蒙特卡羅方法在通量計(jì)算中的應(yīng)用

1、1.通量的定義通量的定義2.通量的能譜和角分布通量的能譜和角分布3.計(jì)算體通量的模擬方法計(jì)算體通量的模擬方法4.計(jì)算面通量的模擬方法計(jì)算面通量的模擬方法5.計(jì)算點(diǎn)通量的模擬方法計(jì)算點(diǎn)通量的模擬方法6.與通量有關(guān)的物理量的計(jì)算與通量有關(guān)的物理量的計(jì)算作作 業(yè)業(yè) 通量計(jì)算在粒子輸運(yùn)問題中占有非常重要的地位。很多問題，如碰撞率、反應(yīng)率以及系統(tǒng)逃脫幾率等都可以通過通量來計(jì)算。通量計(jì)算問題，包括點(diǎn)通量、面通量和體通量的計(jì)算問題。相對來說，點(diǎn)通量的計(jì)算要困難一些。 設(shè) 分別表示粒子的位置、能量和運(yùn)動方向。則通量 的定義為：),(r E),(r ErdVdEdE),(在 r 點(diǎn)的體積元 dV 內(nèi)，能量E 和

2、運(yùn)動方向?qū)儆赿E d的粒子平均徑跡長度。給定點(diǎn) r0 的點(diǎn)通量為： 點(diǎn)通量的含義為：rrdEdE),()(00dV)(0r在r0點(diǎn)的體積元dV內(nèi)，粒子的平均徑跡長度。給定曲面 A0 上的面通量為： 面通量的含義為： 00),()()(0AAdAdEdEdAArrdsA )(0沿曲面A0的法線方向增加厚度ds 所組成的體積元的體積元A0ds中，粒子的平均徑跡長度。給定體 V0 內(nèi)的體通量為： 體通量的含義為：)(0V在體V0內(nèi)，粒子的平均徑跡長度。 00),()()(0VVdVdEdEdVVrr通量 可用粒子各次散射對通量的貢獻(xiàn)和表示： 其中 為粒子 n 次散射后對通量的貢獻(xiàn)，其含義為：0),(

3、),(nnEErr),(r E),(r EnrdVdEdEn),(粒子在第 n 次散射到第 n1 次散射之間，在 r 點(diǎn)的體積元 dV 內(nèi)，能量E 和運(yùn)動方向?qū)儆赿E d的粒子平均徑跡長度。 用蒙特卡羅方法計(jì)算通量的能譜與角分布，所采用的手段與計(jì)算其它物理量一樣，即把能量和方向分成若干個(gè)區(qū)間，分別按粒子狀態(tài)所處的區(qū)間累積記錄各自的貢獻(xiàn)。 現(xiàn)將能量分成 I 區(qū)：E1，E2，EI；方向分成 J 區(qū)：1，2，I。則有： ijjijjiiEEEEdEdEddEEdEdErrrrrr),()(),()(),()(jijiEjjiiEEEEEdEEEEEdEiijirrrrrr，當(dāng)當(dāng)當(dāng))(),()(),(

4、)(),( 在實(shí)際問題中，經(jīng)常遇到要計(jì)算某一區(qū)域V0 的體通量。 在通量的定義部分已經(jīng)介紹過，通量可以表示為粒子各次散射對通量的貢獻(xiàn)和。因此，下面要介紹的各種估計(jì)方法，只敘述各次散射后的通量計(jì)算方法。 計(jì)算體通量的方法主要有以下幾種。 粒子 n 次散射（n0 時(shí)為源粒子）后的通量貢獻(xiàn)為：其中，s1和s2分別為粒子由點(diǎn)rn出發(fā)，沿n方向到達(dá)區(qū) 域V0的近端和遠(yuǎn)端的交點(diǎn)的距離。如果點(diǎn)rn在V0內(nèi)，則 s10。如果粒子沿n方向與V0有多段相交，則 為每段相交線段的通量貢獻(xiàn)之和。如果粒子沿n方向與V0不相交，則 。2100*),(exp)(sssnnntnndsdlElWVr0)(0*Vn)(0*Vn

5、 解析估計(jì)方法就是把體通量的貢獻(xiàn)表達(dá)式直接計(jì)算出來。當(dāng)系統(tǒng)為均勻介質(zhì)時(shí)，如果只是V0為均勻介質(zhì)，則如果V0由多層介質(zhì)組成，則需分段計(jì)算積分。 在解析估計(jì)方法中，粒子每發(fā)生一次碰撞（包括零次散射），都要記錄通量的貢獻(xiàn)值。tssnntteeWV21)(0*)(1),(exp)(0)(00*1201VedlElWVtssVsnnntnntr 設(shè)粒子從第 n 次散射到第 n1 次散射之間走過的徑跡長度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻(xiàn)為： 徑跡長度方法就是把粒子在V0內(nèi)走過的徑跡長度記錄下來。沒有交點(diǎn)或與012112120*0)()()(VsssssssWssssWVnnn下面證明，徑跡長度估計(jì)是無偏

6、的。2121222120001201201012000*0010*00*),(exp),(exp),(exp)(),(exp)(),(exp)(),(exp)(),(exp)(),(exp),()()()(sssnnntnsssnnntnsmmmtnsmmmtnsssmmmtnssmmmtnsmmmtnsmmmtnntnndsdlElWdsdlElWdlElssWdlElssWdlEldssWdlEldssWdlEldVdsdlElEVdssfVrrrrrrrrr 設(shè)粒子從第 n 次散射到第 n1 次散射之間走過的徑跡長度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻(xiàn)為： 碰撞密度方法就是把粒子在V0內(nèi)發(fā)

7、生的碰撞記錄下來。其它0),()(2110*sssEWVnntnnr下面證明，碰撞密度估計(jì)是無偏的。212100110010*00*),(exp),(exp),(),(),(exp),()()()(sssnnntnsssmmmtnntnntnsmmmtnntnndsdlElWdsdlElEEWdsdlElEVdssfVrrrrrr 確定一個(gè)定義在 s1,s2 上的概率密度函數(shù) fn(s)，從 fn(s)中抽樣 s*，則 n 次散射通量貢獻(xiàn)的估計(jì)為：fn(s)的最簡單形式是均勻分布這時(shí))(),(exp)(*00*sfdlElWVnsnnntnnr*0120*),(exp)()(snnntnndl

8、ElssWVr2112*1)(ssssssfn 設(shè) 為在V0上定義的任一概率密度函數(shù)，則體通量可表示為：體通量的估計(jì)為：其中，r*為從 中抽取的一個(gè)樣本值。)()()(*0*0rrVfV0000)()()()()(0VVVVdVffdVVrrrr)(0rVf)(0rVf(1) 解析估計(jì)方法：直接計(jì)算體通量的貢獻(xiàn)表達(dá)式，因此該方法的方差小，但計(jì)算時(shí)間長，需要計(jì)算指數(shù)函數(shù)的積分。(2) 徑跡長度方法：記錄貢獻(xiàn)方法簡單，可與輸運(yùn)過程同時(shí)進(jìn)行，只要粒子穿過記錄區(qū)域就有貢獻(xiàn)。但該方法方差大些，對于較小的系統(tǒng)（如自由程個(gè)數(shù)小于2），該方法較好。(3) 碰撞密度方法：由于只在記錄區(qū)域內(nèi)發(fā)生碰撞才有貢獻(xiàn)，因此

9、方差較大，尤其在記錄區(qū)域較小時(shí)更是如此。但該方法省時(shí)間，適用于大的記錄區(qū)域。(4) 均勻徑跡長度方法：在記錄區(qū)域?yàn)槎鄬咏橘|(zhì)時(shí)，較解析估計(jì)方法容易實(shí)現(xiàn)。但在記錄貢獻(xiàn)時(shí)仍需計(jì)算指數(shù)函數(shù)，也費(fèi)時(shí)間。(5) 點(diǎn)通量代替方法：可以較好地解決小區(qū)域的體通量計(jì)算問題。尤其是記錄區(qū)域與粒子的輸運(yùn)區(qū)域分開時(shí)，更是如此。計(jì)算面通量的方法主要有以下幾種。 設(shè)經(jīng)過 n 次散射的粒子，由點(diǎn)rn出發(fā)，沿n方向到達(dá)曲面域A0的距離為 s1，與曲面相交處曲面的法線方向?yàn)?n，則 n 次散射粒子對該曲面的通量貢獻(xiàn)為：如果粒子沿n方向與A0有多個(gè)交點(diǎn)，則 為每個(gè)交點(diǎn)處的通量貢獻(xiàn)之和。如果粒子沿n方向與A0沒有交點(diǎn)，則 。 解析估

10、計(jì)方法就是把面通量的貢獻(xiàn)表達(dá)式直接計(jì)算出來。粒子每發(fā)生一次碰撞（包括零次散射），都要記錄通量的貢獻(xiàn)值。100*),(exp|)(snnntnnndlElWArn0)(0*An)(0*An 設(shè)粒子從第 n 次散射到第 n1 次散射之間走過的徑跡長度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻(xiàn)為： 加權(quán)方法只有在粒子穿過曲面A0時(shí)，才對該曲面有通量貢獻(xiàn)。其它0|cos|)(10*ssWWAnnnnnn 設(shè) 為在A0上定義的任一概率密度函數(shù)，則面通量可表示為：面通量的估計(jì)為：其中，r*為從 中抽取的一個(gè)樣本值。)()()(*0*0rrAfA0000)()()()()(0AAAAdAffdAArrrr)(0rA

11、f)(0rAf 沿曲面A0的法線方向均勻地增加一個(gè)厚度s，由此構(gòu)成的體積為 。 的體通量為： A0的面通量為：因此，如取得足夠小，有如下近似：)(1lim)(000*AsVsA00)()(AVAdVVr0AV0AV)(1)(00*AVsA5. 計(jì)算點(diǎn)通量的模擬方法計(jì)算點(diǎn)通量的模擬方法 與體通量、面通量的計(jì)算相比，點(diǎn)通量的計(jì)算最困難。這是因?yàn)?，在大量的模擬粒子中，只能有很少的粒子穿過該點(diǎn)所包含的一個(gè)小區(qū)域，因此無法使用通常的通量計(jì)算方法。1) 指向概率方法 設(shè) n 次散射后粒子的狀態(tài)為 ，進(jìn)入 n 次碰撞的粒子的狀態(tài)為 ， 表示粒子的碰撞核，其定義為：),(nnnnWE r),(111nnnnW

12、Er),(11nnnnnEECr),(rEEC一個(gè)粒子在點(diǎn) r 發(fā)生碰撞后，能量由E變?yōu)镋的dE內(nèi)，方向由變?yōu)榈膁內(nèi)的粒子平均數(shù)。則 n 次散射的粒子對點(diǎn) r* 的通量貢獻(xiàn)為：其中當(dāng) n0時(shí)，用源分布密度函數(shù) 代替碰撞核 。nnnntnnnnnnnndEdlElEECWn|0*2*111*),(exp|1),()(rrrrrrr|*nnnrrrr),(11nnnnnEECr),(000r ES(1) 光子問題的指向概率方法光子問題的碰撞核為：其中光子能量E以電子靜止能量mec20.511 MeV為單位；K(EE/r) 為KleinNishina公式，由下式確定N(r) 表示在 r 處單位立方體

13、內(nèi)的原子數(shù)，z (r) 表示在 r 處元素的原子序數(shù)，r0表示電子的經(jīng)典半徑。rrrEEEEEKEECt11121),()(),( EEEEEEEEEEEEErzNEEK12111121)()()(2220當(dāng)rrr其中*1111*1nnnnnnEEEE|0*2*2*1*11*),(exp|2),()()(ndlElEEEEKWnnntnnnntnnnnnrrrrrrrr(2) 中子問題的指向概率方法中子問題的碰撞核為：其中下標(biāo)A和 i 分別表示不同的原子核和不同的反應(yīng)； 和 分別表示能量為E的中子與第A種原子核發(fā)生第 i 種反應(yīng)后產(chǎn)生的平均次級中子數(shù)和微觀截面；NA(r) 表示在 r 處第A種

14、原子核的核密度； 表示能量為E和方向?yàn)榈闹凶优c第A種原子核發(fā)生第 i 種反應(yīng)后的能量E和方向的分布。iAiAtiAAiAEEfEENEEEC,),(),()()()(),(rrr)()(,EEiAiA),(, EEfiA則有中子的通量貢獻(xiàn)為：2*|0*11,11,1,1*|),(exp),(),()()()()(*nnntnnniAiAnntniAnAniAnndEdlElEEfEENEWnrrrrrrrr2) 關(guān)于估計(jì)量無界問題 當(dāng) r*點(diǎn)附近不含散射物質(zhì)時(shí)（如真空），也就是說，粒子的輸運(yùn)區(qū)域與記錄點(diǎn)分開時(shí)，指向概率方法的估計(jì)量是有界的，因此是一種比較好的計(jì)算點(diǎn)通量的方法。不含散射物質(zhì)的區(qū)域越大，指向概率方法的優(yōu)點(diǎn)越明顯。 然而，當(dāng) r*點(diǎn)附近含有散射物質(zhì)時(shí)，由于在指向概率方法的估計(jì)量中含有無界因子因此，指向概率方法的估計(jì)量一般