2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用教學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用講一講1單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置的距離s（單位：cm)和時(shí)間t(單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為s6sin.（1)作出函數(shù)的圖象；(2)當(dāng)單擺開始擺動(dòng)（t0）時(shí),離開平衡位置的距離是多少?(3）當(dāng)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開平衡位置的距離是多少？（4)單擺來回?cái)[動(dòng)一次需多長時(shí)間？嘗試解答(1)利用“五點(diǎn)法可作出其圖象(2）因?yàn)楫?dāng)t0時(shí)，s6sin3，所以此時(shí)離開平衡位置3 cm。(3)離開平衡位置6 cm。（4）因?yàn)閠1,所以單擺來回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為1 s。三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡諧運(yùn)動(dòng)中,其中對(duì)彈

2、簧振子和單擺的運(yùn)動(dòng)等有關(guān)問題考查最多，解決這類問題時(shí)尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法練一練1交流電的電壓e(單位:v）與時(shí)間t(單位：s）的關(guān)系可用e220sin來表示，求：(1）開始時(shí)電壓；（2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔;(3）電壓的最大值和第一次獲得最大值的時(shí)間解：（1)當(dāng)t0時(shí)，e110(v），即開始時(shí)的電壓為110 v。(2)t(s），即時(shí)間間隔為0。02 s.(3)電壓的最大值為220 v，當(dāng)100t,即t s時(shí)第一次取得最大值講一講2心臟跳動(dòng)時(shí),血壓在增加或減少血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓,讀數(shù)120

3、/80 mmhg為標(biāo)準(zhǔn)值設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p（t)11525sin 160t，其中p（t)為血壓（mmhg），t為時(shí)間（min），試回答下列問題：（1）求函數(shù)p（t）的周期；（2）求此人每分鐘心跳的次數(shù)；（3）畫出函數(shù)p（t）的草圖;(4）求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)嘗試解答（1）由于160，代入周期公式t，可得t（min），所以函數(shù)p（t）的周期為 min。(2）每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率f80（次)（3）列表：t0p(t)11514011590115描點(diǎn)、連線并向左右擴(kuò)展得到函數(shù)p（t）的簡圖如圖所示：(4)由圖可知此人的收縮壓為140 mmhg,舒張壓為90 mmhg.（1）在

4、讀題時(shí)把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)建模的過程(2）在解題中，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題，常見形式有：求出三角函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象以及利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題練一練2如圖為一個(gè)纜車示意圖，纜車半徑為4.8 m,圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8 m，60 s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中oa與地面垂直,以oa為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角到ob,設(shè)b點(diǎn)與地面距離是h.+（1)求h與間的函數(shù)解析式;(2)設(shè)從oa開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過t s后到達(dá)ob，求h與t之間的函數(shù)解析式,并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少?解：（1）以圓心o為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則以ox為始邊，o

5、b為終邊的角為，故b點(diǎn)坐標(biāo)為。h5。64.8sin。(2)點(diǎn)a在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是,故t s轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為。h5。64.8sin，t0，)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h10。4 m.由sin1，得t2k，kn，tmin30(s）即纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的時(shí)間最少為30秒講一講3已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度y（米)是時(shí)間t(0t24,單位：時(shí))的函數(shù)，記作：yf(t)下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)t（時(shí))03691215182124y(米)1。51.00.51.01.51.00。50.991.5(1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)yf(t)的函數(shù)解析式；（2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判

6、斷一天內(nèi)上午8：00至晚上20：00之間,有多少時(shí)間可供沖浪愛好者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？嘗試解答（1）由表中數(shù)據(jù)描出各點(diǎn)，并把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來（如圖)，由圖知，可設(shè)f(t)acos tb，并且周期t12，。由t0,y1。5，得ab1.5;由t3，y1.0，得b1.0。a0.5，b1。ycos t1。（2）由題知，當(dāng)y1時(shí)才可對(duì)沖浪愛好者開放，cos t11。cos t0。2kt2k(kz），即12k3t12k3(kz）0t24，故可令中k分別為0，1，2，得0t3或9t15或210，0)，x0，4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為s(3，2)；賽道的后一部分為折線段mnp.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定mn

7、p120。求a，的值和m,p兩點(diǎn)間的距離解：依題意，有a2,3,即t12。又t,。y2sin x，x0，4當(dāng)x4時(shí)，y2sin 3.m（4，3）又p（8,0）,mp5（km)即m、p兩點(diǎn)間的距離為5 km。8在一個(gè)港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時(shí)間相距12 h,低潮時(shí)水的深度為8。4 m,高潮時(shí)為16 m,一次高潮發(fā)生在10月10日4：00.每天漲潮落潮時(shí)，水的深度d（m）與時(shí)間t（h)近似滿足關(guān)系式dasin（t)h.(1）若從10月10日0：00開始計(jì)算時(shí)間，試用一個(gè)三角函數(shù)來近似描述該港口的水深d(m）和時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系;(2）10月10日17：00該港口水深約為多少？(精確到0.1 m）(3）10月10日這一天該港口共有多少時(shí)間水深低于10。3 m?解：（1）依題意知t12，故,h12。2，a1612.23.8，所以d3.8sin12。2；又因?yàn)閠4時(shí),d16,所以sin1，所以，所以d3。8sin12。2.(2）t17時(shí),d3.8sin12。23。8sin 12。215。5（m)(3)令3。8sin12。210。3，有sin，因此2kt2k(kz），所以2kt2k2，kz,所以12k8t12k12。令k0，得t（8，12