類曲面(對面積的)積分課件

1、類曲面(對面積的)積分 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)),(zyx , 求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量.實例實例 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點處都即曲面上各點處都有切平面有切平面, ,且當點在且當點在曲面上連續(xù)移動時曲面上連續(xù)移動時, ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動. .9.4 第一類曲面（對面積的）積分第一類曲面（對面積的）積分問題的提出問題的提出類曲面(對面積的)積分 niiiiiniiiiiiiiiinnSMStepSMStepSmStepmmmMSSSStep0002121.),(lim :4.),( :3;),( :2;,: ;,:1 O

2、yxzf(x,y,z)類曲面(對面積的)積分9.4.1 第一類曲面積分的概念與性質(zhì)第一類曲面積分的概念與性質(zhì) 設設曲曲面面 是是光光滑滑的的, , 函函數(shù)數(shù)),(zyxf在在 上上有有界界, , 把把 分分成成n小小塊塊iS （iS 同同時時也也表表示示第第i小小塊塊曲曲面面的的面面積積）, ,設設點點),(iii 為為iS 上上任任意意取取定定的的點點, ,作作乘乘積積 ),(iiif iS , ,并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果當當各各小小塊塊曲曲面面的的直直徑徑的的最最大大值值0 時時, , 這這和和式式的的極極限限存存在在, ,則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)

3、),(zyxf在在曲曲面面 上上對對面面積積的的曲曲面面積積分分或或第第一一類類曲曲面面積積分分. .定義定義類曲面(對面積的)積分即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 記記為為 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.第一類曲面積分關于積分曲面的可加性的性第一類曲面積分關于積分曲面的可加性的性則則及及可可分分為為分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21 叫叫被被積積函函數(shù)數(shù)，其其中中),(zyxf.叫積分曲面叫積分曲面 類曲面(對面積的)積分Remark:(1)當曲面當曲面 為光滑或分片光滑曲面片為光滑或分片光滑曲面片,f(x,

4、y,z)在在 上連上連 續(xù)時續(xù)時,f(x,y,z)在在 上必可積上必可積,以下恒設此以下恒設此2條條件滿足件滿足.(2)第一類曲面積分有如定積分類似的性質(zhì)第一類曲面積分有如定積分類似的性質(zhì),從略從略.(3)第一類曲面積分的物理意義第一類曲面積分的物理意義:曲面的質(zhì)量曲面的質(zhì)量SdSzyxfM),(當積分曲面是封閉曲面時當積分曲面是封閉曲面時,常記常記SdSzyxf),(類曲面(對面積的)積分9.4.2 第一類曲面積分的計算法第一類曲面積分的計算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面則則按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面

5、的不同情況分為以下三種：公式的推導思路如下公式的推導思路如下?lián)Q元換元換換 域域換面積元素換面積元素類曲面(對面積的)積分. . : :光光滑滑) )( (即即上上有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù)在在平平面面內(nèi)內(nèi)的的投投影影在在是是其其中中的的方方程程為為設設曲曲面面DyxzxOyD,Dy)z(x,y),(x, zxyxyxy),(, )( ,)()(11cos ,1 ,cos22ASyzxzyzxznddAdS dyzxzdS22)()(1 SyxzMOAS類曲面(對面積的)積分;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(),(:. 2zxyy 若曲面若曲面則則.

6、1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面則則類曲面(對面積的)積分 計計算算 dszyx)(, 其其中中 為為平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例1 1積分曲面積分曲面 ：yz 5 ,解解投投影影域域 ：25| ),(22 yxyxDxydxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 類曲面(對面積的)積分例例 2 2 計算計算dSxyz |,其中其中 為拋物面

7、為拋物面 22yxz （10 z）.解解依對稱性知：依對稱性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關關于于xoz、yoz 坐標面對稱坐標面對稱軸軸對對稱稱，關關于于拋拋物物面面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz類曲面(對面積的)積分dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx類曲面(對面積的)積分 利利用用極極坐坐標標 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222

8、041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 類曲面(對面積的)積分 計計算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面.例例3 3類曲面(對面積的)積分解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx顯然顯然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS類曲面(對面積的)積分討討論論3 時時, 將將投投影影域域選選在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分為左、

9、右兩片分為左、右兩片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz類曲面(對面積的)積分 xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.類曲面(對面積的)積分 計計算算dSzyx)(222 , 其其中中 為為內(nèi)內(nèi)接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面體體azyx |表表面面.例例4 4被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx ,解解關關于于坐坐標標面面、原原點點均均對對稱稱 , 積積分分曲曲面面 也也具具有有對對稱稱性性 , 故故原原積積分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一

10、卦卦限限部部分分曲曲面面)類曲面(對面積的)積分1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 類曲面(對面積的)積分 SRzyxSdSzyx22222:,)(球球面面練練習習：計計算算積積分分42S2222224 )(2)( )222(:RdSRdSyzxzxydSzyxdSyzxzxyzyxISSS 解解解題過程中充分利用第一類面積解題過程中充分利用第一類面積分中分中,點在積分曲面上變點在積分曲面上變,積分曲積分曲面的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性面的對稱性及被積函數(shù)的奇偶

11、性特點簡化積分計算特點簡化積分計算.xyzOS類曲面(對面積的)積分M.yxzyxfyxz求求該該曲曲面面的的質(zhì)質(zhì)量量曲曲面面的的面面密密度度函函數(shù)數(shù)為為所所圍圍立立體體的的邊邊界界曲曲面面, ,面面及及平平是是由由曲曲面面, ,練練習習：設設有有一一物物質(zhì)質(zhì)曲曲面面,),(2222 1 1z z SdSyxM)(22意義,由第一類面積分的物理:解S1S21 :22yxDxyOxyz1.2)()(1,) 1( ,:S );1( , 1:,222222212222222121 ddyxyyxxdSddSyxyxzyxzSSSS 2) 21 ()() 21 (2)()(222222 DDDdyxd

12、yxdyxI類曲面(對面積的)積分小結(jié)小結(jié)2對面積的曲面積分的計算是將其化為投影域上對面積的曲面積分的計算是將其化為投影域上的二重積分計算的二重積分計算. （按照曲面的不同情況投影到三（按照曲面的不同情況投影到三坐標面上）坐標面上）1對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 注意：一投、二代、三換注意：一投、二代、三換思考題思考題 在對面積的曲面積分化為二重積分在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說明試說明這個因子的幾何意義這個因子的幾何意義.221yxzz 類曲面(對面積的)積分思考題解答思考題解答

13、是曲面元的面積是曲面元的面積,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法線與是曲面法線與 軸夾角的余弦軸夾角的余弦的倒數(shù)的倒數(shù).z類曲面(對面積的)積分練練 習習 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積為積為, , 則則 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 設設 為球面為球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,則則 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 為拋物面為拋物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 及平面及平面1 z所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面. .類曲面(對面積的)積分二、計算下列對面積的曲面積分二、計算下列對面積的曲面積分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 為平面為平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求拋物面殼三、求拋物面殼)10)(2122 zyxz的質(zhì)量的質(zhì)量, ,此殼此殼的面密度的大小為的面密度的大