蒙特卡羅方法在通量計算中的應用

1、1.通量的定義通量的定義2.通量的能譜和角分布通量的能譜和角分布3.計算體通量的模擬方法計算體通量的模擬方法4.計算面通量的模擬方法計算面通量的模擬方法5.計算點通量的模擬方法計算點通量的模擬方法6.與通量有關的物理量的計算與通量有關的物理量的計算作作 業(yè)業(yè) 通量計算在粒子輸運問題中占有非常重要的地位。很多問題，如碰撞率、反應率以及系統(tǒng)逃脫幾率等都可以通過通量來計算。通量計算問題，包括點通量、面通量和體通量的計算問題。相對來說，點通量的計算要困難一些。 設 分別表示粒子的位置、能量和運動方向。則通量 的定義為：),(r E),(r ErdVdEdE),(在 r 點的體積元 dV 內(nèi)，能量E 和

2、運動方向?qū)儆赿E d的粒子平均徑跡長度。給定點 r0 的點通量為： 點通量的含義為：rrdEdE),()(00dV)(0r在r0點的體積元dV內(nèi)，粒子的平均徑跡長度。給定曲面 A0 上的面通量為： 面通量的含義為： 00),()()(0AAdAdEdEdAArrdsA )(0沿曲面A0的法線方向增加厚度ds 所組成的體積元的體積元A0ds中，粒子的平均徑跡長度。給定體 V0 內(nèi)的體通量為： 體通量的含義為：)(0V在體V0內(nèi)，粒子的平均徑跡長度。 00),()()(0VVdVdEdEdVVrr通量 可用粒子各次散射對通量的貢獻和表示： 其中 為粒子 n 次散射后對通量的貢獻，其含義為：0),(

3、),(nnEErr),(r E),(r EnrdVdEdEn),(粒子在第 n 次散射到第 n1 次散射之間，在 r 點的體積元 dV 內(nèi)，能量E 和運動方向?qū)儆赿E d的粒子平均徑跡長度。 用蒙特卡羅方法計算通量的能譜與角分布，所采用的手段與計算其它物理量一樣，即把能量和方向分成若干個區(qū)間，分別按粒子狀態(tài)所處的區(qū)間累積記錄各自的貢獻。 現(xiàn)將能量分成 I 區(qū)：E1，E2，EI；方向分成 J 區(qū)：1，2，I。則有： ijjijjiiEEEEdEdEddEEdEdErrrrrr),()(),()(),()(jijiEjjiiEEEEEdEEEEEdEiijirrrrrr，當當當)(),()(),(

4、)(),( 在實際問題中，經(jīng)常遇到要計算某一區(qū)域V0 的體通量。 在通量的定義部分已經(jīng)介紹過，通量可以表示為粒子各次散射對通量的貢獻和。因此，下面要介紹的各種估計方法，只敘述各次散射后的通量計算方法。 計算體通量的方法主要有以下幾種。 粒子 n 次散射（n0 時為源粒子）后的通量貢獻為：其中，s1和s2分別為粒子由點rn出發(fā)，沿n方向到達區(qū) 域V0的近端和遠端的交點的距離。如果點rn在V0內(nèi)，則 s10。如果粒子沿n方向與V0有多段相交，則 為每段相交線段的通量貢獻之和。如果粒子沿n方向與V0不相交，則 。2100*),(exp)(sssnnntnndsdlElWVr0)(0*Vn)(0*Vn

5、 解析估計方法就是把體通量的貢獻表達式直接計算出來。當系統(tǒng)為均勻介質(zhì)時，如果只是V0為均勻介質(zhì)，則如果V0由多層介質(zhì)組成，則需分段計算積分。 在解析估計方法中，粒子每發(fā)生一次碰撞（包括零次散射），都要記錄通量的貢獻值。tssnntteeWV21)(0*)(1),(exp)(0)(00*1201VedlElWVtssVsnnntnntr 設粒子從第 n 次散射到第 n1 次散射之間走過的徑跡長度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻為： 徑跡長度方法就是把粒子在V0內(nèi)走過的徑跡長度記錄下來。沒有交點或與012112120*0)()()(VsssssssWssssWVnnn下面證明，徑跡長度估計是無偏

6、的。2121222120001201201012000*0010*00*),(exp),(exp),(exp)(),(exp)(),(exp)(),(exp)(),(exp)(),(exp),()()()(sssnnntnsssnnntnsmmmtnsmmmtnsssmmmtnssmmmtnsmmmtnsmmmtnntnndsdlElWdsdlElWdlElssWdlElssWdlEldssWdlEldssWdlEldVdsdlElEVdssfVrrrrrrrrr 設粒子從第 n 次散射到第 n1 次散射之間走過的徑跡長度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻為： 碰撞密度方法就是把粒子在V0內(nèi)發(fā)

7、生的碰撞記錄下來。其它0),()(2110*sssEWVnntnnr下面證明，碰撞密度估計是無偏的。212100110010*00*),(exp),(exp),(),(),(exp),()()()(sssnnntnsssmmmtnntnntnsmmmtnntnndsdlElWdsdlElEEWdsdlElEVdssfVrrrrrr 確定一個定義在 s1,s2 上的概率密度函數(shù) fn(s)，從 fn(s)中抽樣 s*，則 n 次散射通量貢獻的估計為：fn(s)的最簡單形式是均勻分布這時)(),(exp)(*00*sfdlElWVnsnnntnnr*0120*),(exp)()(snnntnndl

8、ElssWVr2112*1)(ssssssfn 設 為在V0上定義的任一概率密度函數(shù)，則體通量可表示為：體通量的估計為：其中，r*為從 中抽取的一個樣本值。)()()(*0*0rrVfV0000)()()()()(0VVVVdVffdVVrrrr)(0rVf)(0rVf(1) 解析估計方法：直接計算體通量的貢獻表達式，因此該方法的方差小，但計算時間長，需要計算指數(shù)函數(shù)的積分。(2) 徑跡長度方法：記錄貢獻方法簡單，可與輸運過程同時進行，只要粒子穿過記錄區(qū)域就有貢獻。但該方法方差大些，對于較小的系統(tǒng)（如自由程個數(shù)小于2），該方法較好。(3) 碰撞密度方法：由于只在記錄區(qū)域內(nèi)發(fā)生碰撞才有貢獻，因此

9、方差較大，尤其在記錄區(qū)域較小時更是如此。但該方法省時間，適用于大的記錄區(qū)域。(4) 均勻徑跡長度方法：在記錄區(qū)域為多層介質(zhì)時，較解析估計方法容易實現(xiàn)。但在記錄貢獻時仍需計算指數(shù)函數(shù)，也費時間。(5) 點通量代替方法：可以較好地解決小區(qū)域的體通量計算問題。尤其是記錄區(qū)域與粒子的輸運區(qū)域分開時，更是如此。計算面通量的方法主要有以下幾種。 設經(jīng)過 n 次散射的粒子，由點rn出發(fā)，沿n方向到達曲面域A0的距離為 s1，與曲面相交處曲面的法線方向為 n，則 n 次散射粒子對該曲面的通量貢獻為：如果粒子沿n方向與A0有多個交點，則 為每個交點處的通量貢獻之和。如果粒子沿n方向與A0沒有交點，則 。 解析估

10、計方法就是把面通量的貢獻表達式直接計算出來。粒子每發(fā)生一次碰撞（包括零次散射），都要記錄通量的貢獻值。100*),(exp|)(snnntnnndlElWArn0)(0*An)(0*An 設粒子從第 n 次散射到第 n1 次散射之間走過的徑跡長度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻為： 加權方法只有在粒子穿過曲面A0時，才對該曲面有通量貢獻。其它0|cos|)(10*ssWWAnnnnnn 設 為在A0上定義的任一概率密度函數(shù)，則面通量可表示為：面通量的估計為：其中，r*為從 中抽取的一個樣本值。)()()(*0*0rrAfA0000)()()()()(0AAAAdAffdAArrrr)(0rA

11、f)(0rAf 沿曲面A0的法線方向均勻地增加一個厚度s，由此構成的體積為 。 的體通量為： A0的面通量為：因此，如取得足夠小，有如下近似：)(1lim)(000*AsVsA00)()(AVAdVVr0AV0AV)(1)(00*AVsA5. 計算點通量的模擬方法計算點通量的模擬方法 與體通量、面通量的計算相比，點通量的計算最困難。這是因為，在大量的模擬粒子中，只能有很少的粒子穿過該點所包含的一個小區(qū)域，因此無法使用通常的通量計算方法。1) 指向概率方法 設 n 次散射后粒子的狀態(tài)為 ，進入 n 次碰撞的粒子的狀態(tài)為 ， 表示粒子的碰撞核，其定義為：),(nnnnWE r),(111nnnnW

12、Er),(11nnnnnEECr),(rEEC一個粒子在點 r 發(fā)生碰撞后，能量由E變?yōu)镋的dE內(nèi)，方向由變?yōu)榈膁內(nèi)的粒子平均數(shù)。則 n 次散射的粒子對點 r* 的通量貢獻為：其中當 n0時，用源分布密度函數(shù) 代替碰撞核 。nnnntnnnnnnnndEdlElEECWn|0*2*111*),(exp|1),()(rrrrrrr|*nnnrrrr),(11nnnnnEECr),(000r ES(1) 光子問題的指向概率方法光子問題的碰撞核為：其中光子能量E以電子靜止能量mec20.511 MeV為單位；K(EE/r) 為KleinNishina公式，由下式確定N(r) 表示在 r 處單位立方體

13、內(nèi)的原子數(shù)，z (r) 表示在 r 處元素的原子序數(shù)，r0表示電子的經(jīng)典半徑。rrrEEEEEKEECt11121),()(),( EEEEEEEEEEEEErzNEEK12111121)()()(2220當rrr其中*1111*1nnnnnnEEEE|0*2*2*1*11*),(exp|2),()()(ndlElEEEEKWnnntnnnntnnnnnrrrrrrrr(2) 中子問題的指向概率方法中子問題的碰撞核為：其中下標A和 i 分別表示不同的原子核和不同的反應； 和 分別表示能量為E的中子與第A種原子核發(fā)生第 i 種反應后產(chǎn)生的平均次級中子數(shù)和微觀截面；NA(r) 表示在 r 處第A種

14、原子核的核密度； 表示能量為E和方向為的中子與第A種原子核發(fā)生第 i 種反應后的能量E和方向的分布。iAiAtiAAiAEEfEENEEEC,),(),()()()(),(rrr)()(,EEiAiA),(, EEfiA則有中子的通量貢獻為：2*|0*11,11,1,1*|),(exp),(),()()()()(*nnntnnniAiAnntniAnAniAnndEdlElEEfEENEWnrrrrrrrr2) 關于估計量無界問題 當 r*點附近不含散射物質(zhì)時（如真空），也就是說，粒子的輸運區(qū)域與記錄點分開時，指向概率方法的估計量是有界的，因此是一種比較好的計算點通量的方法。不含散射物質(zhì)的區(qū)域越大，指向概率方法的優(yōu)點越明顯。 然而，當 r*點附近含有散射物質(zhì)時，由于在指向概率方法的估計量中含有無界因子因此，指向概率方法的估計量一般