第7章 數(shù)字濾波器概念

1、一一. .數(shù)字濾波器的概念數(shù)字濾波器的概念. .濾波器：濾波器： 指對(duì)輸入信號(hào)起濾波作用的裝置。指對(duì)輸入信號(hào)起濾波作用的裝置。 , , 對(duì)其進(jìn)行傅氏變換得對(duì)其進(jìn)行傅氏變換得: : )(ny)()()(nhnxny)()()(eHeXeYjjj)(nh 2 2、當(dāng)輸入、輸出是離散信號(hào)，、當(dāng)輸入、輸出是離散信號(hào)，濾波器的沖激響應(yīng)是單位抽樣響應(yīng)濾波器的沖激響應(yīng)是單位抽樣響應(yīng) h h（n n）時(shí)，）時(shí)，這樣的濾波器稱作這樣的濾波器稱作數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器。)(nxc c)(jeX00c c)( jeY0c c)(jeHH(eH(ejj) )為矩形窗時(shí)為矩形窗時(shí)的情形的情形二、數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)與差分

2、方程二、數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)與差分方程N(yùn)kkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(H(z)X(z)Y(z)1 1、系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)函數(shù) 2 2、差分方程、差分方程 對(duì)上式進(jìn)行對(duì)上式進(jìn)行Z Z反變換，即得反變換，即得NkMkkkknxbknyany10)()()( 3 3、濾波器的功能與實(shí)現(xiàn)、濾波器的功能與實(shí)現(xiàn) 濾波就是對(duì)輸入序列濾波就是對(duì)輸入序列 進(jìn)行一定的運(yùn)算操進(jìn)行一定的運(yùn)算操 作從而得到輸出序列作從而得到輸出序列 實(shí)現(xiàn)濾波從運(yùn)算上看實(shí)現(xiàn)濾波從運(yùn)算上看, ,只需三種運(yùn)算：只需三種運(yùn)算： 加法、單位延遲、乘常數(shù)加法、單位延遲、乘常數(shù)。 因此實(shí)現(xiàn)的方法有兩種：因此實(shí)現(xiàn)的方法有兩種： （1

3、 1）利用通用計(jì)算機(jī)編程，即軟件實(shí)現(xiàn)）利用通用計(jì)算機(jī)編程，即軟件實(shí)現(xiàn); ; （2 2）數(shù)字信號(hào)處理器（）數(shù)字信號(hào)處理器（DSPDSP）即專用硬件實(shí)現(xiàn)。）即專用硬件實(shí)現(xiàn)。)(nx)(ny)e (Hj)e (Hj)e (Hj0c234023低通低通0c23高通高通帶通帶通)e (Hj)e (Hj002233帶阻帶阻全通全通 一個(gè)理想的選頻濾波器，可以讓信號(hào)中的某些頻一個(gè)理想的選頻濾波器，可以讓信號(hào)中的某些頻率分量完全通過(guò)，同時(shí)完全抑制另外那些無(wú)用的頻率率分量完全通過(guò)，同時(shí)完全抑制另外那些無(wú)用的頻率分量，它的期望特性分量，它的期望特性( (設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)指標(biāo)) )一般都是以幅頻響應(yīng)一般都是以幅頻響應(yīng)和

4、相頻響應(yīng)的形式給出的。例如，一個(gè)理想的低通濾和相頻響應(yīng)的形式給出的。例如，一個(gè)理想的低通濾波器，其頻率響應(yīng)為：波器，其頻率響應(yīng)為： 1 ()0 cjcH e即在濾波器的通頻帶內(nèi)，其幅頻響應(yīng)為一常數(shù)，相頻即在濾波器的通頻帶內(nèi)，其幅頻響應(yīng)為一常數(shù)，相頻響應(yīng)為數(shù)字角頻率的線性函數(shù)。它的單位沖激響應(yīng)為響應(yīng)為數(shù)字角頻率的線性函數(shù)。它的單位沖激響應(yīng)為 sin( )cccnh nn 可見該系統(tǒng)是非因果的，因此是物理不可實(shí)現(xiàn)的。這個(gè)可見該系統(tǒng)是非因果的，因此是物理不可實(shí)現(xiàn)的。這個(gè)結(jié)論可以擴(kuò)展到更一般的情況，就是說(shuō)任何具有平坦的通帶結(jié)論可以擴(kuò)展到更一般的情況，就是說(shuō)任何具有平坦的通帶和阻帶或者具有陡峭截止特性的

5、濾波器，無(wú)論它是和阻帶或者具有陡峭截止特性的濾波器，無(wú)論它是LPLP、HPHP、BPBP或或BSBS都是非因果的，物理不可實(shí)現(xiàn)。都是非因果的，物理不可實(shí)現(xiàn)。 因此在工程上，我們總是用一物理可實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變因此在工程上，我們總是用一物理可實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變系統(tǒng)去逼近理想情況，例如在上例中，一般在沖激響應(yīng)系統(tǒng)去逼近理想情況，例如在上例中，一般在沖激響應(yīng)h(n)h(n)引入較大的延時(shí)引入較大的延時(shí) n n0 0，使它逼近于因果系統(tǒng)，使它逼近于因果系統(tǒng) 0() 0( )0 0h nnnh nn 這樣，這樣，h(n)h(n)的傅里葉變換的傅里葉變換H(eH(ejwjw) )就不再具有理想的就不再具有理想

6、的頻率特性。好在工程上的濾波器設(shè)計(jì)只要滿足一定的容差頻率特性。好在工程上的濾波器設(shè)計(jì)只要滿足一定的容差條件就可以了，容差條件可以用容線圖來(lái)描述條件就可以了，容差條件可以用容線圖來(lái)描述 11 1 1、DFDF的性能要求的性能要求)e (Hj0cst211 :c:st通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率阻帶截止頻率2：阻帶容限阻帶容限1: 通帶的容限通帶的容限通帶通帶阻帶阻帶過(guò)渡帶過(guò)渡帶 平滑過(guò)渡平滑過(guò)渡2)(,jsteH,stc111)(1 ,jceH低通濾波器的性能指標(biāo)低通濾波器的性能指標(biāo)高通濾波器的性能指標(biāo)高通濾波器的性能指標(biāo)fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止

7、頻率：fp(wp)又稱為通帶下限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fp(ws)又稱阻帶上限截止頻率。阻帶衰減：As帶通濾波器的性能指標(biāo)帶通濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws2帶阻濾波器的性能指標(biāo)帶阻濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。

8、通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws22、通常具體技術(shù)指標(biāo)通常具體技術(shù)指標(biāo)，即歸一化）（式中均假定：阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減通帶允許最大衰減：1)()(lg20)()(lg20)()(lg20)()(lg20000jjwjwjjwjwjeHdBeHeHeHAsdBeHeHeHApststcc3 3、DFDF頻響的三個(gè)參量頻響的三個(gè)參量 （1 1）幅度平方響應(yīng)）幅度平方響應(yīng) （2 2）相位響應(yīng)）相位響應(yīng))()()()()(*2jjjjjeHeHeHeHeHjezzHzH)()(1)(Im)(Re)()()(jje

9、jjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(1jjjeHeHtge（3 3）群延遲）群延遲dedejj)()(它是表示每個(gè)頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時(shí)，就是它是表示每個(gè)頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時(shí)，就是表示每個(gè)頻率分量的延遲相同。表示每個(gè)頻率分量的延遲相同。4 4、DFDF設(shè)計(jì)內(nèi)容設(shè)計(jì)內(nèi)容 （1 1）按任務(wù)要求確定）按任務(wù)要求確定FilterFilter的性能指標(biāo)；的性能指標(biāo)； （2 2）用）用IIRIIR或或FIRFIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求； （3 3）選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)；）選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)； （4 4）用軟件還

10、是用硬件實(shí)現(xiàn)。）用軟件還是用硬件實(shí)現(xiàn)。第第7 7章章 IIR IIR濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)7.1 7.1 引言引言一一 、IIRIIR數(shù)字?jǐn)?shù)字filterfilter的設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)方法 （1 1）借助模擬）借助模擬filterfilter的設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)方法 a. a. 將將DFDF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AFAF的技術(shù)指標(biāo)；的技術(shù)指標(biāo)； b. b. 按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通filterfilter的的 ； c. 將將 d. 如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通AFAF的的 技術(shù)指標(biāo)。技術(shù)指標(biāo)。 （2 2） 計(jì)

11、算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法（最優(yōu)化設(shè)計(jì)法）計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法（最優(yōu)化設(shè)計(jì)法） 先確定一個(gè)最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則，先確定一個(gè)最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則，最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下 ， 確定系確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。) s (Ha)()(zHsHa 以上兩種設(shè)計(jì)方法中，著重講第一種，因?yàn)橐陨蟽煞N設(shè)計(jì)方法中，著重講第一種，因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場(chǎng)合所要完成的任務(wù)與模擬濾波數(shù)字濾波器在很多場(chǎng)合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時(shí)數(shù)字濾波也可看作是時(shí)數(shù)字濾波也可看作是“模仿模仿”模擬濾波

12、器。在模擬濾波器。在IIRIIR濾波器設(shè)計(jì)中，采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍。濾波器設(shè)計(jì)中，采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也逐漸增多。逐漸增多。 二、二、將將DFDF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為ALFALF的技術(shù)指標(biāo)的技術(shù)指標(biāo)1 1、意義、意義 AFAF的設(shè)計(jì)有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計(jì)公式；的設(shè)計(jì)有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計(jì)公式；設(shè)計(jì)圖表；有典型的濾波器，如巴特沃什，切比雪設(shè)計(jì)圖表；有典型的濾波器，如巴特沃什，切比雪夫等。夫等。2 2、一般轉(zhuǎn)換方法、一般轉(zhuǎn)換方法 （1 1） （2 2） （3 3） （4 4）AL

13、FDLF ALFAHFDHFALFABFDBFALFABSFDBSF3 3、轉(zhuǎn)換舉例、轉(zhuǎn)換舉例 例如，一低通例如，一低通DFDF的指標(biāo)：在的指標(biāo)：在 的通帶的通帶范圍，幅度特性下降小于范圍，幅度特性下降小于1dB1dB；在；在 的的阻帶范圍，衰減大于阻帶范圍，衰減大于15dB15dB；抽樣頻率；抽樣頻率 ；試將這一指標(biāo)轉(zhuǎn)換成試將這一指標(biāo)轉(zhuǎn)換成ALFALF的技術(shù)指標(biāo)。的技術(shù)指標(biāo)。 解：按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有解：按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有2 . 03 . 0kHzfS101)e (H/ )e (Hlg202 . 0 j0 j15)e (H/ )e (Hlg203 . 0 j0 j 假定

14、假定 處幅度頻響的歸一化值為處幅度頻響的歸一化值為1 1，即即01)e (H0 j這樣，上面兩式變?yōu)檫@樣，上面兩式變?yōu)?)(lg202 . 0jeH15)(lg203 . 0jeH由于由于 ，所以當(dāng)沒(méi)有混疊時(shí)，根據(jù)關(guān)系式，所以當(dāng)沒(méi)有混疊時(shí)，根據(jù)關(guān)系式模擬模擬filterfilter的指標(biāo)為的指標(biāo)為T),()()(jHTjHeHaaj1)102(lg20)2 . 0(lg203jHTjHaa15)103(lg20)3 . 0(lg203jHTjHaa三、三、ALFALF的設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì) ALFALF的設(shè)計(jì)就是求出的設(shè)計(jì)就是求出filterfilter的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù) Ha(S) ，使其逼近理想使

15、其逼近理想LFLF的特性，逼近的形式（的特性，逼近的形式（filterfilter的類型）的類型）有巴特沃什型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近有巴特沃什型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近依據(jù)是依據(jù)是幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)。函數(shù)。1 1、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù) （1 1）幅度平方函數(shù)）幅度平方函數(shù))()()()(*22jHjHjHAaaa由于由于 所以所以)()(*jHjHjsaaaasHsHjHjHA)()()()()(2 其中，其中， 是是AFAF的系統(tǒng)函數(shù)，的系統(tǒng)函數(shù)， 是是AFAF的頻響，的頻響，

16、是是AFAF的幅頻特性。的幅頻特性。) s (Ha)j (Ha)( jHa（2 2）H Ha a（S S）H Ha a（-S-S）的零極點(diǎn)分布特點(diǎn)）的零極點(diǎn)分布特點(diǎn) a. a. 如果如果S1是是Ha（S）的極點(diǎn)，那麼的極點(diǎn)，那麼- S1就是就是H Ha a（-S-S）的極點(diǎn)；同樣，如果的極點(diǎn)；同樣，如果S0是是Ha（S）的零點(diǎn)，那麼的零點(diǎn)，那麼- S0就是就是Ha（-S）的零點(diǎn)。所以的零點(diǎn)。所以Ha（S） Ha（-S）的零極點(diǎn)是呈的零極點(diǎn)是呈象限對(duì)稱的象限對(duì)稱的, ,例如：例如： b. b. 虛軸上的零點(diǎn)一定是二階的，這是因?yàn)樘撦S上的零點(diǎn)一定是二階的，這是因?yàn)閔a（t）是實(shí)數(shù)時(shí)的是實(shí)數(shù)時(shí)的Ha

17、（S）的零極點(diǎn)以共軛對(duì)存在；的零極點(diǎn)以共軛對(duì)存在； c. c. 虛軸上沒(méi)有極點(diǎn)（穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無(wú)極點(diǎn)）；虛軸上沒(méi)有極點(diǎn)（穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無(wú)極點(diǎn)）； d. d. 由于由于filterfilter是穩(wěn)定的，所以是穩(wěn)定的，所以Ha（S）的極點(diǎn)一定在的極點(diǎn)一定在左半平面；最小相位延時(shí)，應(yīng)取左半平面的零點(diǎn)，如無(wú)此左半平面；最小相位延時(shí)，應(yīng)取左半平面的零點(diǎn)，如無(wú)此要求，可取任一半對(duì)稱零點(diǎn)為要求，可取任一半對(duì)稱零點(diǎn)為Ha（S）的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。 ;1111jj;2222jj;3344jjj11j3322j22j11j4j4 j(3) (3) 由由 確定確定 的方法的方法 a. a. 求求 b. b. 分

18、解分解 得到各零極點(diǎn)，將左半面的得到各零極點(diǎn)，將左半面的 極點(diǎn)歸于極點(diǎn)歸于 ，對(duì)稱的零點(diǎn)任一半歸，對(duì)稱的零點(diǎn)任一半歸 。 若要求最小相位延時(shí)，左半面的零點(diǎn)歸若要求最小相位延時(shí)，左半面的零點(diǎn)歸 （全部零極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)）。（全部零極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)）。 c. c. 按頻率特性確定增益常數(shù)。按頻率特性確定增益常數(shù)。 22)()(jHAa)(sHa22)()()(2SaaAsHsH),S(H)S(Haa)S(Ha)S(Ha)S(Ha例例 由由)36)(49/()25(16)(22222A確定系統(tǒng)函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù) 。)(SHa解：解：)36)(49()25(16)()()(2222222SSSASHSH

19、Saa所以，極點(diǎn)為所以，極點(diǎn)為 零點(diǎn)為零點(diǎn)為, 6s , 7s4, 32, 1, 5 j均為二階的。我們選極點(diǎn)均為二階的。我們選極點(diǎn)-6，-7，一對(duì)虛軸零點(diǎn)，一對(duì)虛軸零點(diǎn)5 j為為 的零極點(diǎn)，這樣的零極點(diǎn)，這樣)S(Ha)6S)(7S()25S(K)S(H20a由由 ，可確定出，可確定出 ，)0(A)0(Ha0K76K25)0(H0a,76254)0(A所以所以 。4K0因此因此42S13S100S4)6S)(7S()25S(4)S(H222a因因7.2 7.2 常用模擬濾波器設(shè)計(jì)常用模擬濾波器設(shè)計(jì)一、巴特沃什低通濾波器一、巴特沃什低通濾波器 1 1、 巴特沃什模擬低通濾波器的響應(yīng)及其特點(diǎn)巴特

20、沃什模擬低通濾波器的響應(yīng)及其特點(diǎn)NCajjjHA222)(11)()(其中，其中，N N 為為filterfilter的階數(shù)；的階數(shù)； 為通帶截止頻率。為通帶截止頻率。 a a、C特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f f 幅頻特性幅頻特性A(QA(Q2 2) )單調(diào)單調(diào) 。1)(, 0)( , 102jQHQQQQ，QQaNccc則時(shí)當(dāng)21)(, 1jQHQQ，QQacc則時(shí)當(dāng)0)(, 1)( , 12jQHQQQQ，QQaNccc則時(shí)當(dāng)注：巴特沃什模擬低通濾波器的帶寬恒為注：巴特沃什模擬低通濾波器的帶寬恒為3dB3dB帶寬，與階數(shù)無(wú)關(guān)帶寬，與階數(shù)

21、無(wú)關(guān)(b).(b).巴特沃什濾波器在通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)均為單調(diào)變化，巴特沃什濾波器在通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)均為單調(diào)變化，單單 調(diào)下降調(diào)下降函數(shù)。函數(shù)。(d).隨階次的隨階次的增大增大而越來(lái)越接近于理想低通濾波器。而越來(lái)越接近于理想低通濾波器。(c).(c).當(dāng)當(dāng) 并且由于幅度平方函數(shù)并且由于幅度平方函數(shù) 的的 前前2N-12N-1階導(dǎo)數(shù)在階導(dǎo)數(shù)在Q=0Q=0處為零，故又稱為處為零，故又稱為最大平坦最大平坦響應(yīng)濾響應(yīng)濾 波器。波器。 1)(, 0jQHQa2)( jQHa幅頻特性幅頻特性)j (Ha1.01.02/10 0N=2N=2N=4N=4N=8N=8c 通帶：使信號(hào)通過(guò)的頻帶通帶：使信號(hào)通過(guò)的頻帶

22、阻帶：抑制噪聲通過(guò)的頻帶阻帶：抑制噪聲通過(guò)的頻帶 過(guò)渡帶：通帶到阻帶間過(guò)渡的頻率范圍過(guò)渡帶：通帶到阻帶間過(guò)渡的頻率范圍 c c ：通帶邊界頻率。：通帶邊界頻率。理理想想濾濾波波器器過(guò)渡帶為零過(guò)渡帶為零阻帶阻帶|H(j)|=0|H(j)|=0通帶內(nèi)幅度通帶內(nèi)幅度 |H(j)|=const.|H(j)|=const. H(j) H(j)的相位線性的相位線性2 2、 巴特沃什巴特沃什filterfilter的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù))(SHa由由 所以其零點(diǎn)全所以其零點(diǎn)全部部在在 處；即所謂全極點(diǎn)型，假設(shè)處；即所謂全極點(diǎn)型，假設(shè)Qc=1Qc=1，則它，則它的極點(diǎn)為的極點(diǎn)為,)(1/1)()(2NCaajS

23、SHSHS也就是說(shuō)，這些極點(diǎn)也是呈象限對(duì)稱的。而且分布也就是說(shuō)，這些極點(diǎn)也是呈象限對(duì)稱的。而且分布在巴特沃什圓上（半徑為在巴特沃什圓上（半徑為 ），共有），共有2N2N點(diǎn)。點(diǎn)。C為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)N，eN，eSN，eN，eSNNkjNkjk）kj（kjNN)2(2212) 1(12210N、k例如，例如，N=2N=2時(shí)，時(shí)，,431jCeS,eS45jC2,eS47jC3N=3N=3時(shí)，時(shí)，,eS35jC4;eS49jC4,eS32jC1,eSjC2,eS34jC3,eS2jC537jC6eSj2N 1S2S3S4S1S2S3S4S5S6Sj3N 4NkeSkjck2,.

24、,1,)41221(考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取 左半平面的左半平面的極點(diǎn)為極點(diǎn)為 的極點(diǎn)，這樣極點(diǎn)僅有的極點(diǎn)，這樣極點(diǎn)僅有N 個(gè)，即個(gè)，即其中，常數(shù)其中，常數(shù) 由由 的低頻特性決定。的低頻特性決定。)()(SHSHaa)(SHaNkeSNkjCk, 2 , 1,)21221( 則則NkkaSSKSH10)()(0K)(SHa注：極點(diǎn)不可能出現(xiàn)在虛軸上，而是等間隔的分布在注：極點(diǎn)不可能出現(xiàn)在虛軸上，而是等間隔的分布在 以以QcQc為半徑的圓周上，間隔為為半徑的圓周上，間隔為N/23j21eS34j3 例例 導(dǎo)出三階巴特沃什導(dǎo)出三階巴特沃什LFLF的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)s

25、/rad1C解：解：所以所以)1(6622111/1)()(jjjHA6aaS1/1)S(H)S(H其極點(diǎn)為其極點(diǎn)為因此有因此有,23j21eS32j1, 1eSj2,23j21eS35j4, 1eS2j523j21eS37j6取前三個(gè)極點(diǎn)，則有取前三個(gè)極點(diǎn)，則有1S2S2SK) 1S)(23j21S)(23j21S(K)S(H2300a1210,N、keSNkjk, 1)0(AK)0(H0a1S2S2S1)S(H23a3 3、 歸一化的系統(tǒng)函數(shù)歸一化的系統(tǒng)函數(shù) 如果將系統(tǒng)函數(shù)的如果將系統(tǒng)函數(shù)的S, S, 用濾波器的截止頻率去除，這用濾波器的截止頻率去除，這樣對(duì)應(yīng)的截止頻率變?yōu)闃訉?duì)應(yīng)的截止頻率

26、變?yōu)? 1，即所謂歸一化，相應(yīng)的系統(tǒng)，即所謂歸一化，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)記作函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)記作例如，對(duì)于巴特沃什例如，對(duì)于巴特沃什filterfilter)S(Han,)SS(K)S(HN1kk0a)N21k221( jCkeSN, 2 , 1k )21221(10,)()(NkjkCNkkaneSSSSSKSH如果將低通如果將低通filterfilter歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。4 4、歸一化原型、歸一化原型filterfilter的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù) 不論哪種形式（巴特沃什，切比雪夫）的不論哪種形式（巴特沃什，切比雪夫）的fil

27、terfilter，都有自己的歸一化原型都有自己的歸一化原型filterfilter，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)表可查和設(shè)計(jì)公式據(jù)表可查和設(shè)計(jì)公式 例如，歸一化巴特沃什原型例如，歸一化巴特沃什原型filterfilter的系統(tǒng)函數(shù)（這的系統(tǒng)函數(shù)（這里的里的S S即即 ）為）為當(dāng)當(dāng) , ,增益為增益為1 1，則有，則有 ，N=1-10N=1-10階的各階的各個(gè)系數(shù)，如表所示。個(gè)系數(shù)，如表所示。 如果如果 ，則，則 E E（S S）的根。即）的根。即 的極點(diǎn)所示。的極點(diǎn)所示。 * * 由歸一化系統(tǒng)函數(shù)由歸一化系統(tǒng)函數(shù) 得得 ，只需將，只需將S S代代入入 即可。即可。SN2210

28、anSSaSa1d)S(H 01ad00)S(E/d)S(H0an)S(Han)S(Han)S(HaC/S 5 5、設(shè)計(jì)舉例（巴特沃什、設(shè)計(jì)舉例（巴特沃什filterfilter） a. a. 技術(shù)指標(biāo)技術(shù)指標(biāo) b. b. 計(jì)算所需的階數(shù)及計(jì)算所需的階數(shù)及3dB3dB截止頻率截止頻率 將技術(shù)指標(biāo)，代入上式，可得將技術(shù)指標(biāo)，代入上式，可得1)102 j (Hlg203a15)103 j (Hlg203a)(1/1)j (HN2C2a)(1lg10)j (Hlg20N2Ca1)102(1lg10N2C315)103(1lg10N2C3解上述兩式得：解上述兩式得：1 . 0N2C310)102(15

29、 . 1N2C310)103(1因此，因此，3C1004743. 7,8858. 5N取取N=6N=6，則，則3C100321. 7c. c. 的求得的求得查表，可得查表，可得N=6N=6時(shí)的歸一化原型模擬巴特沃什時(shí)的歸一化原型模擬巴特沃什LFLF的的系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為3456anS1416202. 9S4641016. 7S8637033. 3S/(1)S(H) 1S8637033. 3S4641016. 72) 1S4142135. 1S)(1S51763809. 0S/(122)1S931851652. 1S(2)(sHa將將S用用 代入，可得代入，可得3C100321. 7/SS)S

30、(Ha)104504.49S1064003. 3S/101 .120923)S(H6328a)104504.49S1058498.13S)(104504.49S1094475. 9S(632632二、切比雪夫（二、切比雪夫（chebyshevchebyshev）濾波器）濾波器 特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。 巴特沃什濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的巴特沃什濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率，如果階次一定，則在靠近截止頻率 處，幅度下處，幅度下降很多，或者說(shuō)，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要降很多，或者說(shuō)，為了使通常內(nèi)的衰

31、減足夠小，需要的階次（的階次（N N）很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫）很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的多項(xiàng)式逼近所希望的 。 切比雪夫?yàn)V波器的切比雪夫?yàn)V波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃什濾波伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃什濾波器要小。可根據(jù)需要對(duì)通帶內(nèi)允許的衰減量（波動(dòng)范器要小?？筛鶕?jù)需要對(duì)通帶內(nèi)允許的衰減量（波動(dòng)范圍）提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于圍）提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于1db1db。 c2)( jH2)( jH1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxTN1 1、T TN

32、 N（x x）NN階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為coshxcoshx返回返回x x的雙曲余弦值，定義為的雙曲余弦值，定義為 (exp(x) + exp(-x)/2 (exp(x) + exp(-x)/2 利用遞推公式：利用遞推公式： 及及可以得任意階數(shù)的切比雪夫多項(xiàng)式的展開式：可以得任意階數(shù)的切比雪夫多項(xiàng)式的展開式：11( )2( )( )NNNTxxTxTxxx，TxT)(1)(1022( )21T xx33( )43T xxx424( )881T xxx535( )16205T xxxx一般而言，有一般而言，有(a).N(a).N階切比雪夫多項(xiàng)式階切比雪夫多項(xiàng)式 為為x

33、x的的N N階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式)(xTN)(xTN)(xTN為偶數(shù)為奇數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)NN，TNNT，xNN10)0(10)0(021)1(1N，Tx時(shí)(b).N(b).N為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)， 為奇函數(shù)；為奇函數(shù)；N N為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， 為偶函數(shù)為偶函數(shù))(, 11)(,1xTxxxTxNN時(shí)(c).(d).(d).當(dāng)當(dāng)振幅平方函數(shù)為振幅平方函數(shù)為)(11)()(2222cNaTjHAc10有效通帶截止頻率有效通帶截止頻率與通帶波紋有關(guān)的參量，與通帶波紋有關(guān)的參量， 大大 ，波紋大。，波紋大。 2 2、頻率響應(yīng)及其特點(diǎn)、頻率響應(yīng)及其特點(diǎn) 如圖如圖 ,通帶內(nèi)通帶內(nèi) 變化范圍變化范圍1 c ，

34、隨，隨/c ， 0 (迅速趨于零迅速趨于零)平方幅頻特性在過(guò)渡區(qū)和阻帶內(nèi)單調(diào)下降平方幅頻特性在過(guò)渡區(qū)和阻帶內(nèi)單調(diào)下降, ,當(dāng)其幅度減小到當(dāng)其幅度減小到1/A1/A2 2處時(shí)的頻率稱為阻帶截止頻率處時(shí)的頻率稱為阻帶截止頻率當(dāng)當(dāng) =0時(shí)，時(shí)， N為偶數(shù)，為偶數(shù)， ，min ， N為奇數(shù)，為奇數(shù)， ， max，)2(cos11)0arccos(cos11)(22220NNjHa22011)(jHa1)(02jHa1)2(cos2N0)2(cos2N2111c2a)( jH2a)( jH2minmax111lg20)()(lg20jHjHaa)1lg(1021101.02)(dB 給定通帶波紋值分貝數(shù)

35、給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求后，可求 。3 3、 有關(guān)參數(shù)的確定有關(guān)參數(shù)的確定: : a a、通帶截止頻率、通帶截止頻率c c，預(yù)先給定，預(yù)先給定 b b、通帶波紋為、通帶波紋為 c c、階數(shù)、階數(shù)NN由阻帶的邊界條件確定。（由阻帶的邊界條件確定。（ 、A A事先給定）事先給定） r1lg ) 1(lg22ssQQggN則處的衰減為阻帶,12sQA)(1) 1(22sNjQHAAg其中)(sHN0)(122jsTNNNNNkkkkkkkbaQbabQajQS1212121222221121112111211121,1:,由以下兩式確定其中方程為圓上則極點(diǎn)在一個(gè)橢如果極點(diǎn)位置表示為（3 3）

36、濾波器的傳遞函數(shù)濾波器的傳遞函數(shù) 的確定的確定: : NkbQNkakk2) 12(cos2) 12(sinNNNNNNNNkNssbsbsbbsVVkNVkNksVksskSHS112210212)()1()0()0(,)()()(:為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)為歸一化因子其中傳遞函數(shù)為平面極點(diǎn)可以求得系統(tǒng)利用左半例：試設(shè)計(jì)一切比雪夫例：試設(shè)計(jì)一切比雪夫LFLF，使其滿足下述指標(biāo)：，使其滿足下述指標(biāo)： 1 1、要求在通帶內(nèi)的波紋起伏不大于、要求在通帶內(nèi)的波紋起伏不大于2dB2dB 2 2、截止頻率為、截止頻率為40rad/s40rad/s 3 3、阻帶、阻帶52rad/s52rad/s處的衰減大于處

37、的衰減大于20dB20dB解解（1 1）歸一化處理）歸一化處理a.a.歸一化截止頻率歸一化截止頻率QcQc為為1rad/s.1rad/s.b.b.歸一化阻帶歸一化阻帶Qs=52/40=1.3rad/sQs=52/40=1.3rad/s （2 2）參數(shù)求?。﹨?shù)求取765. 02)1 (1lg20) 1(lg20212求得jHN)693. 0459. 0081. 0(081. 0)()()1 . 3(25443322105ssssbsbsbsbbksHc函數(shù)求得歸一化濾波器系統(tǒng)查表53 . 41lg1lg01.13) 1(1020)1 (lg20)3 . 1(lg2022222NQQggNAgA

38、AjHssN則選求得 （3 3）函數(shù)確定）函數(shù)確定)6271 .14)(152039. 5)(73. 8(1037. 8)(:,40/,402265ssssssHssQc波器傳遞函數(shù)即可得到所要設(shè)計(jì)的濾代換用濾波器傳遞函數(shù)中只要將上述歸一化原型為滿足)39. 035. 0)(95. 0135. 0)(21. 0(081. 0)(:)60. 017. 0)(60. 017. 0()97. 006. 0)(97. 006. 0)(21. 0(081. 0)(:)2 . 3(2255ssssssHjsjsjsjsssHC實(shí)數(shù)形式為將上式共軛對(duì)展成二次式展開式為可得極點(diǎn)位置和二次因查表 4 4、橢圓濾

39、波器（考爾濾波器）、橢圓濾波器（考爾濾波器） 特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過(guò)渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓得較其它濾波器更窄的過(guò)渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。濾波器是最優(yōu)的。 其振幅平方函數(shù)為其振幅平方函數(shù)為 R RN N（，L L）雅可比橢圓函數(shù)雅可比橢圓函數(shù)LL表示波紋性質(zhì)的參量表示波紋性質(zhì)的參量),(11)()(2222LRjHANa N=5， 的特性曲線的特性曲線 可見，在歸一化通帶內(nèi)（可見，在歸一化通帶內(nèi)（-11）

40、，）， 在（在（0，1）間振蕩，而超過(guò)間振蕩，而超過(guò)L后，后， 在在 間振蕩。間振蕩。 這一特點(diǎn)使濾波器同時(shí)在通帶和阻帶具有任意衰減量。這一特點(diǎn)使濾波器同時(shí)在通帶和阻帶具有任意衰減量。 ),(25LR2L),(25LR),(25LR 橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)橢圓濾波器的振幅平方函數(shù) 圖中圖中和和A A的定義的定義 同切比雪夫?yàn)V波器同切比雪夫?yàn)V波器rr當(dāng)當(dāng)cc、rr、和和A A確定后，階次確定后，階次N N的確定方法為：的確定方法為：)1()()1()(1/212121kKkKkKkKNAkkrc確定參量確定參數(shù)2/1222/1210)1 ()1 ()(tktdtkK式中式中 為第一類完全橢圓積

41、分為第一類完全橢圓積分 上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)時(shí)按照指標(biāo)要求，合理選用。計(jì)方法，設(shè)計(jì)時(shí)按照指標(biāo)要求，合理選用。 一般，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫一般，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃什最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。次之，巴特沃什最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。 巴特沃什濾波器巴特沃什濾波器頻響在通帶和阻帶內(nèi)均單調(diào)變化頻響在通帶和阻帶內(nèi)均單調(diào)變化帶寬恒為帶寬恒為3dB3dB帶寬，與階數(shù)無(wú)關(guān)帶寬，與階數(shù)無(wú)關(guān)切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫切比雪夫I I型頻響在通帶內(nèi)等波紋變化，型頻

42、響在通帶內(nèi)等波紋變化， 在阻帶內(nèi)單調(diào)，切比雪夫在阻帶內(nèi)單調(diào)，切比雪夫IIII型頻響在通帶內(nèi)型頻響在通帶內(nèi) 單調(diào)，在阻帶內(nèi)等波紋變化單調(diào)，在阻帶內(nèi)等波紋變化 帶寬一般不是帶寬一般不是3dB3dB帶寬，帶寬， 橢圓濾波器橢圓濾波器頻響在通帶和阻帶內(nèi)均等波紋變化頻響在通帶和阻帶內(nèi)均等波紋變化帶寬一般不是帶寬一般不是3dB3dB帶寬，帶寬， 21()1acHj()1acpHj 7.37.3 通過(guò)模擬濾波器設(shè)計(jì)通過(guò)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 在前一節(jié)我們介紹了模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，可見，在前一節(jié)我們介紹了模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，可見，現(xiàn)在的模擬濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)非常成熟，許多常用的模擬濾現(xiàn)

43、在的模擬濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)非常成熟，許多常用的模擬濾波器都有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，只要將設(shè)計(jì)指標(biāo)代入設(shè)計(jì)公式，波器都有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，只要將設(shè)計(jì)指標(biāo)代入設(shè)計(jì)公式，就可以很容易的計(jì)算出濾波器系統(tǒng)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)起來(lái)相當(dāng)簡(jiǎn)就可以很容易的計(jì)算出濾波器系統(tǒng)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)起來(lái)相當(dāng)簡(jiǎn)單。而且，在很多場(chǎng)合下，用離散時(shí)間系統(tǒng)模擬一個(gè)連續(xù)單。而且，在很多場(chǎng)合下，用離散時(shí)間系統(tǒng)模擬一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是有意義的。時(shí)間系統(tǒng)是有意義的。思路：思路：(a). (a). 先設(shè)計(jì)一個(gè)滿足性能指標(biāo)的模擬濾波器先設(shè)計(jì)一個(gè)滿足性能指標(biāo)的模擬濾波器 (b). (b). 采用映射變換的方式從采用映射變換的方式從 得到需要的數(shù)字濾波器得到需要的數(shù)字濾波器H(

44、Z) H(Z) )S(Ha)S(Ha通常有兩種方法：通常有兩種方法：（1 1）沖激響應(yīng)不變法；）沖激響應(yīng)不變法；（2 2）雙線性變換法。）雙線性變換法。映射變換的基本要求映射變換的基本要求1 1、因果性不變、因果性不變2 2、穩(wěn)定性不變、穩(wěn)定性不變3 3、頻率響應(yīng)形狀不變，保留模擬頻響的基本特性、頻率響應(yīng)形狀不變，保留模擬頻響的基本特性 s s平面左半平面平面左半平面z z平面單位圓內(nèi)平面單位圓內(nèi)( (保證物理可實(shí)現(xiàn)性不變保證物理可實(shí)現(xiàn)性不變) )s s平面虛軸平面虛軸z z平面單位圓上平面單位圓上 一、沖激響應(yīng)不變法一、沖激響應(yīng)不變法1 1、變換原理、變換原理 利用模擬濾波器理論設(shè)計(jì)數(shù)字濾波

45、器，也就是使利用模擬濾波器理論設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性，這種模仿可從不數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性，這種模仿可從不同的角度出發(fā)。同的角度出發(fā)。 沖激響應(yīng)不變法是從濾波器的沖激響應(yīng)出發(fā)，使沖激響應(yīng)不變法是從濾波器的沖激響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)序列數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)序列h(n)h(n)正好等于模擬濾波器正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)的沖激響應(yīng)h ha a(t)(t)的采樣值，即的采樣值，即 h(n)=hh(n)=ha a(nT), T(nT), T為采樣周期為采樣周期 如以如以H Ha a(s) (s) 及及 H H（z z）分別表示）分別表示 h ha a

46、(t) (t) 的拉氏變換及的拉氏變換及 h(n)h(n)的的 Z Z變換，即變換，即H Ha a(s)=Lh(s)=Lha a(t) , H(z)=Zh(n)(t) , H(z)=Zh(n)2 2、映射變換、映射變換 假如已設(shè)計(jì)出滿足性能指標(biāo)的模擬濾波器假如已設(shè)計(jì)出滿足性能指標(biāo)的模擬濾波器 ，其單位沖激響應(yīng)為其單位沖激響應(yīng)為 , ,記記 為為 的采樣，的采樣，即：即：)(sHa)(tha)(tha)(tha( )( )()aanh th ttnT則由拉普拉斯變換（定義、性質(zhì)）則由拉普拉斯變換（定義、性質(zhì)） 12( )()aanHsHsjnTT( )( ) ( )() ( ) () () (

47、)staastanstannsTannsTnHsh t edth ttnT edth ttnT edth nT eh n e( )( )nnH zh n z 比較上面兩式得，比較上面兩式得， 即即s s平面與平面與z z平平面之間的映射變換為面之間的映射變換為 ( )( )sTaz eHsH zsTze 以上表明，采用沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器以上表明，采用沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的 S S 平面到平面到 Z Z 平平面的變換，正是拉氏變換到面的變換，正是拉氏變換到Z Z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對(duì)即首先對(duì)H Ha

48、 a(s)(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過(guò)作周期延拓，然后再經(jīng)過(guò) 的映射關(guān)系映射到的映射關(guān)系映射到 Z Z 平面上。平面上。STez穩(wěn)定性：穩(wěn)定性： 如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn) S Si i 都在都在S S左半平面，即左半平面，即 ResResi i 0 , 0 , 那么變換后那么變換后H(Z)H(Z)的極點(diǎn)的極點(diǎn) 也都在單位圓以內(nèi)，也都在單位圓以內(nèi)，因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。Tsie1)(TsRTsieiee映射關(guān)系映射關(guān)系 ： S S平面上每一條寬為平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將的橫帶部分，都將重疊地映射到重疊地映射到Z Z平

49、面的整個(gè)平面上平面的整個(gè)平面上: : 每一橫帶的左半部分映射到每一橫帶的左半部分映射到Z Z平面單位圓以內(nèi)，平面單位圓以內(nèi)， 每一橫帶的右半部分映射到每一橫帶的右半部分映射到Z Z平面單位圓以外，平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上，軸映射到單位圓上， 軸上每一段軸上每一段 都對(duì)應(yīng)于繞單位圓一周。都對(duì)應(yīng)于繞單位圓一周。STezT2jjT2jsrezj,令TerT,則可以保證穩(wěn)定性和因果性。又因?yàn)榭梢詫⒖梢员ＷC穩(wěn)定性和因果性。又因?yàn)榭梢詫 s平面的虛軸映平面的虛軸映射為射為z z平面的單位圓，所以基本保持頻率響應(yīng)的形狀不變平面的單位圓，所以基本保持頻率響應(yīng)的形狀不變j0TT3T3T)Im( zj

50、)Re( z0S 平面Z 平面: 3 3、頻響關(guān)系、頻響關(guān)系 上面我們討論的是上面我們討論的是s s平面與平面與z z平面之間的映射關(guān)平面之間的映射關(guān)系，通過(guò)將模擬濾波器系，通過(guò)將模擬濾波器h ha a(t)(t)的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)H Ha a(s)(s)與數(shù)與數(shù)字濾波器字濾波器h(n)h(n)的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)H(Z)聯(lián)系、對(duì)照，得出的聯(lián)系、對(duì)照，得出的映射關(guān)系實(shí)質(zhì)上也是系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系。映射關(guān)系實(shí)質(zhì)上也是系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系。 下面將討論模擬濾波器下面將討論模擬濾波器ha(t)ha(t)和數(shù)字濾波器和數(shù)字濾波器h(n)h(n)頻率響應(yīng)之間的關(guān)系，即考察頻率響應(yīng)之間的關(guān)系，即考察

51、ha(t)ha(t)的傅里葉變換的傅里葉變換Ha(jQ)Ha(jQ)和和h(n)h(n)的變換的變換H(eH(ejwjw) )之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)出模擬角頻率出模擬角頻率Q Q和數(shù)字角頻率和數(shù)字角頻率W W之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 ( )( )at nTh nh t12()()jarH eHjjrTTT因?yàn)橐驗(yàn)樗运愿鶕?jù)取樣定理，只有當(dāng)根據(jù)取樣定理，只有當(dāng)AFAF的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)時(shí)，即時(shí)，即才能使才能使DFDF在折疊頻率在折疊頻率 內(nèi)重現(xiàn)內(nèi)重現(xiàn)AFAF的頻響，而不產(chǎn)生混的頻響，而不產(chǎn)生混疊失真。但是，任何一個(gè)實(shí)際疊失真。但是，任何一個(gè)實(shí)際A

52、FAF的頻響卻不是嚴(yán)格帶的頻響卻不是嚴(yán)格帶限的，就會(huì)產(chǎn)生限的，就會(huì)產(chǎn)生混迭失真混迭失真，如下圖，如下圖2T, 0)j (HSa)T/j (Ha022)(jeH)(TjHa00沖激響應(yīng)不變法中的頻響混淆沖激響應(yīng)不變法中的頻響混淆模擬濾波器頻響模擬濾波器頻響在折疊頻率以上在折疊頻率以上衰減越大，失真衰減越大，失真則越小，這時(shí)，則越小，這時(shí)，采用沖激響應(yīng)不采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到濾波器才能得到良好的效果。良好的效果。4 4、AFAF的數(shù)字化方法的數(shù)字化方法 （1 1）一般方法）一般方法)Z(H)S(Ha)S(HL) t (ha1a) t (ha)nT(h)n(ha例：

53、已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)例：已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)=A/(s-a),H(s)=A/(s-a),試試用沖激響應(yīng)不變法求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用沖激響應(yīng)不變法求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)H(Z)解解: :對(duì)對(duì)H(S)H(S)進(jìn)行拉氏反變換進(jìn)行拉氏反變換, ,求得模擬系統(tǒng)單位響應(yīng)求得模擬系統(tǒng)單位響應(yīng): :先做先做 ，再對(duì)，再對(duì)抽樣，使抽樣，使 ，最后，最后)()(nhZZH一般來(lái)說(shuō)過(guò)程比較復(fù)雜。一般來(lái)說(shuō)過(guò)程比較復(fù)雜。)()()(| )()(:, )()()(1nueAnTuAethnhtuAeasALthnaTantnTtat激響應(yīng)為則離散系統(tǒng)的沖1)1)()()(:ZeAnu

54、eAZnhZZHZaTaTn變換后即得對(duì)上式進(jìn)行 上述方法適用于一般的模擬系統(tǒng)函數(shù)可以用部分上述方法適用于一般的模擬系統(tǒng)函數(shù)可以用部分分式展開成為上述那樣單極點(diǎn)和的形式分式展開成為上述那樣單極點(diǎn)和的形式. . （2 2）方法的簡(jiǎn)化）方法的簡(jiǎn)化 設(shè)設(shè) 只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于分子的階次，分子的階次， 可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式)S(Ha)S(HaN1kkkaSSA)S(HN1ktSka1a) t (ueA)S(HL) t (hkN1kN1knTSknTSka)n(u)e (A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)n(hZ)Z(H0

55、nN1kkn1TSA)ze (kN1k0nn1TSk)ze (AkN1k1TSkZe1Ak例例: :模擬系統(tǒng)函數(shù)如下模擬系統(tǒng)函數(shù)如下: :試用沖激響應(yīng)不變法求出相試用沖激響應(yīng)不變法求出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù). .2222)(baassassHa解解: :將上式分解為部分分式之和將上式分解為部分分式之和: :)(21)(212)(222jbasjbasbaassassHa可見該模擬系統(tǒng)有一對(duì)共軛極點(diǎn)可見該模擬系統(tǒng)有一對(duì)共軛極點(diǎn): :相應(yīng)的數(shù)字濾波器也有一對(duì)極點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)字濾波器也有一對(duì)極點(diǎn): :)(jbaskTjbaeZ)( )1)(1 ()cos(1121121)(1

56、111)(1)(ZeeZeeZbTeZeZeZHjbTaTjbTaTaTTjbaTjbaa數(shù)字濾波數(shù)字濾波器的系統(tǒng)器的系統(tǒng)函數(shù)為函數(shù)為: :（3 3）、修正）、修正例例 將一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù)的模擬濾波器數(shù)字化。將一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù)的模擬濾波器數(shù)字化。 解：解： 3111) 3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT模擬濾波器的頻率響應(yīng)為模擬濾波器的頻率響應(yīng)為: : 示于圖示于圖a a4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs的頻率響應(yīng)為的頻率響應(yīng)為: :示于圖示于圖b b 顯然數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與采樣間隔顯然

57、數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與采樣間隔T T有關(guān)有關(guān),T,T越小越小, ,衰減越大衰減越大, ,混疊越小混疊越小, ,當(dāng)當(dāng) f fs s=24Hz ,=24Hz ,混疊可忽混疊可忽略不計(jì)略不計(jì), ,為什么混迭呢為什么混迭呢? ? 2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj小結(jié)小結(jié) 1)1)沖激響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性沖激響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，的，與與是線性關(guān)系。是線性關(guān)系。 因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過(guò)變因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過(guò)變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)

58、與頻率的關(guān)系。換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過(guò)沖激響應(yīng)不變法例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過(guò)沖激響應(yīng)不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。 2)2)在某些場(chǎng)合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波在某些場(chǎng)合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用沖激響器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用沖激響應(yīng)不變法。應(yīng)不變法。 TjHeHaj/)()( 3) 3)如果如果H Ha a(s)(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在S S左半平面

59、，映射后得左半平面，映射后得到的到的H(Z)H(Z)也是穩(wěn)定的。也是穩(wěn)定的。 4)4)沖激響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因沖激響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波器器, ,由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中，此時(shí)可增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于，此時(shí)可增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于 的頻帶，再用沖的頻

60、帶，再用沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用。應(yīng)時(shí)才采用。 2s 二、雙線性變換法二、雙線性變換法 沖激響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混沖激響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從淆，這是從S S平面到平面到Z Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換平面的標(biāo)準(zhǔn)變換z ze esTsT的多值對(duì)的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的, ,為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步：步： 第一步：將整