投影基礎(chǔ)知識應(yīng)用

1、江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪第二章 投影基礎(chǔ)2-4 直線與平面、平面與平面的相對位置江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2-1 投影法的基礎(chǔ)知識投影法的基礎(chǔ)知識點、直線和平面是構(gòu)成物體的基本幾何元素，掌握了這些基點、直線和平面是構(gòu)成物體的基本幾何元素，掌握了這些基本本幾何元素的正投影規(guī)律，是學(xué)好工程制圖的基礎(chǔ)。本章主要介紹投幾何元素的正投影規(guī)律，是學(xué)好工程制圖的基礎(chǔ)。本章主要介紹投影法的基礎(chǔ)知識及點、線和面的投影、繪圖原理和方法。影法的基礎(chǔ)知識及點、線和面的投影、繪圖原理和方法。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪一、投影法一、投影法 物體在太陽光或燈光的照射下，就會在地面上或墻壁上產(chǎn)生物體的影子，人們對這 類現(xiàn)象

2、進(jìn)行了長期的觀察或研究，并加以科學(xué)抽象而產(chǎn)生、建立了投影法。投影法投影法是投射線通過物體向預(yù)設(shè)的面投射，并在該面上得到圖形的方法，而得到圖形的方法。如圖2-1（見下頁）所示，射線可以是光線或假想線（如視線），射線稱為投影線。預(yù)設(shè)面稱為投影面，物體在投影面上所得到的圖形稱為投影。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪四面體四面體2-1 投影法投影面投影面P投影投影投影線投影線江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪投影中心投影面投影線空間點投影2-1 投影法(中心投影）SBAba江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪二、投影法分類二、投影法分類1. 1. 中心投影法中心投影法（1 1）斜投影法）斜投影法 （2 2）正投影法）正投影法

3、2. 2. 平行投影法平行投影法 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪1.中心投影法 投影線均從一點出發(fā)的投影法稱為中心投影法。如圖2-2所示，通過投影中心S作出四邊形ABCD在投影面P上的投影：從點S引投影線SA、SB、SC、SD使其與平面P相交分別得a、b、c、d,則四邊形abcd稱為四邊形ABCD在P面上的投影。 由圖2-2可見，隨著投影中心S、投影面P與四邊形ABCD的相對位置的變化， 所得投影abcd的形狀、大小也會發(fā)生變化，因此中心投影法不能反映原物體的真實形狀和大小，但是用中心投影法繪制的圖立體感較強(qiáng)，所以適用于繪制建筑物的透視圖。圖2-2中心投影法abcdABCDS江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳

4、仁洪 2.平行投影法投影線相互平行的投影法稱為平行投影法，如圖2-3所示。 在確定的投影方向下，空間的一個點在某投影面上的平行投影也是唯一確定的。 在平行投影法中，因為投影線互相平行，改變原物體對投影面的距離，則所得的投影大小和形狀不變。PabcdABCD圖2-3平行投影 根據(jù)投射方向與投影面的傾角不同平行投影法又分為斜投影平行投影法又分為斜投影法和正投影法法和正投影法。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 （1 1）斜投影）斜投影法：法：投影線傾斜于投影面的投影方法稱為斜投影法，所得的投影為斜投影，如圖2-4所示。圖2-4斜投影法ABCDcabd江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪圖2-5正投影法ABCDabc

5、d （2 2）正投影法：）正投影法：投影線垂直于投影面的投影方法稱為正投影法，所得的投影為正投影，如圖2-5所示。在機(jī)械制圖中主要是按正投影法繪制圖形的。 正投影法能滿足工程技術(shù)界對圖形與原物體形狀保持一一對應(yīng)的要求，同時圖形清晰、準(zhǔn)確和容易測量其幾何元素之間的相對位置，所以在工程制圖中廣泛應(yīng)用。本教案以下所說的“投影”，都屬于正投影。其投影特性有：其投影特性有：江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪三、正投影的投影特性三、正投影的投影特性1. 1. 積聚性積聚性2. 2. 實形性實形性3. 3. 類似性類似性4. 4. 平行性平行性5 5定比性定比性6 6從屬性從屬性江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2-2 物

6、體的投影與視圖物體的投影與視圖江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪VHXO圖2-7兩投影面系的投影 一、物體在兩投影面系的投影 兩投影面系由兩個互相垂直的投影面組成。如圖2-7所示，正立放置的投影面稱為正投影面，用字母“V”表示，得到的物體投影稱為正投影；水平放置的投影面稱為水平投影面，用字母“H”表示，得到的物體投影稱為水平投影；兩投影面的交線為投影軸OX。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪VHXO 一、物體在兩投影面系的投影圖2-7兩投影面系的投影 兩投影面系由兩個互相垂直的投影面組成。如圖2-7所示，正立放置的投影面稱為正投影面，用字母“V”表示，得到的物體投影稱為正投影；水平放置的投影面稱為水平投影面，

7、用字母“H”表示，得到的物體投影稱為水平投影；兩投影面的交線為投影軸OX。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 為了畫圖和看圖方便，需要將空間的兩投影畫在同一平面上，畫在同一平面上的兩投影稱為兩面投影圖。如圖2-8所示，展開的規(guī)則為：V面不動，將H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90。圖2-8兩投影系的展開VHXO江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 由于投影面的邊界大小與投影無關(guān)，投影軸對投影圖無影響，因此去掉邊界、投影軸得到圖2-9所示的圖形。但要注意，正面投影和水平投影的上下位置關(guān)系不能改變。圖2-9去除投影面邊界和投影軸江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪1 . 單面正投影圖：是用平行投影法中的正投影法設(shè)置一個投影面，從物體的一

8、個方向（垂直投影面）進(jìn)行投射畫出的圖。 二、 物體在三投影面系的投影單一正投影不能完單一正投影不能完全確定物體的形狀全確定物體的形狀和大小和大小圖2-10單面投影江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 2.兩面投影：有些形體用兩面（相互垂直）投影也不能準(zhǔn)確表達(dá)其形狀特點，如圖2-11所示。圖2-11兩面投影系江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪3.三面投影：因此在兩面投影系的基礎(chǔ)上增加了第三個投影面（與前兩投影面均垂直），即三投影面系。圖2-12三投影面系江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 4.三投影面體系：在原兩面投影系的右側(cè)新設(shè)一個與正投影面（V面）和水平投影面（H面）都垂直的側(cè)投影面，用字母“W”表示，就組成了一個三

9、投影面系三投影面系，三面的交線分別為X、Y、Z軸，原點為O。圖2-13三投影面系VHWV面:正立投影面 H面:水平投影面 W面:側(cè)立投影面三個平面相互垂直三個平面相互垂直為了便于畫圖和看圖，須將三投影面畫在同一平面上，也即展開三投影面系（見下頁）XZYX X軸，Y Y軸，Z Z軸叫投影軸O江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪在兩面投影系展開的基礎(chǔ)上，仍保持V面不動，將W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90。此時Y軸被一分為二：隨H面向下的Y軸用YH表示；隨W面向右旋轉(zhuǎn)的Y軸用YW表示。同樣，由于投影面邊界大小與投影無關(guān)，投影軸對投影圖無影響，因此可去掉邊界和投影軸。去掉邊界和投影軸（如圖2-14所示）后，得到三面投影

10、圖，即正面投影、水平投影和側(cè)面投影。由于投影面展開形式的規(guī)定，正面投影、水平投影和側(cè)面投影的位置是不能改變的。5.三投影面系的展開點擊觀看動畫點擊觀看動畫江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪XYHYWZOV（正投影面（正投影面）W（側(cè)投影面）（側(cè)投影面）H（水平投影面）（水平投影面）圖2-14三投影面展開V V W WH H三三面面合合一一并并除除去去邊邊界界江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪XYHYWZO圖2-14三投影面展開V V W WH H三三面面合合一一并并除除去去邊邊界界江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 三、 物體的三視圖 1. 根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)機(jī)械制圖的規(guī)定，物體的圖形按正投影繪制并采用第一分角投影法。即將

11、物體置于第一分角中位于觀察者和相應(yīng)的投影面之間，然后進(jìn)行投影。如右圖：圖2-15(a)物體的三面投影圖VHW江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪VHW圖2-15(b)展開的三面投影體系 物體在正投影面上的投影稱為主視圖，水平投影面上的投影稱為俯視圖，側(cè)投影面上投影稱為左視圖，如圖2-15(b)所示。注意，視圖的名稱不應(yīng)寫出。2.三視圖的展開江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪圖2-15(c)物體的三視圖主視圖主視圖左視圖左視圖俯視圖俯視圖去除邊界和坐標(biāo)軸江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 根據(jù)三視圖的形成 規(guī)律可知：俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方；同時，主視圖反映了物體的長度和高度，俯視圖反映了物體的長度

12、和寬度，左視圖反映了物體的高度和寬度。由此可歸納出三視圖的投影規(guī)律為：主、俯視圖長相等；主、左視圖高相等；俯、左視圖寬相等。下左右前后上上下后前左右寬高長寬3.三視圖的投影規(guī)律（三等關(guān)系）長對正高平齊寬相等圖2-16(a)三視圖的投影規(guī)律江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪下左右前后上上下后前左右寬高長寬4.三視圖的方位對應(yīng)關(guān)系 “長對正、高平齊、寬相等”是主、俯、左三視圖之間的投影規(guī)律。它對物體的局部或整體都是適用的。相對于人來說，人所看到的主、俯視圖的左、右邊就反映了物體的左、右方；看到的主、左視圖的上、下邊就反映了物體的上、下方；在俯、左視圖中，遠(yuǎn)離主視圖的一邊是物體的前面；反之，是物體的后面。因

13、此，上、下、左、右、前、后這六個方位是畫圖、看圖時應(yīng)該經(jīng)常注意到的。圖2-16(b)三視圖的方位關(guān)系江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪圖2-17物體三視圖的畫法5.三視圖的畫法江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2-3 物體的點、直線和平面的投影江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪一、點的投影 1. 點的投影 已知點的一個投影是不能確定其空間位置的，如圖2-18所示，因此要確定點的空間位置，必須增加其他投影面。圖218點是構(gòu)成立體最基本的幾何元素。因此，學(xué)習(xí)點的投影是學(xué)習(xí)直線、平面以立體投影的基礎(chǔ)。點的投影特性：點的投影仍然是點，而且一個投影面上的投影是唯一的。如右圖：點A在P面上的投影為唯一點a。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳

14、仁洪AaaaaxayazVHWOXYZXaaaOaxayazZayYHYWHWxyz(a)(b)圖2-19 點的三面投影的形成播放動畫 2. 點在三投影面系中的投影如下圖所示，空間點A處于由V面、H面和W面所組成的三投影面體系中，點A在V面上投影為a，在H面上的投影為a，在W面上的投影為a。 YHaYwa江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 3. 點的三面投影規(guī)律及點的直角坐標(biāo)（1) 點的投影連線垂直于投影軸，即AaOX,aAaOZ（2）點的投影到投影軸的距離，等于點的坐標(biāo)，也就是該點與對應(yīng)的相鄰?fù)队懊娴木嚯x。 即：圖2-20點的三面投影規(guī)律Aa=aaz=aay=x坐標(biāo)；Aa=aaz=aax=y坐標(biāo)；A

15、a=aax=aay=z坐標(biāo)。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 4. 點的投影圖畫法 例例2-12-1 已知空間點A（11、8、15），求作它的三面投影圖。 作圖作圖： 圖2-21已知點的坐標(biāo)求其投影圖作圖演示江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪a aaxa、 a a a a aaxazaz解法一解法一:通過作通過作45線使線使a az=aax解法二解法二:用分規(guī)直接量用分規(guī)直接量取取a az=aaxa 圖2-22已知點的兩投影求第三投影江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 5. 兩點的相對位置空間兩點上下、左右、前后的相對位置可根據(jù)它們在投影圖中的各組同面投影來判斷。也可以通過比較兩點的坐標(biāo)來判斷它們的相對位置，即x坐

16、標(biāo)大的點在左方；y坐標(biāo)大的點在前方；z坐標(biāo)大的點在上方。如圖2-23所示的空間點A、B，由V面投影可判斷出A在B的左方、上方，由H面投影可判斷出A在B的左方、前方，由W面投影可判斷出A在B的前方、上方，因此,由三面投影或兩投影就可以判斷點A在點B的左、前、上方。圖2-23兩點的相對位置江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪O前前下左圖2-24 利用相對坐標(biāo)作圖例2-3已知點A的投影，且知點B在A的左方10、下方15及前方12，試作出點B的投影。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 6. 重影點及其可見性如果空間兩點有兩個坐標(biāo)相等，一個坐標(biāo)不相等，則兩點在一個投影面上的投影就重合為一點，此兩點稱為對該投影面的重影點。

17、如右圖，點B在點A的正下方，則兩點A、B是對H面的重影點。a a c b ( )a b重影點要判別可見性，其方法是:比較兩點不相同的那個坐標(biāo)，其中坐標(biāo)大的可見。例如兩點A、B的x和Y坐標(biāo)相同，Z坐標(biāo)不等，因ZAZB，因此，a可見，b不可見（加括號即表示不可見）。cdc (d )cd圖2-25 重影點及可見性江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪二、直線的投影1.直線投影的概念2.直線的投影特性3.直線的分類及其投影特性4.直線上的點5.兩直線的相對位置江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪O圖2-26 直線投影的確定 1.直線投影的概念兩點確定一條直線，連接直線上兩端點的各組同面投影，就得到直線的投影。如圖3-10所

18、示，分別連接直線AB上兩端點的同面投影ab、ab、ab 即得直線AB的投影。直線的投影一般仍是直線。bab aab 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2.直線的投影特性（1）直線對一個投影面的投影特性ABab直線垂直于投影面投影重合為一點 積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長 ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短 ab=ABcosABabAMBabm江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪（2）直線投影的基本特性 一般情況下，一般情況下， 直線的投影仍然為直線，直線的投影仍然為直線， 特殊情況為一個點。特殊情況為一個點。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪圖2-27 直線投影實例想一想AB的投影在 ?（3）直線投影實

19、例江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪3.直線的分類及其投影特性 一般位置直線一般位置直線 直線直線 投影面的平行線投影面的平行線 投影面的垂直線投影面的垂直線 正平線正平線 正垂線正垂線 投影面的平行線投影面的平行線 水平線水平線 投影面的垂直線投影面的垂直線 鉛垂線鉛垂線 側(cè)平線側(cè)平線 側(cè)垂線側(cè)垂線特殊位置直線特殊位置直線（1 1）直線的分類）直線的分類-根據(jù)直線與三個投影面相對位置的不同，可以將根據(jù)直線與三個投影面相對位置的不同，可以將 直線劃分為三類直線劃分為三類 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪OO（2）一般位置直線:與三個投影面都傾斜 如圖所示，直線如圖所示，直線AB為一般位置直線，它與三個投影面

20、的傾角分別為為一般位置直線，它與三個投影面的傾角分別為，。其投影特性可歸納為三點：。其投影特性可歸納為三點： 1)1)一般位置直線的正面、水平面和側(cè)面的投影對三個投影軸既不平行也不垂一般位置直線的正面、水平面和側(cè)面的投影對三個投影軸既不平行也不垂直；直； 2)2)一般位置直線的任何一個投影均小于該直線的實長；一般位置直線的任何一個投影均小于該直線的實長； 3)3)任何一個投影與投影軸的夾角，均不反映空間直線與任何投影面間的傾角。任何一個投影與投影軸的夾角，均不反映空間直線與任何投影面間的傾角。圖2-28 一般位置直線 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪（3 3）投影面平行線）投影面平行線是指直線平行于

21、某一個投影面、而與另外是指直線平行于某一個投影面、而與另外兩個投影面傾斜兩個投影面傾斜 正平線正平線投影面的平行線投影面的平行線 水平線水平線 側(cè)平線側(cè)平線如下圖如下圖:正平線正平線是一條平行于正投影面的直線，它與水平投影面和側(cè)投是一條平行于正投影面的直線，它與水平投影面和側(cè)投影面傾斜影面傾斜,依此類推可知依此類推可知水平線水平線和和側(cè)平線。側(cè)平線。動畫演示圖2-29 正平線 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪小結(jié)：1.直線在所平行的投影面上的投影表達(dá)實長；2.其他投影平行于相應(yīng)的投影軸；3.表達(dá)實長的投影與投影軸所夾的角度等于空間直線對投影面的傾角。（4）投影面平行線的投影特性江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳

22、仁洪（5 5）投影面垂直線）投影面垂直線是指直線垂直于某一個投影面、而與另外兩個是指直線垂直于某一個投影面、而與另外兩個 投影面平行投影面平行 正垂線正垂線 投影面的垂直線投影面的垂直線 鉛垂線鉛垂線 側(cè)垂線側(cè)垂線如下圖如下圖:鉛垂線鉛垂線是一條垂直于水平投影面的直線，依此可推是一條垂直于水平投影面的直線，依此可推鉛垂線鉛垂線和和側(cè)垂線側(cè)垂線 動畫演示圖2-30 鉛垂線 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪小結(jié)：1.直線在所垂直的投影面上的投影成一點，有積聚性；2.其他投影表達(dá)實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。（6）投影面垂直線的投影特性 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪4.直線上的點直線上的點的投影特性：（1）點

23、在直線上，則點的各個投影必須在該直線的同面投影上；（2）直線段上的點分割直線成比例，投影后，仍保持比例不變，即符合定比分段特性。如圖2-31直線上的點具有從屬性和定比性是點在直線上的充分必要條件。 點與直線的相對位置有兩種情況：點在直線上或點不在直線上。 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪圖2-32 求直線上的定比分點 作圖過程例2-4已知直線AB 的投影圖，試將AB 直線分成2:3兩段，求分點C 的投影。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪例2-4判斷點K是否在直線AB上。a b k 因因k k 不在不在a a b b 上，上， 故點故點K K不在不在ABAB上。上。abka b k 圖2-33 判斷點是否在

24、直線上 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪5.兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置關(guān)系有以下三種情況情況平行、相交、交叉空間兩直線的相對位置關(guān)系有以下三種情況情況平行、相交、交叉（異面），前兩種為同面直線，后一種為異面直線。（異面），前兩種為同面直線，后一種為異面直線。1.1.兩直線平行兩直線平行 平行兩直線的同面投影均相互平行。平行兩直線的同面投影均相互平行。 2.2.兩直線相交兩直線相交 相交兩直線的同面投影均相交，且其投影的交點必滿足點的投相交兩直線的同面投影均相交，且其投影的交點必滿足點的投影規(guī)律。影規(guī)律。 3.3.兩直線交叉兩直線交叉 交叉兩直線既不滿足平行兩直線的投影規(guī)律，也不滿足相交兩交

25、叉兩直線既不滿足平行兩直線的投影規(guī)律，也不滿足相交兩直線的規(guī)律。直線的規(guī)律。 如圖如圖江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪平行平行相交相交交叉交叉江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪1）兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同面名投影必相互平行，反之亦然。O圖2-34 兩平行直線 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪b d c a cbadd b a c 對于對于特殊位置直線特殊位置直線，只有，只有兩個同面投影互相平行，空間直兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行不平行例例2-5：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投

26、影求出側(cè)面投影圖2-35 不平行直線 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪O2）兩直線相交 若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。交點是兩直線的共有點圖2-36 兩相交直線 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2）兩直線交叉O1(2)1(2)同名投影可能相交，但 “交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。 “交點”是兩直線上的一 對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。圖2-37 兩交叉直線 1 1 1（2）2 2 A AB BC CD Dc ca ad db bac cd da ab bbcdabcdZ ZX XY YH HY YW W江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪例題2-6

27、 判斷兩直線重影點的可見性3(4)34121(2)bObcddcXaa點、是H面的重影點點、是V面的重影點圖2-38江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪三、平面的投影江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪1.平面表示法在立體幾何中，確定平面的方式有五種：不在一直線上的三點；直線及線外一點；相交兩直線；平行兩直線；任意的平面圖形。在投影理論中，只需將上述諸方式簡單地轉(zhuǎn)換成投影方式，即可實現(xiàn)平面的投影表示。如下頁圖示：江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪abca b c 不在同一直線上的三個點abca b c 直線及線外一點abca b c dd 兩平行直線abca b c 兩相交直線abca b c 平面圖形圖2-39用幾何元

28、素表示平面江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪PVPWPHPXPYHPYWPZOXZYPH平面與投影面相交時的交線，叫平面的跡線，如下圖所示。平面P與V、H、W投影面的交線，分別叫正面跡線PV 、水平跡線PH 、側(cè)面跡線PW 。由于跡線是屬于投影面的直線，因此跡線在該投影面上的投影與跡線本身重合，該跡線的另兩個投影落在相應(yīng)的投影軸上。圖2-40用幾何元素表示平面平面 P與三投影軸OX、OY、OZ的交點，用PX、PY、PZ表示。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪 投影面的垂直面 平面 投影面的平行面 一般位置平面 正垂面 正平面 投影面的垂直面 鉛垂面 投影面的平行面 水平面 側(cè)垂面 側(cè)垂面特殊位置平面2.各種位

29、置平面的投影根據(jù)平面相對投影面的位置不同，可以分為三類：投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面。前兩類又稱為特殊位置平面，后一類稱為傾斜平面，平面與水平投影面的傾角、與正投影面的傾角和側(cè)投影面的傾角分別用表示。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪1）投影面垂直面投影面垂直面可分為三種垂直于V面的平面叫正垂面；垂直于H面的平面叫鉛垂面；垂直于W面的平面叫側(cè)垂面。圖3-25是鉛垂面ABC的投影。由于ABC垂直于H面，傾斜于V、W面，因此其水平投影積聚成一條直線，面投影和面投影都是類似的三角形，面投影與OX軸、OY軸的夾角分別反映ABC與V面、W面的傾角、。 垂直于一個投影面，與另兩個投影面傾斜的平面圖2-

30、41 鉛垂面的投影特性江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪投影面垂直面的投影特性投影圖及及及 具有積聚性，且為一斜線。 具有積聚性，且為一斜線。 具有積聚性，且為一斜線。為縮小的類似形為縮小的類似形的類似形為縮小名稱實例鉛垂正垂側(cè)垂面面面特性投影面垂直面的投影特性:一、平面在與其所垂直的投影面上的投影面積聚成傾斜與投影軸的直線,并反映該平面對其他兩個投影面的傾角二、平面的其他兩個投影都是面積小于原平面圖形的類似形江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2）投影面平行面平行于一個投影面，與另兩個投影面垂直的平面 投影面平行面可分為三種平行于V面的平面叫正平面；平行于H面的平面叫水平面；平行于W面的平面叫側(cè)平面。圖2-4

31、2為正平面的投影。平面P平行于V面，垂直于H面和W面，因此其V面投影反映實形，H面投影和W面投影積聚成直線，且H面投影平行于OX軸，W面投影平行于OZ軸。圖2-42 正平面的投影特性江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪投影面平行面的投影特性投名稱P特性O(shè)Y影圖實OX例水平正平側(cè)平面面面具有積聚性，且具有積聚性，且OY具有積聚性，且OZ具有積聚性，且OZ具有積聚性，且具有積聚性，且OX具有保真性具有保真性具有保真性投影面平行面的投影特性:一、平面在與其平行的投影面上的投影反映平面圖形的實形；二、平面在其他兩個投影面上的投影均積聚成平行于相應(yīng)投影軸的直線。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪3）一般位置平面與三個投影

32、面都傾斜的平面 一般位置平面的投影如圖2-43所示。由于ABC對H、V、W面都傾斜，因此它的三個投影都是三角形，為原平面圖形的類似形，面積均比實形小。圖2-43 一般位置平面的投影特性投影圖演示abcbacabCABabbaccbac江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪3.平面上的直線和點1）平面上的直線直線在平面上的條件是：直線必通過平面上的兩個點，如圖2-44（a）；通過平面上的一點，且平行于平面上的任一直線，如圖2-44（b）。圖2-44 平面上取直線(a)(b)江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2）平面上的點一直線在平面上，則此直線上的任何點都在該平面上。由此可知，點在平面上的條件是：點在平面內(nèi)的一條直

33、線上。 過平面上的一點可以作無數(shù)條直線，可根據(jù)需要選擇其中的一條。例例 2-7如右圖，兩相交直線AB、BC 組成平面，K 點屬于該平面，已知k，求k。分析：分析：因為K 屬于AB、BC 組成的平面，所以k 與A、B、C三點中任意一點的連線都屬于該平面。圖2-45 平面上取點（b）結(jié)果圖XOa b abc cd dkk 江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪應(yīng)該注意：特殊位置平面上的點和直線，因為平面在所垂直的投影面上的投影為一直線，有積聚性，所以平面上的點和直線，在該投影面上的投影也位于有積聚性的同面投影上（見下圖）a b c abcm mXO圖2-46 鉛垂面上取點江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪例例 2-8

34、在平面在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到H H面的距離為面的距離為10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！圖2-47 平面上取直線江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪3）平面上的投影面平行線在一般位置平面上存在一般位置直線和投影面平行線。平面上投影面的平行線既符合平面上直線的投影關(guān)系，又符合投影面平行線的投影特性。例例 2-9如圖如圖2-482-48所示，在所示，在ABCABC平面上任取一點平面上任取一點K K，使點，使點K K在在A A點之點之下下15mm15mm、在、在A A點之前點之前20mm20mm處處。XOn m k knme ef f

35、圖2-48 平面上取點a c b acb江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2-4 直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面的相對位置可分為平行、相交及垂直三種情況，在此僅研究直線與平面、平面與平面的平行及相交問題。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪一、平行問題1.直線與平面平行 由幾何學(xué)可知，直線與平面平行的幾何條件是：直線平行于平面內(nèi)的任一直線。 由圖2-49可以得出直線與投影面垂直面平行時，直線的投影平行于平面有積聚性的同面投影，或者直線和平面的同面投影都有積聚性。圖2-49 直線與平面平行動畫演示江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪例例 2-10過點過點M M作一水平線平行于平面（作一水平線平行于平

36、面（ABCDABCD），如圖），如圖2-502-50所示。所示。XOa b abc cd dm mn ne e圖2-50 過點作水平線與平面平行江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪例例 2-10已知直線已知直線AB的投影，過的投影，過E點作一鉛垂面與直線點作一鉛垂面與直線AB平行，平行，如圖如圖2-51所示所示。圖2-51 過點作水平線與平面平行a b abe eXOff PH解：解：過點過點E E作直線作直線EFEF ABAB（e e f f aa b b 、ef ef ab),ab),則過直線則過直線EFEF的任一的任一平面都平行于直線平面都平行于直線ABAB。本。本題要求作一鉛垂面。根據(jù)題要求作一

37、鉛垂面。根據(jù)鉛垂面的投影特性，其鉛垂面的投影特性，其水水平投影有積聚性，故所作平投影有積聚性，故所作鉛垂面鉛垂面P P的水平跡線的水平跡線P PH H應(yīng)應(yīng)與與efef重合。重合。PV江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2.平面與平面平行平面與平面平行的幾何條件是：一平面上兩條相交直線對應(yīng)平行一平面上兩條相交直線對應(yīng)平行于另一平面上兩條相交直線。于另一平面上兩條相交直線。圖2-52 兩平面平行的條件及投影圖d dg ge ef f如右圖：如右圖：若若ABFGABFG、ACDE,ACDE,則平面則平面P P平行于平面平行于平面Q QO（a）條件（b）投影圖江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪例例 2-11判斷兩三角形

38、所代表的平面是否平行，如圖判斷兩三角形所代表的平面是否平行，如圖2-53所示。所示。a b c d e f abcdefXOk m mkll nn 圖2-53 判斷兩平面平行江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪由下圖可知：兩個投影面垂直面相互平行時，它們積聚性的同面投影平行。兩個投影面垂直面相互平行時，它們積聚性的同面投影平行。動畫演示圖2-54 判斷兩平面平行江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪二、相交問題1.直線與平面相交直線與平面相交的交點是直線與平面的共有點，所以，直線與平面相交的問題即為求共有點的問題。且是直線可見與不可見的分界點。1）一般位置直線與特殊位置平面相交如圖2-54a所示，一般位置直線DE與

39、鉛垂面ABC 相交，交點K的H面投影k在ABC的H面投影abc上，又必在直線DE的H面投影de上，因此，交點K的H面投影k就是abc與de的交點，由k作de上的k，如圖2-54b所示。交點K也是直線DE在ABC 范圍內(nèi)可見與不可見的分界點。由圖2-54c可以看出，直線DE在交點右上方的一段KE位于ABC平面之前，因此ek為可見，kd被平面遮住的一段為不可見。也可利用兩交叉直線的重影點來判斷，ed與ac有一重影點1和2，根據(jù)H面投影可知，DE上的點在前，A上的點在后，因此1k可見，另一部分被平面遮擋，不可見，應(yīng)畫虛線。江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪圖2-54 一般位置直線與投影面垂直面相交江西財經(jīng)大

40、學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2）投影面垂直線與一般位置平面相交由于投影面垂直線在所垂直的那個投影面上的投影積聚為一點，由于投影面垂直線在所垂直的那個投影面上的投影積聚為一點，投影面垂直線與一般位置平面相交，交點的一個投影重合在直線有投影面垂直線與一般位置平面相交，交點的一個投影重合在直線有積聚性的投影上，而另一個投影是平面上過交點所作任意輔助線與積聚性的投影上，而另一個投影是平面上過交點所作任意輔助線與直線兩者的同面投影的交點。直線兩者的同面投影的交點。例例 2-12求鉛垂線求鉛垂線DE與平面與平面 ABC的交點的交點K，如圖，如圖2-55(a)、(b)所示。所示。ABCDEbacd(e)KXOa b c abcd e 此即為此即為K點的點的水平投影水平投影kkff k 判斷可見性判斷可見性1( )1 (2 )2圖2-55 投影面的垂直線與一般位置平面的交點(a)(b)江西財經(jīng)大學(xué)電子學(xué)院陳仁洪2.平面與平面相交兩平面在空間