基于小孔成像的相機(jī)模型

1、2016西北大學(xué)第二次舊題新作數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和

2、參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開(kāi)展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書(shū)籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫(xiě)錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。） 日期： 2016 年 8 月 14 日

3、賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：一、摘 要 本文研究數(shù)碼相機(jī)的位置標(biāo)定問(wèn)題，在了解相機(jī)成像原理的前提下，對(duì)靶標(biāo)的像運(yùn)用Matlab處理，利用同側(cè)公切線法得到到靶標(biāo)上五個(gè)圓圓心的像坐標(biāo)。再利用坐標(biāo)系的剛性變換解出相機(jī)坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換和平移變換，由此確定相機(jī)對(duì)世界坐標(biāo)系的相對(duì)位置，進(jìn)而得到兩臺(tái)相機(jī)的相對(duì)位置。基于坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，明確四個(gè)坐標(biāo)系：世界坐標(biāo)系（以靶標(biāo)為參照物）、像素平面坐標(biāo)系、像平面坐標(biāo)系和相機(jī)坐標(biāo)系（以相機(jī)的光學(xué)中心為參照）。針對(duì)第一題，假定相機(jī)不動(dòng)，用推導(dǎo)法，將相機(jī)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為像平面坐標(biāo)系，再將像平面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為像素平面坐標(biāo)系，并求其逆矩陣，可將像素坐標(biāo)系

4、轉(zhuǎn)化為相機(jī)坐標(biāo)系。再通過(guò)控制變量法，分別將世界坐標(biāo)系繞其，軸旋轉(zhuǎn)、角度得到坐標(biāo)系Rx、Ry、Rz，相乘后再平移T個(gè)單位，得到相機(jī)坐標(biāo)系。結(jié)合上述兩組轉(zhuǎn)換，可得出世界坐標(biāo)系與像平面坐標(biāo)系的關(guān)系。針對(duì)第二題，在不考慮畸變的情況下，假設(shè)相機(jī)滿足光學(xué)系統(tǒng)中的針孔透視投影原理，圓經(jīng)過(guò)透視攝影之后的像為橢圓，圓的公切線經(jīng)投影后依然為其公切線，我們根據(jù)同側(cè)公切線法的原理，在matlab中先求出五個(gè)橢圓的解析方程，再求出公切線，聯(lián)立后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線方程，確定圓心。圓心坐標(biāo)為（）針對(duì)第三題，在假設(shè)的理想狀況下進(jìn)行操作，必然會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，而又因?yàn)橄鄼C(jī)系統(tǒng)滿足針孔透視投影原理，可以利用一定的映射關(guān)系

5、將像邊緣上的點(diǎn)反向投射到靶標(biāo)上，并對(duì)這些點(diǎn)到圓心的距離進(jìn)行檢驗(yàn)，用方差來(lái)對(duì)模型的精確度和穩(wěn)定度進(jìn)行評(píng)價(jià)。針對(duì)第四題，建立雙目系統(tǒng)模型，根據(jù)像的位置確定相機(jī)1在世界坐標(biāo)系中的位置，再通過(guò)兩相機(jī)的相對(duì)位置，確定兩相機(jī)在世界坐標(biāo)系中的位置。本題未知數(shù)多，約束方程多，信息量比較大，用采用最小二乘法求出最優(yōu)解。關(guān)鍵詞：系統(tǒng)標(biāo)定，同側(cè)公切線，Matlab 二、問(wèn)題重述數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來(lái)定位。對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲

6、得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對(duì)雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過(guò)程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫(huà)若干個(gè)點(diǎn)， 同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對(duì)位置。然而，無(wú)論在物平面或像平面上我們都無(wú)法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫(huà)若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就

7、可實(shí)現(xiàn)。 有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長(zhǎng)為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對(duì)應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓。用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像。請(qǐng)你們：（1） 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024768；（3） 設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ停?/p>

8、并對(duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4） 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。3、 符號(hào)定義與說(shuō)明表1 符號(hào)定義與聲明符號(hào)名稱定義與說(shuō)明Xc相機(jī)坐標(biāo)系x軸Yc相機(jī)坐標(biāo)系y軸Zc相機(jī)坐標(biāo)系z(mì)軸x像平面坐標(biāo)系x軸y像平面坐標(biāo)系y軸u像素坐標(biāo)系u軸v像素坐標(biāo)系v軸世界坐標(biāo)系x軸世界坐標(biāo)系y軸世界坐標(biāo)系z(mì)軸R旋轉(zhuǎn)矩陣Rx繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣Ry繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rz繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣T平移矩陣Txx軸方向的平移矩陣Tyy軸方向的平移矩陣Tzz軸方向的平移矩陣f相機(jī)焦距（像平面到相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離）4、 模型假設(shè)1.在成像時(shí)假設(shè)不發(fā)生畸變2.假設(shè)數(shù)碼相機(jī)中長(zhǎng)寬方向的焦距相等3.假設(shè)

9、數(shù)碼相機(jī)的光軸垂直于像平面4.假設(shè)焦距遠(yuǎn)小于物距，可近似等于像距5、 模型建立與求解5.1 問(wèn)題一5.1.1問(wèn)題分析在相機(jī)的拍攝過(guò)程中，存在四個(gè)重要位置，分別是相機(jī)位置、圖像位置、像素起始位置和物體位置，所以，為方便起見(jiàn)，我們?cè)O(shè)定四個(gè)坐標(biāo)系：相機(jī)坐標(biāo)系、像平面坐標(biāo)系、像素坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系。像平面坐標(biāo)系與像素坐標(biāo)系位置關(guān)系如圖1.求靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)即是要求我們將世界坐標(biāo)系中的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為像素坐標(biāo)系中的點(diǎn)，則本題可以轉(zhuǎn)化為：通過(guò)公式推導(dǎo)求出世界坐標(biāo)系與像素坐標(biāo)系的關(guān)系。5.1.2模型建立與求解在像素坐標(biāo)系中，我們不妨假設(shè)每一個(gè)像素的實(shí)際長(zhǎng)度和寬度分別為和，假設(shè)像平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)在

10、像素坐標(biāo)系中的位置為（，），則在像素坐標(biāo)系中u軸和v軸的位置為：公式1 像素到像平面坐標(biāo)系的關(guān)系式得出這個(gè)公式后我們改用齊次式并把方程用矩陣形式表示：公式2 素到像平面坐標(biāo)系的關(guān)系矩陣 相機(jī)坐標(biāo)系與像平面坐標(biāo)系關(guān)系如圖1。圖1 相機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系關(guān)系圖根據(jù)三角形相似原理，我們有公式3 投影原理式用矩陣表示為：公式4 投影原理矩陣表示 三維空間中， 當(dāng)物體不發(fā)生形變時(shí)，對(duì)一個(gè)幾何物體作旋轉(zhuǎn)、平移的運(yùn)動(dòng)，稱之為剛體變換。因?yàn)槭澜缱鴺?biāo)系和攝像機(jī)坐標(biāo)都是右手坐標(biāo)系，所以其不會(huì)發(fā)生形變。我們想把世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到攝像機(jī)坐標(biāo)下的坐標(biāo)，如下圖所示，可以通過(guò)剛體變換的方式，如圖圖2 剛體變換模型圖

11、二者數(shù)學(xué)變換的公式為，其中R為旋轉(zhuǎn)矩陣，T為平移矩陣。 因其受x,y,z三個(gè)方向上的分量共同控制，所以其具有三個(gè)自由度。R則為分別繞XYZ三軸旋轉(zhuǎn)的效果之和。首先，通過(guò)控制變量，保持不變，使、繞旋轉(zhuǎn)角度。公式5 繞Zw軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系變換方程故，繞的旋轉(zhuǎn)矩陣為：公式6 繞Zw軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系變換矩陣同理，可得繞的旋轉(zhuǎn)、角度的旋轉(zhuǎn)矩陣：公式7 繞Xw、Yw軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系變換矩陣公式8 旋轉(zhuǎn)矩陣與分量旋轉(zhuǎn)矩陣式分別在方向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得平移矩陣：公式9 平移矩陣綜合上述公式得公式10 像素坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系位置關(guān)系5.2問(wèn)題二5.2.1問(wèn)題分析5.2.2模型建立與求解同側(cè)公切線法：對(duì)于兩個(gè)等大的圓

12、作外公切線，其中任何一個(gè)圓的圓心都在該圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線上，該圓圓心在像平面上的像也在兩切點(diǎn)的像的連線上圖3 圓心的像確定原理圖5.3問(wèn)題三5.3.1問(wèn)題分析由于本題是在假設(shè)的理想狀況下進(jìn)行操作，必然會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，而又因?yàn)橄鄼C(jī)系統(tǒng)滿足針孔透視投影原理，圓經(jīng)過(guò)透視攝影之后的像為橢圓，圓的公切線經(jīng)投影后依然為其公切線，我們可以利用切點(diǎn)和切線對(duì)像的圓心進(jìn)行檢驗(yàn)，并用方差來(lái)對(duì)模型的精確度和穩(wěn)定度進(jìn)行檢驗(yàn)，方差越小模型越穩(wěn)定，精確度越高。5.3.2模型建立與求解本文是在理想模型的前提下討論像平面坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系的關(guān)系，然而在現(xiàn)實(shí)情況中，由于各方面因影響，實(shí)際情況可能與模型產(chǎn)生的結(jié)果存在以下誤差：（

13、1）畸變導(dǎo)致誤差本文討論的是通過(guò)剛性變換得出的的模型，并沒(méi)有考慮物體到像產(chǎn)生的畸變。由于透鏡成像和空氣的折射，實(shí)際相機(jī)得到的像都是有畸變的，難免會(huì)對(duì)精度產(chǎn)生影響。（2）對(duì)離散的像素點(diǎn)操作產(chǎn)生誤差被拍攝的物體邊緣是連續(xù)的，然而在數(shù)碼相機(jī)成像后，原來(lái)連續(xù)的點(diǎn)被離散化，再加之使用matlab軟件的操作會(huì)丟失很多圖像邊緣的信息。而同側(cè)公切線求圓心模型嚴(yán)重依賴于圖像的邊緣，離散像素點(diǎn)可能會(huì)造成一定的誤差。（3）模型假設(shè)誤差在大多數(shù)情況下，本文的模型假設(shè)總是近似符合事實(shí)的，也會(huì)產(chǎn)生誤差。 精度檢驗(yàn)可以轉(zhuǎn)換為像上的圖形與靶標(biāo)上的圓的映射關(guān)系的檢驗(yàn)。具體方法是，首先將像上的輪廓的點(diǎn)根據(jù)一定的映射關(guān)系投射到以上

14、模型求得的靶標(biāo)上，然后計(jì)算靶標(biāo)上相應(yīng)的圓心距離這些點(diǎn)的平均距離和方差，平均距離越貼近于靶標(biāo)上圓的半徑，則模型越準(zhǔn)確；方差越小，則模型越準(zhǔn)確。 對(duì)于方法的穩(wěn)定性的討論，那么必須依據(jù)所取半徑的具體大小來(lái)確定，假如所取的半徑過(guò)大，則在將用matlab處理圖像時(shí)，可能出現(xiàn)多個(gè)像素點(diǎn)位于同一行或列，使得尋找切線時(shí)的誤差變大，以致圓心不準(zhǔn)確。假如所取的半徑過(guò)小，圓的像有可能在像平面上只有幾個(gè)像素點(diǎn)，也會(huì)使得尋找切線時(shí)的誤差變大，求得的圓心也不精確。根據(jù)以上分析，若圓的半徑在某范圍內(nèi)，按此方法的計(jì)算的結(jié)果是穩(wěn)定的。否則此方法不穩(wěn)定。5.4問(wèn)題四5.4.1問(wèn)題分析本題要求根據(jù)給出標(biāo)靶求解兩臺(tái)相機(jī)的位置，即可以

15、看作根據(jù)像的位置確定兩相機(jī)在世界坐標(biāo)系中的位置。在問(wèn)題一中我們已經(jīng)求出世界坐標(biāo)系向像素坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化的模型，要求出兩個(gè)相機(jī)的相對(duì)位置，只需再找出兩個(gè)相機(jī)的相對(duì)位置，解出所有未知數(shù)即可。圖4 雙機(jī)系統(tǒng)示意圖5.4.2模型建立與求解首先，求出相機(jī)2相對(duì)于相機(jī)1的相機(jī)坐標(biāo)系的空間關(guān)系。我們假設(shè)相機(jī)1的相機(jī)1坐標(biāo)系為（），相機(jī)2相對(duì)于相機(jī)1坐標(biāo)系的相機(jī)2坐標(biāo)系為（）將相機(jī)1作為參考系，那么相機(jī)2相對(duì)于相機(jī)1的坐標(biāo)為（），相對(duì)方向角為（）。其中，為軸在面上的投影與的夾角，為軸在面上的投影與的夾角，為軸在面上的投影與的夾角。由于相機(jī)1坐標(biāo)系可以由相機(jī)2坐標(biāo)系可以經(jīng)過(guò)剛性變換得到，那么我們不妨設(shè)：公式 11 相

16、機(jī)1與相機(jī)2位置關(guān)系其中，令M為34的矩陣。在問(wèn)題一中，我們已經(jīng)知道了像平面坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系的關(guān)系為：公式 12 像平面坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系位置關(guān)系將公式2帶入公式1中得：公式13 相機(jī)1像平面坐標(biāo)系與相機(jī)2坐標(biāo)系關(guān)系式我們令：公式14 相機(jī)1像平面坐標(biāo)系與相機(jī)2坐標(biāo)系關(guān)系參數(shù)矩陣將兩個(gè)相機(jī)在世界坐標(biāo)系中進(jìn)行定位，內(nèi)部參數(shù)相同，相機(jī)位置不同，外部參數(shù)也不同，求出外部參數(shù)，位置就可以通過(guò)平移旋轉(zhuǎn)得出。公式 15 相機(jī)1與相機(jī)2的外部參數(shù)那么，相機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系就可以根據(jù)公式 來(lái)轉(zhuǎn)換。公式 16 相機(jī)1和相機(jī)2與世界坐標(biāo)系的關(guān)系公式公式 17 相機(jī)1與相機(jī)2的位置關(guān)系我們假設(shè)：公式 18 M2

17、的逆矩陣將公式15與公式18相乘，我們可以得到：公式 19 M2到M1的過(guò)渡系數(shù)設(shè)靶平面一點(diǎn)p在相機(jī)1坐標(biāo)系中的位置為（），在相機(jī)2坐標(biāo)系中的位置為（）。由問(wèn)題一可知，在兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系中，點(diǎn)（）與點(diǎn)（）有如下關(guān)系：公式20 投影原理式得出這個(gè)公式后我們改用齊次式并把方程用矩陣形式表示：公式21 投影原理矩陣聯(lián)立上述公式，得到點(diǎn)的位置矩陣組：公式22 點(diǎn)的位置矩陣組由矩陣相乘我們可以得出四個(gè)獨(dú)立方程，那么共有4*5=20個(gè)獨(dú)立方程。討論，按照此靶標(biāo)，有5個(gè)圓心坐標(biāo)，有5*3=15個(gè)未知數(shù)，再加上（t1，t2,t3）與（），共計(jì)21個(gè)未知數(shù)。在標(biāo)靶的五個(gè)圓中，有四個(gè)圓在在正方形的頂點(diǎn)處，故有4個(gè)約束條件，圓D在正方形的邊上，有1個(gè)約束條件，點(diǎn)B到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離一定，故有2個(gè)約束條件。綜上所述，此模型中含有未知數(shù)21個(gè)，約束條件27個(gè)，可用最小二乘法解出最優(yōu)坐標(biāo)。題目中給出靶標(biāo)，我們可得五個(gè)同心的世界坐標(biāo)。由坐標(biāo)變換可得出對(duì)應(yīng)的