線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置算法研究

1、 本科生畢業(yè)論文 第iii頁 線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置算法研究 摘 要20世紀(jì)50年代后期，控制理論由經(jīng)典控制理論向現(xiàn)代控制理論轉(zhuǎn)變，現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。與經(jīng)典控制理論一樣，現(xiàn)代控制系統(tǒng)中仍然主要采用反饋控制結(jié)構(gòu)，但不同的是，經(jīng)典控制理論中主要采用輸出反饋，而現(xiàn)代控制系統(tǒng)中主要采用內(nèi)部狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋可以為系統(tǒng)控制提供更多的信息反饋，從而實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的控制。閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的分布情況決定于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)品質(zhì)，因此，可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)的要求，規(guī)定閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)所應(yīng)具備的分布情況，把極點(diǎn)的配置作為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)指標(biāo)。這種把極點(diǎn)配置在某位置的過程稱為極點(diǎn)配

2、置。在空間狀態(tài)法中，一般采用反饋系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的方法，來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。本論文對(duì)線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置的算法進(jìn)行了研究，分別以具有穩(wěn)定裕度和具有圓域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)為例，利用線性矩陣不等式lmi處理方法，編寫系統(tǒng)的matlab仿真程序。最后以同樣的方法對(duì)不確定系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置進(jìn)行了研究，結(jié)果證明了設(shè)計(jì)方法的正確性和有效性。關(guān)鍵詞：線性系統(tǒng)；狀態(tài)反饋；極點(diǎn)配置；線性矩陣不等式；不確定系統(tǒng)algorithmic research for regional poleassignment of linear system via state feedback c

3、ontrollers abstract in the late 1950s, control theory later by classical control theory to modern control theory shift, modern control theory is introducing state and state space concept developed on the basis of. as with classical control theory, modern control system still mainly uses the feedback

4、 control structure, but different is, classical control theory mainly uses the output feedback, and modern control system mainly uses the internal state feedback. state feedback control for system provide more information feedback, so as to achieve better control.the distribution of closed-loop syst

5、em poles depends on system stability and dynamic quality, therefore, can according to the system dynamic quality request, provisions that poles of close-loop system should have the distribution of the pole, configuration of the system dynamic quality indicators. the position of the poles in the proc

6、ess called poles. in space, the general state method in the feedback system state variables or output variable method to achieve system poles. this thesis studied the algorithm of linear system state feedback regional poles, and respectively by the state feedback controller design of stability margi

7、n ofand has round domain constraints as examples, by using the linear matrix inequality lmi treatment methods, writing matlab simulation program of system. finally in the same way the uncertain system state feedback regional poles are studied, and the result shows the design method is correct and ef

8、fective.key words：linear system；state feedback；pole placement；lmi；uncertain system 目 錄摘要.abstract.1 緒 論11.1 課題背景及意義11.2 極點(diǎn)配置簡(jiǎn)介11.3 本論文研究的主要工作22 理論基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備32.1 區(qū)域極點(diǎn)配置問題32.2 狀態(tài)反饋42.3 線性矩陣不等式lmi62.3.1 線性矩陣不等式lmi基本變換引理72.3.2 lmi工具箱介紹82.4 本章小結(jié)103 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置算法研究113.1 精確極點(diǎn)配置113.1.1 問題描述113.1.2 算法步驟123

9、.1.3 仿真分析123.2 具有穩(wěn)定裕度的區(qū)域極點(diǎn)配置153.2.1 問題描述163.2.2具有穩(wěn)定裕度的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)163.2.3程序清單173.2.4仿真結(jié)果183.3具有圓域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)213.3.1 問題描述213.3.2具有圓域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)213.3.3 程序清單223.3.4仿真結(jié)果233.4 本章小結(jié)264 線性不確定系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置算法研究274.1 不確定性274.2線性不確定系統(tǒng)區(qū)域極點(diǎn)配置274.2.1 問題描述274.2.2 不確定系統(tǒng)區(qū)域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)284.2.3 仿真分析304.3 本章小結(jié)32結(jié) 論3

10、3致 謝34參考文獻(xiàn)35 本科生畢業(yè)論文 第35頁 1 緒 論1.1 課題背景及意義在20世紀(jì)50年代蓬勃興起的航天技術(shù)的推動(dòng)下，1960年前后開始了從經(jīng)典控制理論到現(xiàn)代控制理論的過渡，其中一個(gè)重要標(biāo)志就是卡爾曼系統(tǒng)地將狀態(tài)空間概念引入到控制理論中來?，F(xiàn)代控制理論正是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，其研究問題的方法主要有時(shí)域狀態(tài)空間分析法，線性二次型最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器法（linear quadratic regulator，簡(jiǎn)記為lqr），狀態(tài)觀測(cè)器控制法，李雅普諾夫（laypunov）穩(wěn)定性分析法以及極點(diǎn)配置法等1-2。近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的日新月異和工業(yè)生產(chǎn)的高速發(fā)展，使得工程界對(duì)

11、控制的要求也日益提高，由此極大地推動(dòng)了現(xiàn)代控制理論的發(fā)展和完善。 在控制理論與實(shí)踐中的一個(gè)基本要求是設(shè)計(jì)反饋控制律，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在指定的位置上，從而保證閉環(huán)系統(tǒng)具有所要求的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性。由于模型的不確定因素和各種擾動(dòng)的存在，使得精確極點(diǎn)配置的控制方式不可能得到真正的實(shí)現(xiàn)。實(shí)際設(shè)計(jì)中只要將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在指定的區(qū)域內(nèi)，就可以使系統(tǒng)獲得滿意的性能。近年來，對(duì)d穩(wěn)定理論的研究十分活躍，利用這一理論研究區(qū)域極點(diǎn)配置問題已取得一些成果，包括最優(yōu)控制、魯棒性、性能、性能等方面3。在對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，首先要考慮的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，而線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與其極點(diǎn)的位置緊密相關(guān)，因此極點(diǎn)配置問題

12、在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中是很重要的。為此，需要根據(jù)分析和設(shè)計(jì)的目的，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定區(qū)域內(nèi)或指定某個(gè)位置。這里需要解決兩個(gè)問題：一個(gè)是建立極點(diǎn)配置的條件，也就是給出受控系統(tǒng)可以利用狀態(tài)反饋而任意地配置其閉環(huán)極點(diǎn)所應(yīng)遵循的條件；另一個(gè)是確定滿足極點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣k的算法。1.2 極點(diǎn)配置簡(jiǎn)介所謂極點(diǎn)配置問題，就是通過反饋矩陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，即閉環(huán)特征方程的特征值恰好處于所希望的一組極點(diǎn)位置上或者是某個(gè)區(qū)域內(nèi)。由于希望的極點(diǎn)具有一定的任意性，因此極點(diǎn)的配置也具有一定的任意性。對(duì)于線性系統(tǒng)而言，其穩(wěn)定性取決于狀態(tài)的零輸入響應(yīng)，因而取決于系統(tǒng)極點(diǎn)的分布，當(dāng)極點(diǎn)的實(shí)部小于零時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的

13、；當(dāng)極點(diǎn)分布在虛軸上時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；當(dāng)極點(diǎn)的實(shí)部大于零時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基本特性也依賴于極點(diǎn)的分布，若系統(tǒng)極點(diǎn)是負(fù)實(shí)數(shù)，則系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)非周期的，按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于極點(diǎn)的分布；若系統(tǒng)極點(diǎn)是具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，則其動(dòng)態(tài)響應(yīng)是衰減振蕩的，振蕩的頻率取決于極點(diǎn)的虛部，而振幅衰減的快慢由極點(diǎn)的實(shí)部決定。因此將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定位置（這主要由綜合問題中更為直觀的性能指標(biāo)，例如時(shí)域形式的過渡過程時(shí)間、超調(diào)量等和頻域形式的增益穩(wěn)定域度、相位穩(wěn)定域度等，通過轉(zhuǎn)換和經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，而具體地加以給出的），可以使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求，從而改善系統(tǒng)的基本特性，具有實(shí)際的理論意義

14、。在現(xiàn)代控制理論中，以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)，引入反饋和補(bǔ)償器將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在指定位置。顯然，解決極點(diǎn)配置問題必須給出可配置條件和相應(yīng)的配置方法。由于在控制理論中，主要的反饋形式有狀態(tài)反饋和輸出反饋兩種。傳統(tǒng)的輸出反饋方法雖然也能改變系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，但有很大的局限性，而采用狀態(tài)反饋方法可以實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置。下面重點(diǎn)對(duì)狀態(tài)反饋形式的極點(diǎn)配置問題行討論。狀態(tài)反饋是控制理論中最基本的反饋形式之一。狀態(tài)反饋就是采用線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成反饋律，進(jìn)而改變系統(tǒng)矩陣，因此狀態(tài)反饋具有改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)屬性和實(shí)現(xiàn)性能指標(biāo)的功能。首先，狀態(tài)反饋的引入不改變系統(tǒng)的能控性，但可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。其次

15、，由于狀態(tài)反饋是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的一種完全的反饋，因此狀態(tài)反饋系統(tǒng)可以獲得良好的動(dòng)態(tài)性能。最后，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)完全可測(cè)時(shí)，狀態(tài)反饋控制器更易于實(shí)現(xiàn)。下面我們給出線性定常系統(tǒng)極點(diǎn)的可配置條件：線性定常系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋任意配置其全部極點(diǎn)的充分必要條件是此系統(tǒng)完全能控。對(duì)于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，可以直接通過系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式求出狀態(tài)反饋增益矩陣。1.3 本論文研究的主要工作本論文是對(duì)線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置算法的研究。其中，第一章簡(jiǎn)單介紹了該課題的背景，使讀者對(duì)極點(diǎn)配置有了基本的理解；第二章主要介紹了線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置的基本理論概念和線性矩陣不等式lmi的相關(guān)內(nèi)容；第三章對(duì)精確極點(diǎn)配置進(jìn)

16、行了分析，重點(diǎn)是對(duì)區(qū)域極點(diǎn)配置的分析與研究；第四章研究對(duì)不確定系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題及不確定系統(tǒng)區(qū)域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)。 2 理論基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)準(zhǔn)備2.1 區(qū)域極點(diǎn)配置問題 在控制理論與實(shí)踐中的一個(gè)基本問題是設(shè)計(jì)反饋控制率，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在所期望的位置上，以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有所要求的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。在最初的極點(diǎn)配置問題研究中，考慮的是精確的極點(diǎn)配置問題，即將閉環(huán)極點(diǎn)配置在復(fù)平面中事先給定的位置。然而，由于模型的不精確性和各種擾動(dòng)的存在，使得這樣一種精確極點(diǎn)配置的控制方式不可能得到真正的實(shí)現(xiàn)。區(qū)域極點(diǎn)配置是指將一個(gè)線性系統(tǒng)的所有極點(diǎn)配置在一個(gè)指定的區(qū)域內(nèi)。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，指定的區(qū)域在左半開復(fù)

17、平面；對(duì)于離散系統(tǒng)，指定的區(qū)域在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。如果記這個(gè)指定區(qū)域?yàn)閐，則區(qū)域極點(diǎn)配置稱為d極點(diǎn)配置。下面介紹將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在左半開復(fù)平面某一區(qū)域內(nèi)的主要目的。線性系統(tǒng)的瞬時(shí)響應(yīng)與它的極點(diǎn)位置緊密相關(guān)，只要將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在復(fù)平面上一個(gè)適當(dāng)區(qū)域內(nèi)，就能保證系統(tǒng)具有一定的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性。以二階系統(tǒng)為例，設(shè)極點(diǎn)為： 其階躍響應(yīng)可由無阻尼自然頻率（或無阻尼振蕩頻率），阻尼比（或相對(duì)阻尼系數(shù)）和阻尼自然頻率完全決定。如果將配置在一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)域內(nèi)，則可保證，和滿足一些給定的界，從而保證系統(tǒng)具有所期望的過渡過程特性。對(duì)于要達(dá)到的控制目的，一個(gè)有意義的區(qū)域是圖2-1中： 將閉環(huán)極點(diǎn)限定在這個(gè)區(qū)域

18、內(nèi)，可保證系統(tǒng)具有最小衰減度，最小阻尼比和最大阻尼自然頻率，這將進(jìn)一步保證系統(tǒng)的最大超調(diào)、振蕩模頻率、衰減時(shí)間、上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間等過渡過程指標(biāo)不超過由，和確定的。 圖2-1 區(qū)域 2.2 狀態(tài)反饋在經(jīng)典控制理論中，利用系統(tǒng)輸出進(jìn)行反饋，構(gòu)成輸出負(fù)反饋系統(tǒng)，可以得到較為滿意的系統(tǒng)性能；減小干擾對(duì)系統(tǒng)的影響；減小被控對(duì)象參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。因此輸出反饋得到了廣泛的應(yīng)用，在現(xiàn)代控制理論中，為了達(dá)到希望的控制要求，也采用反饋控制方法來構(gòu)成反饋系統(tǒng)，多數(shù)控制系統(tǒng)都采用基于反饋控制構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)。反饋系統(tǒng)的特點(diǎn)是對(duì)內(nèi)部參數(shù)變化和外部環(huán)境影響具有良好的抑制作用。反饋的基本類型包括狀態(tài)反饋和輸出反饋。

19、狀態(tài)反饋是以系統(tǒng)狀態(tài)為反饋?zhàn)兞康囊活惙答佇问?。狀態(tài)反饋不增加系統(tǒng)新的狀態(tài)變量，對(duì)系統(tǒng)輸入矩陣無影響，狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。下面針對(duì)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)，就狀態(tài)反饋的相關(guān)問題進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論。（1） 狀態(tài)反饋的構(gòu)成 對(duì)連續(xù)時(shí)間線性定常受控系統(tǒng)，狀態(tài)反饋的構(gòu)成可用圖2-2所示的方塊圖表示，其中，狀態(tài)x通過反饋矩陣k被回饋到系統(tǒng)輸入端，v為系統(tǒng)參考輸入?？紤]到反饋矩陣k為常數(shù)陣而非動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，更確切地應(yīng)稱這類狀態(tài)反饋為靜態(tài)狀態(tài)反饋。 圖2-2 狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖（2）狀態(tài)反饋系統(tǒng)的描述考慮連續(xù)時(shí)間線性定常受控系統(tǒng)，狀態(tài)空間描述為： ：， （2.1） 其中，x為n維狀態(tài)，u為p維輸入，y為q維輸出，a，

20、b和c為相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)陣。由圖2-2可知，狀態(tài)反饋下受控系統(tǒng)的輸入為： （2.2）其中，k為反饋矩陣，v為p維參考輸入。將式（2.2）帶入（2.1），通過簡(jiǎn)單推導(dǎo)，可以導(dǎo)出線性定常狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為： ：， （2.3） 上式表明，引入狀態(tài)反饋的結(jié)果是使系統(tǒng)矩陣變?yōu)椤Ｔ谙到y(tǒng)綜合中，不同的期望性能指標(biāo)歸結(jié)為綜合不同的反饋矩陣k。進(jìn)而，由式（2.3）并利用傳遞函數(shù)矩陣基本關(guān)系式，可以得到線性定常狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為： （3）狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性對(duì)于線性定常狀態(tài)反饋系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)特性可由其系統(tǒng)矩陣的特征值表征，有 特征值，i=1,2,.,n其中，表示相應(yīng)矩陣的特征值。系統(tǒng)綜合實(shí)質(zhì)上就是

21、通過引入適當(dāng)狀態(tài)反饋矩陣k使閉環(huán)系統(tǒng)特征值位于復(fù)平面上期望位置。 對(duì)于連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)反饋保持能控性，但是不一定保持能觀測(cè)性。狀態(tài)反饋為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的完全反饋，在物理上是不能構(gòu)成的。2.3 線性矩陣不等式lmi線性矩陣不等式lmi（linear matrix inequality）的研究最早可以追溯到1892年。李亞普諾夫矩陣不等式實(shí)際上就是一個(gè)線性矩陣不等式lmi，任意給定一個(gè)對(duì)稱正定矩陣p，求解李亞普諾夫方程，即可得到不等式的一個(gè)可行解4?？刂浦械暮芏鄦栴}，由于復(fù)雜性的增加而不可能直接給出問題求解的解析表達(dá)式，但卻可以將問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式求解。因此，線性矩陣不等式的求解在控

22、制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中的地位是舉足輕重的。1995年，mathworks公司在其軟件matlab中推出了求解線性矩陣不等式問題的lmi工具箱，從而使得人們能夠更加方便和有效地處理和求解線性矩陣不等式，進(jìn)一步推動(dòng)了lmi方法在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中的應(yīng)用。到目前為止，lmi在控制中應(yīng)用主要具有以下特點(diǎn)。一是通用性，即一類系統(tǒng)分析與綜合的問題可以通過lmi的形式來解決，并且可以方便的添加約束條件；二是可解性，雖然我們通常不能找找一個(gè)系統(tǒng)或控制問題的解析解，但是如果要計(jì)算的問題具有凸函數(shù)的形式，可以得到有效的解決，大量的系統(tǒng)分析與綜合問題都可以用lmi的形式表示，根據(jù)有界實(shí)引理，最終轉(zhuǎn)化為可解的凸問題?；?/p>

23、這兩點(diǎn)，用lmi求解魯棒性問題已發(fā)展成比較成熟的技術(shù)。lmi方法以其高效的求解算法和能獲得全局最優(yōu)解的特點(diǎn)，已引起控制界的關(guān)注，成為魯棒控制分析與設(shè)計(jì)的重要方法。 在控制工程中，許多控制問題尤其是魯棒控制問題，都可轉(zhuǎn)化成一種稱為線性矩陣不等式或帶有線性矩陣不等式限制條件的最優(yōu)化問題的求解。線性矩陣不等式一般形式如下： （2.4） 其中是變量，i=0，1，.m，是已知的實(shí)對(duì)稱陣。 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常遇到的lmi并不呈現(xiàn)式（2.4）的形式，其中變量不是向量而是一個(gè)（或多個(gè)）實(shí)矩陣，但它可以等價(jià)地轉(zhuǎn)化成式（2.4）形式。線性矩陣不等式的求解一般可歸結(jié)為下列三類問題：一、 可行性問題 求使得 （2.5）

24、二、 具有線性矩陣不等式限制條件的線性規(guī)劃問題 滿足于 （2.6）三、 具有線性矩陣不等式限制條件的廣義特征值最小化問題 滿足于 （2.7） 在控制理論中，大多數(shù)控制問題都可以轉(zhuǎn)化成上述三種矩陣不等式問題中一種。2.3.1 線性矩陣不等式lmi基本變換引理在許多系統(tǒng)與控制問題中，我們需要將一些非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式，這時(shí)常常用到矩陣的schur補(bǔ)性質(zhì)。考慮對(duì)稱矩陣，且 （2.8）假定非奇異，則稱為s11在s中的schur補(bǔ)。以下引理給出了矩陣的schur補(bǔ)性質(zhì)。 引理2.1：（schur complement） 對(duì)于給定的對(duì)稱矩陣，以下三個(gè)條件等價(jià)：（1）（2） （3） 在一些控

25、制問題中，經(jīng)常遇到二次矩陣不等式： （2.9）其中，a，b，是給定的適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，是對(duì)稱矩陣變量，則應(yīng)用引理2.1上述矩陣不等式的可行性問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的矩陣不等式 （2.10）的可行性問題，而后者是一個(gè)關(guān)于矩陣變量的線性矩陣不等式。該引理用于矩陣不等式的等價(jià)變換。2.3.2 lmi工具箱介紹 在 60 年代，已經(jīng)提出了線性矩陣不等式，但由于求解形如式（2.5）（2.7）所描述的線性矩陣不等式的算法還不夠成熟。再加上求解量大，因而線性矩陣不等式在實(shí)際中未得到充分應(yīng)用。近幾年來，由于線性矩陣不等式的理論不斷完善，求解算法也不斷成熟，加上計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，線性矩陣不等式的求解變得很方便

26、，因此線性矩陣不等式在實(shí)際工程中尤其在控制工程理論中得到廣泛的應(yīng)用。線性矩陣不等式（lmi）工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的一個(gè)高性能軟件包。由于其面向結(jié)構(gòu)的線性矩陣不等式方式，使得各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩陣的形式加以描述。一個(gè)線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行數(shù)值求解。 由于用線性矩陣不等式求解控制理論中的問題是當(dāng)今控制理論發(fā)展的一個(gè)重要方向，因此出現(xiàn)了許多計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件，其中以美國mathsworks inc公司用c語言開發(fā)的matlab軟件最為流行；到目前為止，已相繼推出了幾個(gè)版本，其中在matlab5.3、matlab6.0

27、、matlab7.0 等版本中，增加了用于求解線性矩陣不等式的線性矩陣不等式控制工具箱。線性矩陣不等式工具箱提供了在魯棒控制設(shè)計(jì)中所遇到的最優(yōu)化問題的解，同時(shí)給出了一個(gè)用于求解線性矩陣不等式的集成環(huán)境。由于這個(gè)工具箱功能強(qiáng)大和友好的用戶界面，因此可以開發(fā)自己的應(yīng)用程序。lmi工具箱提供了確定、處理和數(shù)值求解線性矩陣不等式的一些工具，它們主要用于：（1）以自然塊矩陣形式來直接描述線性矩陣不等式；（2）獲取關(guān)于現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)；（3）修改現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)；（4）求解三個(gè)一般的線性矩陣不等式問題；（5）驗(yàn)證結(jié)果。下面我們介紹lmi工具箱中的幾個(gè)重要函數(shù)：（1）setlmis（ ）：初

28、始化的lmi系統(tǒng)。（2）lmivar（type，struct）：增加新的矩陣變量x到當(dāng)前的lmi系統(tǒng)中。其中，type (類型）：根據(jù)變量x的不同類型設(shè)置（13），1表示矩陣變量x為對(duì)稱塊對(duì)角陣，2表示矩陣變量x為滿秩陣，3表示矩陣變量x為其它；struct（結(jié)構(gòu)）：若type=1,則struct的第i行描述x的第i個(gè)塊對(duì)角陣，其中struct（i，1）代表塊的大小，struct（i，2）代表塊的性質(zhì)，如果是尺度塊t*i，則struct（i，2）取0，如果是滿塊，則取1，如果是0塊，則取-1。若type=2，假如x是矩陣，則struct=m，n。若type=3,則struct是一個(gè)與x同維的矩

29、陣，其中，struct（i，j）取值為：當(dāng)x（i，j）=0，struct（i，j）=0，當(dāng)x（i，j）為第n個(gè)待求變量時(shí)，struct（i，j）=+n，當(dāng)x（i，j）為第n個(gè)待求變量乘上（-1）時(shí)，struct（i，j）=-n。（3）lmiterm（termid，a，b，flag）：給定前描述的lmi系統(tǒng)中的某個(gè)lmi增加一項(xiàng)。其中，termid為4輸入向量，用來指定項(xiàng)的位置和性質(zhì)。對(duì)于termid（1）：若該項(xiàng)位于第n個(gè)lmi的左邊，則termid（1）=+n，若該項(xiàng)位于第n個(gè)lmi的右邊，則termid（1）=-n。對(duì)于termid（2：3）：若該項(xiàng)屬于lmi的第（i，j）塊，則termi

30、d（2：3）=i，j，若該項(xiàng)屬于外部因子，則termid（2：3）=0 0。對(duì)于termid（4）：若該項(xiàng)屬于常數(shù)項(xiàng)，則termid（4）=0，若該項(xiàng)屬于變量項(xiàng)，則termid（4）=m，若該項(xiàng)屬于變量項(xiàng)：termid（4）=-m，其中，m為由函數(shù)lmivar返回的變量x的標(biāo)識(shí)。a可以是外部因子，常數(shù)項(xiàng)或者變量項(xiàng)或的左系數(shù)，b是變量項(xiàng)或的右系數(shù)。flag：設(shè)置flag=s，在一個(gè)lmiterm函數(shù)內(nèi)快捷定義表達(dá)式。（4）lmis=getlmis：如果系統(tǒng)已經(jīng)用lmivar和lmiterm進(jìn)行了完整描述，則返回這個(gè)lmi系統(tǒng)的內(nèi)部描述lmis。內(nèi)部描述lmis能夠直接傳遞到求解工具或者其它lmi

31、-lab函數(shù)中去。（5），xfeas=feasp（lmis，options，target）：求解lmi系統(tǒng)定義的線性矩陣不等式約束條件問題的可行解。如果問題是可解的，則輸出xfeas將是待求向量的可行值。給定的可解性問題，解決凸優(yōu)化過程：對(duì)：求：minimize t如果lmi系統(tǒng)可解，則極小化值將是負(fù)的。feasp在每次迭代過程中給出t的當(dāng)前最佳值。lmis：lmi約束的描述；options（選擇項(xiàng)）：控制參數(shù)的5輸入向量。target（選擇項(xiàng)）：的目標(biāo)值（缺省值=100）。一旦target，則代碼終止。：終止時(shí)的。而且僅當(dāng)lmi系統(tǒng)是可解的，。xfeas：相應(yīng)的極小化值，如果，xfeas將是

32、lmi約束的一個(gè)可行向量。使用dec2mat可以從xfeas取出相應(yīng)的矩陣變量的值.（6）copt，xopt=mincx（lmis，c，options，xinit，target）：針對(duì)約束，極小化。其中，x是待求變量。lmis：lmi約束的系統(tǒng)描述；c：與x同維的向量；options（選擇項(xiàng)）：控制參數(shù)的5輸入向量；xinit（選擇項(xiàng)）：x的初始值。target（選擇項(xiàng)）：目標(biāo)值，一旦可行的x找到，即：target，中斷迭代；copt：目標(biāo)的極小化值；xopt：待求變量x的極小化值。使用dec2mat可以從xopt取出相應(yīng)的矩陣變量的值。（7），xopt=gevp（lmis，nlfc，opti

33、ons，target）：求解廣義特征值最小化問題。對(duì)lmi約束，以及 （j=1,.,nlfc），求minimize t。這里x表示待求變量。正定約束必須很好限定，涉及t的lmis必須最后限定。lmis：lmi約束的系統(tǒng)描述；nlfc：涉及t的lmis的數(shù)目；options（選擇項(xiàng)）：控制參數(shù)的5輸入向量；，（選擇項(xiàng)）：t，x的初始值；target（選擇項(xiàng)）：的目標(biāo)值，只要t小于這個(gè)值，則代碼終止；：t的最小值；xopt：待求變量x的極小化值。使用dec2mat可以從xopt取出相應(yīng)的矩陣變量的值。2.4 本章小結(jié)本章通過線性矩陣不等式算法（lmi）、基礎(chǔ)和工具箱三方面，對(duì)lmi的一般形式、可解

34、決問題的分類以及應(yīng)運(yùn)軟件等方面內(nèi)容進(jìn)行了分析。線性矩陣不等式做為有效解決系統(tǒng)的魯棒控制問題及其控制理論中引起的其它控制問題的方法，在當(dāng)今社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，隨著各行業(yè)的飛速發(fā)展，理論的進(jìn)一步完善，lmi應(yīng)用的普遍性亦可得到證實(shí)。3 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置算法研究3.1 精確極點(diǎn)配置對(duì)于線性系統(tǒng)而言，其穩(wěn)定性取決于狀態(tài)的零輸入響應(yīng)，因而取決于系統(tǒng)極點(diǎn)的分布，當(dāng)極點(diǎn)的實(shí)部小于零時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)極點(diǎn)分布在虛軸上時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；當(dāng)幾點(diǎn)的實(shí)部大于零時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基本特性也依賴于極點(diǎn)的分布，若系統(tǒng)極點(diǎn)是負(fù)實(shí)數(shù)，則系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)非周期的，按指數(shù)規(guī)律

35、衰減，衰減的快慢取決于極點(diǎn)的分布；若系統(tǒng)極點(diǎn)是具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，則其動(dòng)態(tài)響應(yīng)是衰減振蕩的，振蕩的頻率取決于極點(diǎn)的虛部，而振幅衰減的快慢由極點(diǎn)的實(shí)部決定。因此將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定位置，可以使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求，從而改善系統(tǒng)的基本特性，具有實(shí)際的理論意義。 3.1.1 問題描述 在極點(diǎn)配置方法中為使全部的閉環(huán)極點(diǎn)位于期望的位置上，需要反饋全部的狀態(tài)變量。但在實(shí)際系統(tǒng)中，不可能測(cè)量到全部的狀態(tài)變量，為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，利用狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)位置的狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)是十分必要的。給定線性定常系統(tǒng)為： （3.1） 選取 （3.2）式中，x為n維狀態(tài)向量；u為p維狀態(tài)向量；a和b為相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)陣。若給定n

36、個(gè)反饋性能的期望閉環(huán)極點(diǎn)為 （3.3）則極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)問題就是確定一個(gè)狀態(tài)反饋增益矩陣k，使?fàn)顟B(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) （3.4）的極點(diǎn)為，即 （3.5）其中，表示的特征值。3.1.2 算法步驟 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控時(shí)，可以通過狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到復(fù)平面的任何位置。極點(diǎn)配置有兩種方法：第一種方法是采用變換矩陣t，使系統(tǒng)具有期望的極點(diǎn)，從而求出矩陣k；第二種方法基于caylay-hamilton理論，通過矩陣特征多項(xiàng)式，求出k（稱為ackermann公式）5。（1） 矩陣變換法極點(diǎn)配置步驟：第1步 檢查系統(tǒng)的可控性，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)可控（在matlab中可以用 實(shí)現(xiàn)），其中cam為可控性矩陣；第2步 確定系統(tǒng)

37、矩陣a的特征多項(xiàng)式系數(shù)：（在matlab中可用poly函數(shù)實(shí)現(xiàn)）；第3步 確定變換矩陣t：（在matlab中hankd（）函數(shù)用于計(jì)算）；第4步 確定期望特征多項(xiàng)式系： 第5步 求增益矩陣k： 。（2） ackermann公式極點(diǎn)配置步驟：第1步 檢查系統(tǒng)的可控性，當(dāng)；第2步 確定系數(shù)；第3步 求；第4步 求增益矩陣k：。3.1.3 仿真分析matlab控制系統(tǒng)工具箱提供了進(jìn)行極點(diǎn)配置的函數(shù)acker（）和place（），它們的調(diào)用格式如下：k=acker（a，b，p）k=place（a，b，p）其中，k為狀態(tài)反饋矩陣，p為希望配置的極點(diǎn)位置，acker函數(shù)用于siso系統(tǒng)的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)，pl

38、ace函數(shù)用于mimo系統(tǒng)的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)。 對(duì)于已知系統(tǒng)（3.1）假設(shè)其參數(shù)分別為： ，。希望的閉環(huán)極點(diǎn)為，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣k，并計(jì)算當(dāng)系統(tǒng)初始條件為時(shí)的響應(yīng)。用matlab控制系統(tǒng)工具箱提供的place函數(shù)和acker函數(shù)進(jìn)行極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的程序如下：clear all;close all;a=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3 ; b=0;0;1;if rank(ctrb(a,b)=3 p=-2+j*sqrt(3),-2-+j*sqrt(3),-10;k=acker(a,b,p); sys_new=ss(a-b*k,b,eye(3),zeros(3,1)t=0:0.1:5;y=init

39、ial(sys_new,1;0;0,t); figure(1)plot(t,y(:,1);gridxlabel(t);ylabel(x1);title(initial response);figure(2)plot(t,y(:,2);gridxlabel(t);ylabel(x2);title(initial response);figure(3) plot(t,y(:,3);gridxlabel(t);ylabel(x3);title(initial response);grid else message(this system not controllable,can not pole a

40、llocation)end運(yùn)行結(jié)果如下：狀態(tài)反饋矩陣 k=70 45 11對(duì)應(yīng)的控制律為 各狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線如下圖3-1（a，b，c）所示。 圖3-1（a）變量下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線 圖3-1（b）變量下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線 圖3-1（c）變量下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線 圖3-1 各狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線3.2 具有穩(wěn)定裕度的區(qū)域極點(diǎn)配置在對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，首先要考慮的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，而線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與其極點(diǎn)的位置緊密相關(guān)。在綜合考慮系統(tǒng)的各種性能時(shí)，如果系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定位置，則不能滿足系統(tǒng)綜合的要求，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定區(qū)域內(nèi)。因此，d極點(diǎn)配置問題是一個(gè)具有實(shí)際意義和吸

41、引力的研究領(lǐng)域6。事實(shí)上，只要將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在復(fù)平面上的一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)域中，就可以保證系統(tǒng)具有一定的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性。對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，一些感興趣的區(qū)域有:保證狀態(tài)響應(yīng)具有衰減度的半平面（）、垂直條狀區(qū)域、圓盤、扇形區(qū)域等。gutman和jury（1981）針對(duì)一類相當(dāng)一般的區(qū)域和一個(gè)給定的正方矩陣，用含有一個(gè)矩陣變量的矩陣方程的可行性給出了該矩陣的所有特征值均在所考慮的區(qū)域中的充分必要條件。下面介紹一類可以用一個(gè)線性矩陣不等式刻畫的區(qū)域，稱為lmi區(qū)域?？梢宰C明，一個(gè)矩陣的特征值均在這樣一個(gè)lmi區(qū)域中的充分必要條件是一個(gè)適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式是可行的，從而可以借助求解線性矩陣不等式的有效方

42、法來方便地求解系統(tǒng)極點(diǎn)的分析和區(qū)域極點(diǎn)配置問題。3.2.1 問題描述 對(duì)于已知系統(tǒng)（3.1）假設(shè)其參數(shù)分別為： ，。希望閉環(huán)極點(diǎn)均配置在s=-1線的左側(cè)，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣k，當(dāng)系統(tǒng)初始條件為時(shí)，畫出其零輸入響應(yīng)曲線及系統(tǒng)的極點(diǎn)分布圖。3.2.2具有穩(wěn)定裕度的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì) 具有穩(wěn)定裕度的控制系統(tǒng)滿意控制，即期望設(shè)計(jì)這樣一個(gè)控制器，使其閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)均位于s平面的s線左側(cè)，其中，這樣的控制策略被稱之為穩(wěn)定裕度設(shè)計(jì)。 引理3.1：矩陣a的所有特征值均在區(qū)域中的充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣 使得下式成立： （3.6）對(duì)于系統(tǒng)（3.1），我們希望尋求一個(gè)狀態(tài)反饋控制 （3.7） 將閉環(huán)系統(tǒng)

43、的極點(diǎn)配置在區(qū)域內(nèi)，由引理3.1不難得出如下推論： 推論3.1：系統(tǒng)（3.1）在狀態(tài)反饋（3.7）控制下，其閉環(huán)系統(tǒng)所有極點(diǎn)在復(fù)平面區(qū)域內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)以下lmi： （3.8）有矩陣解和q。其中，k為狀態(tài)反饋增益矩陣。 證明：將式（3.6）中的矩陣a替換成得 整理得 令，則上式為：故推論3.1成立。下面給出線性定常系統(tǒng)區(qū)域極點(diǎn)配置的算法步驟：（1）根據(jù)對(duì)系統(tǒng)性能的要求，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，即確定區(qū)域；（2）應(yīng)用matlab工具箱求解推論3.1中的線性矩陣不等式（3.8），得到x和q；（3）利用公式，求出狀態(tài)反饋增益矩陣；（4）得出控制律，作用于系統(tǒng)。3.2.3程序清單 根據(jù)3.2.2小節(jié)中提出的具有穩(wěn)

44、定裕度的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法，下面利用matlab的lmi工具箱為上述系統(tǒng)進(jìn)行仿真，程序如下：clear all;close all;a=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3b=0;0;1;c=1,0,0a=2;setlmis();lmivar(1,length(a),1);lmivar(2,1,3);lmiterm(1,1,1,1,2*a,1);lmiterm(1,1,1,1,a,1,s);lmiterm(1,1,1,2,-b,1,s);lmiterm(2,1,1,1,-1,1);lmis=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmis);x=dec2mat(lmis,xfe

45、as,1)y=dec2mat(lmis,xfeas,2)k=y*inv(x)aa=a-b*k;sys=ss(aa,b,c,0);t=0:0.1:10;x0=0.5;0.3;0.2;y,t,x=initial(sys,x0,t);figure(1)plot(t,x(:,1);gridxlabel(t);ylabel(x1);title(initial response);figure(2)plot(t,x(:,2);gridxlabel(t);ylabel(x2);title(initial response);figure(3)plot(t,x(:,3);gridxlabel(t);ylabe

46、l(x3);title(initial response);p=eig(sys);xx=real(p);yy=imag(p);figure(4)plot(xx,yy,*),hold onhold on;x=-2*ones(1000,1);y=linspace(-5,5,1000);plot(x,y,r)3.2.4仿真結(jié)果通過以上程序運(yùn)行結(jié)果如下：狀態(tài)反饋矩陣 k=97.8377 58.1864 7.9723對(duì)應(yīng)的控制律為 各狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線如圖3-2（a，b，c）所示，系統(tǒng)的極點(diǎn)分布如圖3-3所示。 圖3-2（a）變量下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線 圖3-2（b）變量下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線

47、圖3-2（c）變量下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線 圖3-2 各狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線 圖3-3 系統(tǒng)的極點(diǎn)分布圖從圖3-3可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)都位于左復(fù)半平面=-2左側(cè)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。3.3具有圓域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)用滿意控制思想解決實(shí)際工程問題時(shí)，常常要將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望的區(qū)域內(nèi)，以使系統(tǒng)有著滿意的動(dòng)態(tài)性能。圓域極點(diǎn)配置是指將一個(gè)系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)配置在一個(gè)給定的圓域內(nèi)。眾所周知，線性系統(tǒng)的瞬時(shí)響應(yīng)與其極點(diǎn)的位置密切相關(guān)，只有將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在一個(gè)合適的圓域內(nèi)，就能保證系統(tǒng)具有一定的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。3.3.1 問題描述 對(duì)于已知系統(tǒng)（3.1）假設(shè)其

48、參數(shù)分別為： ，。希望的閉環(huán)極點(diǎn)配置在以-2為圓心，半徑為2的圓內(nèi)，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣k，當(dāng)系統(tǒng)初始條件為時(shí)，畫出其零輸入響應(yīng)曲線及系統(tǒng)的極點(diǎn)分布圖。3.3.2具有圓域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì) 引理3.2：設(shè)a是任一方陣，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣，使得 （3.9）成立，其中表示矩陣的特征值。對(duì)于系統(tǒng)（3.1），我們希望尋求一個(gè)狀態(tài)反饋控制 將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在區(qū)域s（q，r）內(nèi)，由引理3.2不難得出如下推論： 推論3.2：系統(tǒng)（3.1）在狀態(tài)反饋（3.9）控制下，其閉環(huán)系統(tǒng)所有極點(diǎn)在復(fù)平面區(qū)域s（q，r）內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)以下lmi： （3.10）有矩陣解和y。其中，k為狀態(tài)反饋增益矩陣。 證明：將式

49、（3.9）中的矩陣a替換成得 整理并引入一個(gè)新的變量，可知推論成立。下面給出線性定常系統(tǒng)區(qū)域極點(diǎn)配置的算法步驟：（1）根據(jù)對(duì)系統(tǒng)性能的要求，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，即確定區(qū)域s（q，r）；（2）應(yīng)用matlab工具箱求解推論3.2中的線性矩陣不等式（3.10），得到x和y；（3）利用公式，求出狀態(tài)反饋增益矩陣；（4）得出控制律，作用于系統(tǒng)。3.3.3 程序清單 根據(jù)3.3.2小節(jié)中提出的具有圓域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法，下面利用matlab的lmi工具箱為上述系統(tǒng)進(jìn)行仿真，程序如下：clear all;close all;a=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3b=0;0;1;c=1,0,0r=2;q=2;setlmis();x=lmivar(1,length(a),1);y=lmivar(2,1,3);lmiterm(1,1,1,1,-r,1);lmiterm(1,2,2,1,-r,1);lmiterm(1,1,2,1,a+q*eye(3),1);lmiterm(1,1,2,2,-b,1);lmis=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmis);x=dec2mat(lmis,xfeas,1)y=dec2mat(lmis,xfe