§8.2 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

1、欄目索引8.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系高考理數(shù)高考理數(shù)欄目索引一、平面的基本性質(zhì)一、平面的基本性質(zhì)1.三個(gè)公理的用途公理1:證明“點(diǎn)在面內(nèi)”或“線在面內(nèi)”;公理2:判斷兩個(gè)平面是否重合;確定一個(gè)平面;證明點(diǎn)、線共面;公理3:證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn);確定兩平面的交線.2.對公理2及推論中“有且只有一個(gè)平面”的理解:平面存在,而且唯一,“有且只有”有時(shí)也說成“確定”.知識清單欄目索引位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交同在一個(gè)平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行同在一個(gè)平面內(nèi)零個(gè)異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)零個(gè)二、空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系二、空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.空間兩直線的位置關(guān)系2.異面直線(1)對異面直線定義

2、的理解:“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”指這兩條直線不能確定任何一個(gè)平面,因此異面直線既不平行,也不相交;不能把異面直線的定義誤解為“分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”;異面直線不具有傳遞性,即直線a與b異面,b與c異面,則a與c不一定是異面直線.欄目索引(2)證明兩直線為異面直線的方法:定義法(不易操作);反證法:先假設(shè)兩條直線共面,由假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè),肯定兩條直線為異面直線;利用結(jié)論:過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線.(3)異面直線所成的角:范圍:;求解方法:定義法(平移法),關(guān)鍵是平移兩異面直線到“恰當(dāng)”的位置使之變成相交直線,并將所要

3、求的角轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形內(nèi),從而利用解三角形的知識求解其角度,最后注意角的范圍.3.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷方法:平面的基本性質(zhì)是立體幾何的基本理論基礎(chǔ),也是判斷點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ).對點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷,常采用窮舉法,即對各種位置關(guān)系都進(jìn)行考慮,要充分應(yīng)用幾何模型的直觀作用.0,2欄目索引方法方法1證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)及點(diǎn)線共面的方法證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)及點(diǎn)線共面的方法(1)證明點(diǎn)共線的方法:一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn),再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上.(2)證明多線共點(diǎn)的方法:證明若干條線共點(diǎn)的基本思路是先找出兩條直線的交點(diǎn),再證明其他直線都經(jīng)過該點(diǎn).證明

4、一條直線過一點(diǎn)的方法是證明該點(diǎn)是以該直線為交線的兩個(gè)平面的公共點(diǎn).(3)證明點(diǎn)線共面的方法:納入平面法:先確定一個(gè)平面,再證點(diǎn)、線在該平面內(nèi);輔助平面法:先證一些點(diǎn)、線確定平面,再證其余點(diǎn)、線確定平面,最后證明平面、重合.例例1如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證:(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面;(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn).突破方法欄目索引解題導(dǎo)引解題導(dǎo)引 (1)證明EFA1B證明EFCD1E、C、D1、F四點(diǎn)共面(2)先證直線D1F與CE相交再證交點(diǎn)在直線DA上三線共點(diǎn),結(jié)論成立證明證明(1)如圖所示,連接CD1、EF、A1B,E、F分別是

5、AB和AA1的中點(diǎn),FEA1B且EF=A1B.A1D1BC,四邊形A1BCD1是平行四邊形,A1BD1C,FED1C,EF與CD1可確定一個(gè)平面,即E、C、D1、F四點(diǎn)共面.12欄目索引(2)由(1)知EFCD1,且EF=CD1,四邊形CD1FE是梯形,直線CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1,12P平面ABCD且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1=AD,PAD,CE、D1F、DA三線共點(diǎn).欄目索引1-1如圖所示的是正方體和四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則各圖形中,P,Q,R,S四點(diǎn)共面的是(填序號).答案答案解析解析對于

6、,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為梯形;對于,如圖所示,取A1A和BC的中點(diǎn)分別為M,N,順次連接P、M、Q、N、R、S,可證明六邊形PMQNRS為正六邊形;對于,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為平行四邊形;對于,可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行,因此,P,Q,R,S四點(diǎn)不共面.欄目索引1-2 (2015長春一模,17)空間四邊形ABCD中,E、H分別為BC、AB的中點(diǎn),F在CD上,G在AD上,且有DF FC=DG GA=2 3,求證:直線EF、BD、HG交于一點(diǎn).證明證明連接EH、AC、FG.E、H分別為BC、AB的中點(diǎn),EHAC,且EH=AC,DF FC=DG GA=2

7、 3,FGAC,FG=AC,EHFG且EHFG,1225E、F、G、H四點(diǎn)共面且EF不平行于GH.EF與GH相交.設(shè)EFGH=O,則OGH,OEF,GH平面ABD,EF平面BCD,O平面ABD,O平面BCD.平面ABD平面BCD=BD,OBD,直線EF、BD、HG交于一點(diǎn).欄目索引方法方法2異面直線所成角的求解方法異面直線所成角的求解方法1.平移直線(線段)法(定義法):(1)常用的平移方法有:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移.(2)求異面直線所成角的一般步驟:平移:選擇合適的點(diǎn),平移兩條異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置

8、的點(diǎn),如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)等;證明:證明所作的角就是異面直線所成的角或其補(bǔ)角;求解:在立體圖形中尋找或作出含中的角的三角形,利用解三角形求解.取舍:由異面直線所成角的范圍對求解結(jié)果進(jìn)行取舍.0,2欄目索引2.向量法(基底法、坐標(biāo)法):根據(jù)題意,確定兩異面直線各自的方向向量a,b,則兩異面直線所成角滿足cos=.例例2 (2014課標(biāo),11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為()A.B.C.D.解題導(dǎo)引解題導(dǎo)引 導(dǎo)引一:作平行線找異面直線所成角利用余弦定理求解結(jié)論導(dǎo)引二:建立空間直角坐標(biāo)系夾角公

9、式結(jié)論解析解析解法一:取BC的中點(diǎn)Q,連接QN,AQ,易知BMQN,則ANQ或其補(bǔ)角即為所求,設(shè)BC=CA=CC1=2,則AQ=,AN=,QN=,|a ba b11025301022556cosANQ=,故選C.2222ANNQAQAN NQ5652 5662 303010欄目索引解法二:以C1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=CA=CC1=2,則A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),ANBM cos=,故選C.答案答案 CANBM |AN BMANBM 1456 3303010欄目索引2-1 (20

10、15遼寧三校協(xié)作體一模)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB和PAD都是等邊三角形,則異面直線CD與PB所成角的大小為()A.90B.75C.60D.45答案答案A解析解析如圖所示,延長DA至E,使AE=DA,連接PE,BE.欄目索引ABC=BAD=90,BC=2AD,DE=BC,DEBC.四邊形CBED為平行四邊形,CDBE.PBE就是異面直線CD與PB所成的角.在PAE中,AE=PA,PAE=120,由余弦定理,得PE=AE.222cosPAAEPA AEPAE 22122AEAEAE AE 3PAB是等邊三角形,PB=AB=PA=AE.在ABE中,AE=AB,BAE=90,BE=AE.PB2+BE2=AE2+2AE2=3AE2=PE2,PBE=90,故選A.2欄目索引2-2空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與CD所成的角為30,E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),求EF與AB所成角的大小.解析解析取AC的中點(diǎn)G,連接EG、FG,則EGAB且EG=AB,