=2t0 時，時，10010(2 )(2 )( )ytyty t依次類推，即可由方波響應曲線依次類推，即可由方波響應曲線求出完整的階躍響應曲線求出完整的階躍響應曲線 10010(3 )(3 )(2 )ytytyt t=0t0 階躍響應曲線與方波響應曲線重合階躍響應曲線與方波響應曲線重

50、合 t=2t0 時，時，10010(2 )(2 )( )ytyty t10010(3 )(3 )(2 )ytytyt補充例題補充例題2 2121111( )( )( )( )(), 10( )( )(10)y th th th th th ty th t解：矩形脈沖可看成兩個相解：矩形脈沖可看成兩個相反方向的階躍作用的代數和，反方向的階躍作用的代數和，因此因此11111111111(1)(1)0.46(3)(3)1.7(4)(4)3.7(5)(5)8(8)(8)19(10)(10)(0)26.4(15)(15)(5)36844(20)(20)(10)33.526.459.9hyhyhyhyhy

51、hyhhyhhyh1111111111111(25)(25)(15)27.24471.2(30)(30)(20)21 59.980.9(40)(40)(30)10.480.991.3(50)(50)(40)5.1 91.396.4(60)(60)(50)2.896.499.2(70)(70)(60)1.1 99.2100.3hyhhyhhyhhyhhyhhyhh1(80)(80)(70)0.5 100.3100.8yh11( )( )(10)h ty th t4 .50208 .100)0()(ryyK5736. 0)2*4 .50441ln()1ln(11KryM6224. 1)2*4 .5

52、09 .801ln()1ln(22KryM3021.146224. 15736. 015302112MMttT7963. 66224. 15736. 0)6224. 1(*15)5736. 0(*30212112MMMtMt利用兩點法，取利用兩點法，取A(15,44)和和B(30,80.9)兩點進行計算：兩點進行計算：可知其參數為：可知其參數為：80. 6 ,30.14 , 4 .50TK。80. 6 ,30.14 , 4 .50TK。4.3.2 4.3.2 最小二乘法最小二乘法最小二乘回歸原理分析：最小二乘回歸原理分析： 例：某市場在例：某市場在t t時刻黃瓜銷量的數據如下時刻黃瓜銷量的數據

53、如下( (其其中中q qt t表示表示t t時刻銷售黃瓜的數量時刻銷售黃瓜的數量, ,單位為單位為: :斤斤,p,pt t表示表示t t時刻的銷售價格時刻的銷售價格, ,單位為單位為: :元）：元）：這是一個確定性關系這是一個確定性關系: :ttp411q若若x x、y y之間的關系是隨機的，例如之間的關系是隨機的，例如tptq概率2.50120.250.500.252.02340.250.500.2501011120.250.500.25這時，方程的形式為這時，方程的形式為 114tttqp 稱為隨機擾動或隨機誤差項.t其中 為隨機變量.t設對設對y y及及x x做做n n次觀測得數據次觀測

54、得數據( (xi ,yi) ) (i=1,2,n ). .以以(xi ,yi)為坐標在平面直角坐標系中描點為坐標在平面直角坐標系中描點, ,所得到的這張所得到的這張圖便稱之為散點圖圖便稱之為散點圖.若散點呈直線趨勢若散點呈直線趨勢,則認為則認為y 與與x的關系可以用一元回歸的關系可以用一元回歸模型來描述模型來描述. 設線性回歸方程為設線性回歸方程為 Y=a+bx+Y=a+bx+ 其中其中: :是隨機誤差是隨機誤差, , N N(0,(0,2 2).).將將(x(xi i,y,yi i) (i=1,2,) (i=1,2,n),n)逐一代入上式逐一代入上式: :), 0(), 2 , 1(, 2

55、, 12Nninibxayiiii獨立同正態(tài)分布二元函數 的最小值點 稱為a,b的最小二乘估計(簡記為OLSE ).),( baQ), ( baniiiniibxaybaQ1212)(),(記n1iii0)bxa(y(2aQn1iiii0 x)bxa(y2bQn1iiin1i2iyxb )x(axnynbxnna,1,111niiniiynyxnx其中所以方程組有解,解得xxxyllbxbya其中n1i2ixx)xx(ln1iiixy)yy()xx(l即最小二乘估計所得回歸方程為xbay()yyb xx回歸直線經過散點幾何中心回歸直線經過散點幾何中心4.3.2 4.3.2 最小二乘法最小二乘法

56、4.3.2.1 4.3.2.1 離散化模型與輸入試驗信號離散化模型與輸入試驗信號1離散化時域模型離散化時域模型如果對被控過程的輸入信號如果對被控過程的輸入信號u(t) ，輸出信號，輸出信號y(t)進行采樣，進行采樣，采樣周期為采樣周期為T 11( )(1)()(1)()abnanbykayka yk nbukb uk n 則相應得到差分方程為則相應得到差分方程為2輸入試驗信號輸入試驗信號（1）輸入試驗信號的條件與要求）輸入試驗信號的條件與要求 1）在辨識時間內被控過程的模態(tài)必須被輸入試驗信號持續(xù)激勵。）在辨識時間內被控過程的模態(tài)必須被輸入試驗信號持續(xù)激勵。 2）輸入試驗信號的功率或幅值不宜過大

57、，也不能太??；）輸入試驗信號的功率或幅值不宜過大，也不能太?。?）輸入試驗信號對過程的）輸入試驗信號對過程的“凈擾動凈擾動”要?。灰?；（2）輸入試驗信號的選?。┹斎朐囼炐盘柕倪x取 白色噪聲作為輸入試驗信號可以保證白色噪聲作為輸入試驗信號可以保證獲得較好的辨識效果，但白色噪聲在獲得較好的辨識效果，但白色噪聲在工程上不易實現工程上不易實現 研究表明，最長線性移位寄存器序列研究表明，最長線性移位寄存器序列（簡稱（簡稱M序列序列）具有近似白色噪聲的）具有近似白色噪聲的性能性能 4.3.2.2 4.3.2.2 最小二乘法最小二乘法e(k)為量測噪聲為量測噪聲 11A zy kB zu ke k1121

58、21,aannA za za za z 其中其中11212,bbnnBzb zb zb z設時不變設時不變SISO動態(tài)系統的數學模型為：動態(tài)系統的數學模型為：11( )(1)()(1)()( )abnanbykayka yk nbukb uk nek 模型改寫為：模型改寫為：已知系統的輸入和輸出序列已知系統的輸入和輸出序列 ( ), ( )u ky k求參數求參數,iia b4.3.2.2 4.3.2.2 最小二乘法最小二乘法將模型寫成最小二乘格式為將模型寫成最小二乘格式為 Ty kh ke k其中其中 12121,1, , , ,abTabTnnh ky ky k nu ku k na aa

59、b bb 11( )(1)()(1)()( )abnanbykayka yk nbukb uk nek 4.3.2.2 4.3.2.2 最小二乘法最小二乘法令令k=n+1,n+N,共共N次觀測，記次觀測，記 (1)(2)()TYynynyn NYHe可得向量形式的方程組：( )(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(1)( )()( )ynyunuynyunuHyn NyN un NuN (1)(2)()Te enenen N4.3.2.3 4.3.2.3 最小二乘問題的解最小二乘問題的解1. 一次完成解法（適用于理論研究一次完成解法（適用于理論研究 ）引入最小二乘準則函數引入最小二乘準則

60、函數 2211LLTkkJeky khk TJY HY H最小二乘估計就是在最小二乘估計就是在殘差二乘方準則函數極小意義下殘差二乘方準則函數極小意義下的最優(yōu)參數估計，的最優(yōu)參數估計，極小化極小化，即可求得參數，即可求得參數( )J的估計值的估計值 。 求偏導，并令其為求偏導，并令其為0即可解得：即可解得： 0TJY HY HTTH HH Y即：當當H列滿秩時有最小二乘估計值：列滿秩時有最小二乘估計值：1()TTLsH HH Y獲得一批輸入獲得一批輸入/輸出數據之后，利用這種方法可一次求得相應的參數輸出數據之后，利用這種方法可一次求得相應的參數估計值，這種處理問題的方法稱為估計值，這種處理問題的