自動(dòng)控制原理控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-文檔資料

1、1第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型內(nèi)容提要 本章介紹系統(tǒng)的各類(lèi)數(shù)學(xué)模型如微分方程，傳遞函數(shù)，本章介紹系統(tǒng)的各類(lèi)數(shù)學(xué)模型如微分方程，傳遞函數(shù)，方框圖，信號(hào)流圖的求取以及它們之間的相互關(guān)系。方框圖，信號(hào)流圖的求取以及它們之間的相互關(guān)系。知識(shí)要點(diǎn) 線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，拉普拉斯變換，傳遞函數(shù)的定線(xiàn)性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，拉普拉斯變換，傳遞函數(shù)的定義，方框圖的含義及簡(jiǎn)化，梅遜公式的含義和應(yīng)用。義，方框圖的含義及簡(jiǎn)化，梅遜公式的含義和應(yīng)用。 21、數(shù)學(xué)模型：、數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 1）動(dòng)態(tài)模型：）動(dòng)態(tài)模型：描述系

2、統(tǒng)處于暫態(tài)過(guò)程中各變量之間關(guān)系描述系統(tǒng)處于暫態(tài)過(guò)程中各變量之間關(guān)系的表達(dá)式，它一般是時(shí)間函數(shù)。的表達(dá)式，它一般是時(shí)間函數(shù)。 如：微分方程，傳遞函數(shù)，差分方程，狀態(tài)方程等。如：微分方程，傳遞函數(shù)，差分方程，狀態(tài)方程等。2）靜態(tài)模型：）靜態(tài)模型：描述過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)時(shí)各變量之間的關(guān)系。描述過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)時(shí)各變量之間的關(guān)系。一般不是時(shí)間函數(shù)一般不是時(shí)間函數(shù)2、建立動(dòng)態(tài)模型的方法、建立動(dòng)態(tài)模型的方法 1）解析法：）解析法：依據(jù)系統(tǒng)各變量之間所遵循的定律定理建模。依據(jù)系統(tǒng)各變量之間所遵循的定律定理建模。 2）實(shí)驗(yàn)法：）實(shí)驗(yàn)法：用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供的信息，采用辨識(shí)方法建模。用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供的信息，采用辨識(shí)方法建模。3、

3、建立動(dòng)態(tài)模型的意義：、建立動(dòng)態(tài)模型的意義：找出系統(tǒng)輸入輸出變量之間的相找出系統(tǒng)輸入輸出變量之間的相互關(guān)系，以便分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使系統(tǒng)控制效果最優(yōu)。互關(guān)系，以便分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使系統(tǒng)控制效果最優(yōu)。 2.1 引言32.2.1 2.2.1 列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程的步驟列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程的步驟 1 1、分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)、分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng) 和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個(gè)環(huán)節(jié)可考慮列寫(xiě)一個(gè)方程；和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個(gè)環(huán)節(jié)可考慮列寫(xiě)一個(gè)方程； 2 2、根據(jù)各變量所遵循的基本定律得出的基本規(guī)律，列寫(xiě)各環(huán)節(jié)、根據(jù)各變量所遵循的基本定律得出的基本規(guī)律，列寫(xiě)各

4、環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當(dāng)簡(jiǎn)化和線(xiàn)性化；的原始方程式，并考慮適當(dāng)簡(jiǎn)化和線(xiàn)性化； 3 3、將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入、將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入、輸出變量及其導(dǎo)數(shù)的微分方程；輸出變量及其導(dǎo)數(shù)的微分方程； 4 4、將輸出變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號(hào)左邊，將輸入變量及各階導(dǎo)、將輸出變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號(hào)左邊，將輸入變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號(hào)右邊，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)歸化為具有一定物數(shù)放在等號(hào)右邊，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義的形式，成為標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。理意義的形式，成為標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。 2.2 線(xiàn)性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型-微分方程微分方程42

5、.2.2 2.2.2 舉例舉例 例例2-1：設(shè)有由電感：設(shè)有由電感L、電容、電容C和電阻和電阻R組成的電路，組成的電路，如圖所示。試求出以輸出電壓如圖所示。試求出以輸出電壓Uo為輸出變量和以輸為輸出變量和以輸入電壓入電壓Ui為輸入變量的微分方程。為輸入變量的微分方程。5（1 1）確定電路的輸入量和輸出量）確定電路的輸入量和輸出量解解：Ui i為輸入量，為輸入量，Uo o為輸出量為輸出量（2 2）依據(jù)電路所遵循的電學(xué)基本定律列寫(xiě)微分方程）依據(jù)電路所遵循的電學(xué)基本定律列寫(xiě)微分方程（3 3）消去中間變量，得到）消去中間變量，得到U2與與U1的關(guān)系方程的關(guān)系方程)3()2(1) 1 (2UdtdiLR

6、iUidtCUUdtdiLURiUUUUUiCoLRCLRi對(duì)（2）式求導(dǎo)得 dtdUCiiCdtdUoo即,1代入（3）式并整理得 ioooUUdtdURCdtUdLC226例例2-2：如圖所示為一彈簧阻尼系統(tǒng)。圖中質(zhì)量為：如圖所示為一彈簧阻尼系統(tǒng)。圖中質(zhì)量為m的物體受到的物體受到外力外力F(t)作用產(chǎn)生位移作用產(chǎn)生位移y(t).試求該系統(tǒng)的微分方程。試求該系統(tǒng)的微分方程。解：解： （1 1）確定輸入量和輸出量）確定輸入量和輸出量輸入量：外力輸入量：外力F F（t) t) 輸出量輸出量: :位移位移y(t)y(t)（3 3）消去中間變量，得到）消去中間變量，得到輸入與輸出的關(guān)系方程輸入與輸出

7、的關(guān)系方程（2 2）列寫(xiě)原始微分方程）列寫(xiě)原始微分方程KBFFFFma其中其中dtdyFB阻尼器的粘性摩擦力阻尼器的粘性摩擦力kyFK彈簧的彈力彈簧的彈力（1 1）將以上各式代入（1）式得 kydtdyFdtydm227（4 4）整理且標(biāo)準(zhǔn)化）整理且標(biāo)準(zhǔn)化 )(1)()()(22tktydttdykdttydkmF令 - 時(shí)間常數(shù)； - 阻尼比； - 放大系數(shù)。 kmT/)2/(mkkK/1)()()(2)(222tKtydttdyTdttydTF得8例例2-3 2-3 設(shè)有帶直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，如圖所示。試列寫(xiě)系設(shè)有帶直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，如圖所示。試列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程。統(tǒng)微分方程。解：解：raxu C

8、xn （1）確定輸入輸出量）確定輸入輸出量 輸入量輸入量u ua a， 設(shè)設(shè) 輸出量輸出量n n，設(shè)，設(shè) （2）列微分方程）列微分方程等效電路如圖所示等效電路如圖所示 電樞回路的微分方程：電樞回路的微分方程： nCEeanCdtdiLriueaaaaaeC- -電勢(shì)常數(shù)電勢(shì)常數(shù) 電動(dòng)機(jī)機(jī)械微分方程電動(dòng)機(jī)機(jī)械微分方程 dtdnGDTTfu3752（2-2）（2-1）9若考慮電動(dòng)機(jī)負(fù)載力矩和粘性摩擦力力矩時(shí)：若考慮電動(dòng)機(jī)負(fù)載力矩和粘性摩擦力力矩時(shí)：dtdnGDTTTfunian3752其中其中dtdfwfTnian.，通常忽略不計(jì)。，通常忽略不計(jì)。電動(dòng)機(jī)電磁轉(zhuǎn)距與電樞電流成正比電動(dòng)機(jī)電磁轉(zhuǎn)距與電樞

9、電流成正比 amiCT （3）消去中間變量）消去中間變量 將（將（2-3）帶入（）帶入（2-4）得）得 （2-3）（2-5）（2-6）dtCdnGDima3752222375dtndCGDdtdima則當(dāng)電機(jī)空載時(shí)有則當(dāng)電機(jī)空載時(shí)有dtdnGDT3752（2-4）10將（將（2-5）,（2-6）帶入（）帶入（2-1）得）得 eaemaemaacundtdnCCrGDdtndCCRaGDRL3753752222（2-7）令：令： aaarLT - -電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī)電磁電磁時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) meamCCrGDT3752-電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù) 得得 eammaCundtdnTdtndT

10、T2（2-8）若以若以 為輸入，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)角為輸入，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)角 為輸出為輸出 audtd602ndtdn302230dtddtdn332230dtddtnd 將（將（2-9）（）（2-10）（）（2-11）帶入（）帶入（2-8）得）得 eammaCudtddtdTdtdTT105. 02233（2-9） （2-10） （2-11） （2-12） 11例例2-4 下圖所示為閉環(huán)調(diào)速控制系統(tǒng)，編寫(xiě)控制系統(tǒng)下圖所示為閉環(huán)調(diào)速控制系統(tǒng)，編寫(xiě)控制系統(tǒng) 微分方程。微分方程。 12(2)編寫(xiě)各環(huán)節(jié)的微分方程編寫(xiě)各環(huán)節(jié)的微分方程解解：(1)確定系統(tǒng)輸入輸出量確定系統(tǒng)輸入輸出量 輸入量為給定電壓輸入量為給定電壓r

11、(t)=Ug,輸出量為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速輸出量為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速c(t)=n. 1）比例放大環(huán)節(jié)）比例放大環(huán)節(jié) 0321III0120201RURURUkfg假定假定0201RR)()()(10112020112fgfgfgkUUKRUURRURURU，有，有2）可控硅整流功率放大環(huán)節(jié)）可控硅整流功率放大環(huán)節(jié)Ud=KsUk ； Ks-電壓放大系數(shù)電壓放大系數(shù) (2-15) (2-16) 133）直流電動(dòng)機(jī)）直流電動(dòng)機(jī)eammaCUndtdnTdtndTT22其中其中 memCCRGDT3752RLLTasa R電動(dòng)機(jī)電樞回路總電阻電動(dòng)機(jī)電樞回路總電阻 4）反饋環(huán)節(jié)）反饋環(huán)節(jié)sffnKUsfK比例系數(shù)比例系數(shù)

12、 (3) 消去中間變量消去中間變量 (2-17) 將式（將式（2-15）（）（2-16）代入（）代入（2-17）經(jīng)整理得：）經(jīng)整理得： ndtdnCKKTdtndCKKKTTessfmessfmd/1/1221)/1 (11essfessfCKKKCKKK= (2-18) 14令 Ks K1=Kg 正向通道放大系數(shù)，Ksf Ks K1/Ce=Kk 開(kāi)環(huán)放大系數(shù) 得閉環(huán)系統(tǒng)的微分方程式： )1 (1122kggkmkmaKUKndtdnKTdtndKTT15 1. 設(shè)質(zhì)量彈簧摩擦系統(tǒng)如圖所示，圖中設(shè)質(zhì)量彈簧摩擦系統(tǒng)如圖所示，圖中 為粘性摩擦系為粘性摩擦系數(shù)，數(shù)， 為彈簧系數(shù)，系統(tǒng)的輸入量為力為彈

13、簧系數(shù)，系統(tǒng)的輸入量為力 ，輸出量為質(zhì)量的，輸出量為質(zhì)量的位移位移 ，試列出系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。，試列出系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。 練習(xí)練習(xí)fk)(tpm)(tx【解解】 顯然,系統(tǒng)的摩擦力為 dttdxf)(彈簧力為 )(tkx根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 22)()()()(dttxdmtkxdttdxftp移項(xiàng)整理,得微分方程為 )()()()(22tptkxdttdxfdttxdm162. 如圖所示為一彈簧阻尼系統(tǒng)。圖中質(zhì)量為如圖所示為一彈簧阻尼系統(tǒng)。圖中質(zhì)量為m的物體受到外力的物體受到外力F(t)作用產(chǎn)生位移作用產(chǎn)生位移y(t).試求該系統(tǒng)的微分方程。試求該系統(tǒng)的微分方程。解：解： （1

14、1）確定輸入量和輸出量）確定輸入量和輸出量輸入量：外力輸入量：外力F F（t) t) 輸出量輸出量: :位移位移y(t)y(t)（3 3）消去中間變量，得到）消去中間變量，得到輸入與輸出的關(guān)系方程輸入與輸出的關(guān)系方程（2 2）列寫(xiě)原始微分方程）列寫(xiě)原始微分方程KBFFFFma其中其中dtdyfFB阻尼器的粘性摩擦力阻尼器的粘性摩擦力kyFK彈簧的彈力彈簧的彈力（1 1）將以上各式代入（1）式得 kydtdyfFdtydm22172.3 線(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型-傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 微分方程式描述線(xiàn)性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型的基本形式。 通過(guò)求解微分方程，可以得到系統(tǒng)在給定輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。 用微

15、分方程式表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有如下問(wèn)題： 1、當(dāng)微分方程的階數(shù)較高時(shí)，求解困難，且計(jì)算量較大。 2、對(duì)于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)，更要重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系，微分方程無(wú)法實(shí)現(xiàn)此問(wèn)題。 控制工程中，一般不需要精確地求出系統(tǒng)微分方程的解，作出它的輸出響應(yīng)，而是用簡(jiǎn)單的方法了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定及其在動(dòng)態(tài)過(guò)程中的主要特征，能判別某些參數(shù)的改變或校正裝置的加入對(duì)系統(tǒng)的影響。以傳遞函數(shù)為工具的根軌跡法和頻率響應(yīng)法能實(shí)現(xiàn)上述的要求。 182.3.1 2.3.1 傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)： 初始條件為零時(shí)，線(xiàn)性定常系統(tǒng)或初始條件為零時(shí)，線(xiàn)性定常系統(tǒng)或元

16、件輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變?cè)敵鲂盘?hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換的比，稱(chēng)為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。換的比，稱(chēng)為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。 )()()()()()(001111trdttrdtcdttdcdttcddttcdbbaaaammmnnnnnn線(xiàn)性定常系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式 為系統(tǒng)輸出量， 為系統(tǒng)輸入量。 )(tc)(tr在初始情況為零時(shí)，兩端取拉氏變換： )()()()()(0011srbsrsbscascsascsammnnnn)()()(01110111sGasasasabsbsbsbsrscnnnnmmmm19系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )()()()()(sNsMsRs

17、CsG或?qū)憺?傳遞函數(shù)與輸入、輸出之間的關(guān)系，可用圖表示。 G(s)R(s)C(s)01110111)()()(asasasabsbsbsbsrscsGnnnnmmmm20傳遞函數(shù)的兩種表達(dá)形式：傳遞函數(shù)的兩種表達(dá)形式：01110111)()()(asasasabsbsbsbsrscsGnnnnmmmm)()()()(2121nmgpspspszszszsKnjjmiigpszsK11)()(= = 1)2) 1() 1()()()(1111nnnnnmmmmmscscasdsdbsrscsG) 1() 1)(1() 1() 1)(1(2121sTsTsTsTsTsTKmm= = njjmii

18、sTsK11) 1() 1(212.3.2 2.3.2 傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì)1. 傳遞函數(shù)只能夠適用于線(xiàn)性定常系統(tǒng)；傳遞函數(shù)只能夠適用于線(xiàn)性定常系統(tǒng)；2. 傳遞函數(shù)是表征線(xiàn)性定常系統(tǒng)或元件自身的固有特性，它與傳遞函數(shù)是表征線(xiàn)性定常系統(tǒng)或元件自身的固有特性，它與其輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)其輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān) ，但和輸入信號(hào)的作用位置及輸出，但和輸入信號(hào)的作用位置及輸出信號(hào)的取出位置有關(guān)；信號(hào)的取出位置有關(guān)；3. 線(xiàn)性定常系統(tǒng)或元件的微分方程與傳遞函數(shù)一一對(duì)應(yīng)，它們線(xiàn)性定常系統(tǒng)或元件的微分方程與傳遞函數(shù)一一對(duì)應(yīng)，它們是在不同域?qū)ν幌到y(tǒng)或元件的描述；是在不同域?qū)ν幌到y(tǒng)或元件的描述；4. 傳遞函

19、數(shù)只反應(yīng)系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性；傳遞函數(shù)只反應(yīng)系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性；5. 傳遞函數(shù)是復(fù)變量傳遞函數(shù)是復(fù)變量s s的有理分式，且分子、分母多項(xiàng)式的各的有理分式，且分子、分母多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，分母多項(xiàng)式的次數(shù)項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，分母多項(xiàng)式的次數(shù)N N大于等于分子多項(xiàng)式大于等于分子多項(xiàng)式的次數(shù)的次數(shù)M M ，即，即 ；6.6.兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)一樣，但若輸入、輸出的物理兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)一樣，但若輸入、輸出的物理量不同，則代表的物理意義不同；量不同，則代表的物理意義不同；7.7.對(duì)于多輸入、多輸出系統(tǒng)，不能用一個(gè)傳遞函數(shù)去描述，而對(duì)于多輸入、多輸出系統(tǒng)，不能用一個(gè)傳

20、遞函數(shù)去描述，而是要用傳遞函數(shù)矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系。是要用傳遞函數(shù)矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系。 MN22例：傳遞函數(shù)求法例：傳遞函數(shù)求法 輸入量輸入量x(t)=ux(t)=u，輸出量，輸出量y(t)=iy(t)=i。列回路電壓方程：列回路電壓方程：dtdiLRiu即即 x(s)=Ry(s)+Lsy(s) x(s)=Ry(s)+Lsy(s) 經(jīng)整理得：經(jīng)整理得： )()()(sxsysG1/1TLsR= =其中其中 T Tl l= =RL, , 電路的時(shí)間常數(shù)。電路的時(shí)間常數(shù)。 兩邊取拉氏變換得：兩邊取拉氏變換得： u u(s)=R(s)=Ri i(s)+ Ls(s)+

21、 Lsi i(s)(s)232.3.3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及暫態(tài)特性典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及暫態(tài)特性 1. 比例環(huán)節(jié)（無(wú)慣性環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)（無(wú)慣性環(huán)節(jié)） KsxsysG)()()(2）傳遞函數(shù)）傳遞函數(shù) 3) 輸入輸出變化曲線(xiàn)輸入輸出變化曲線(xiàn) 4）結(jié)構(gòu)圖）結(jié)構(gòu)圖 1）數(shù)學(xué)表達(dá)式）數(shù)學(xué)表達(dá)式 K環(huán)節(jié)放大系數(shù)環(huán)節(jié)放大系數(shù) )()(tKxty242慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 2）傳遞函數(shù)）傳遞函數(shù) 特點(diǎn)：只含一個(gè)儲(chǔ)能元件特點(diǎn)：只含一個(gè)儲(chǔ)能元件 ）數(shù)學(xué)表達(dá)式）數(shù)學(xué)表達(dá)式 )()(tKxydttdyT1)()()(TsKsxsysG3) 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) 4) 結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖 253、積分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié) 1)

22、數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 dttxKty)()(2）傳遞函數(shù)）傳遞函數(shù) sKsxsysG)()()(3) 單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 4）結(jié)構(gòu)圖）結(jié)構(gòu)圖 響應(yīng)曲線(xiàn)隨時(shí)間直線(xiàn)增長(zhǎng)。輸入突然消響應(yīng)曲線(xiàn)隨時(shí)間直線(xiàn)增長(zhǎng)。輸入突然消失，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)失，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，如圖所示。具有記憶功能，如圖所示。 264、微分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)1）數(shù)學(xué)表達(dá)式）數(shù)學(xué)表達(dá)式 ） txdttdxTKtyd()()(2）傳遞函數(shù)）傳遞函數(shù) ) 1()()()(sTKsxsysGd3）變化曲線(xiàn)）變化曲線(xiàn) 4）結(jié)構(gòu)圖）結(jié)構(gòu)圖 275、振蕩環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié) 1）數(shù)學(xué)表達(dá)式）數(shù)學(xué)表

23、達(dá)式 )()()(2)(222txtydttdyTdttydT2）傳遞函數(shù)）傳遞函數(shù) 121)()()(22TssTsxsysG其中其中 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) 衰減系數(shù)（阻尼系數(shù)、阻尼比）衰減系數(shù)（阻尼系數(shù)、阻尼比） 對(duì)上式變形可寫(xiě)成：對(duì)上式變形可寫(xiě)成： TTn1自然振蕩角頻率自然振蕩角頻率 2222222121)()()(nnnssTsTsTsxsysG其中其中283) 階躍響應(yīng)曲線(xiàn)階躍響應(yīng)曲線(xiàn)輸入量單位階躍信號(hào)時(shí)，則輸入量單位階躍信號(hào)時(shí)，則 ssssynnn12)(222對(duì)上式拉氏反變換，求輸出響應(yīng)得對(duì)上式拉氏反變換，求輸出響應(yīng)得 222111)(tetxntcn211tan4）結(jié)構(gòu)圖）結(jié)構(gòu)圖

24、 296、時(shí)滯環(huán)節(jié)、時(shí)滯環(huán)節(jié) 1）數(shù)學(xué)表達(dá)式）數(shù)學(xué)表達(dá)式 )()(txty當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， t)()(txtyt當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 0)(ty2）傳遞函數(shù)）傳遞函數(shù) sesxsysG)()()(3）輸入輸出變化曲線(xiàn)）輸入輸出變化曲線(xiàn) 4）結(jié)構(gòu)圖）結(jié)構(gòu)圖 30G(s)X(s)Y(s) 2.4.1 結(jié)構(gòu)圖的基本概念結(jié)構(gòu)圖的基本概念1. 1. 定義定義: :是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它表示了系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)圖形，它表示了系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系。 2.4 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換2. 結(jié)構(gòu)圖的繪制結(jié)構(gòu)

25、圖的繪制 1）寫(xiě)出組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的微分方程）寫(xiě)出組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的微分方程 (傳遞函數(shù)傳遞函數(shù))； 2）根據(jù)傳遞函數(shù)畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)方框；）根據(jù)傳遞函數(shù)畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)方框； 3）按信號(hào)流向?qū)⒑瘮?shù)方框一一連接起來(lái)。）按信號(hào)流向?qū)⒑瘮?shù)方框一一連接起來(lái)。31 (s)X-(s)XE(s) 21常用符號(hào)及術(shù)語(yǔ)2) 比較點(diǎn)(相加點(diǎn)):對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算；1) 信號(hào)線(xiàn):帶箭頭的直線(xiàn),箭頭表示信號(hào)方向；2.4.2 2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的組成結(jié)構(gòu)圖的組成 3)引出點(diǎn)(分支點(diǎn)): 信號(hào)引出的一點(diǎn),稱(chēng)為引出點(diǎn)。通過(guò)引出點(diǎn)的信號(hào)都是相同的；4)方框:對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換； (s)X(s)XE(s) 2132

26、5）結(jié)構(gòu)圖的串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接。33式有式有由由(1)I2(s)I1(s) I(s)+例：試?yán)L制如圖所示無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。 2.4.3 2.4.3 結(jié)構(gòu)圖的建立結(jié)構(gòu)圖的建立 34)()(1)( )2(0i1sUsURsI式變換對(duì))()( )4(112sCsIRsI式變換對(duì)式有對(duì))3(35例例2-6 2-6 圖中為一無(wú)源圖中為一無(wú)源RCRC網(wǎng)絡(luò)。選取變量如圖所網(wǎng)絡(luò)。選取變量如圖所示，根據(jù)電路定律，寫(xiě)出其微分方程組為示，根據(jù)電路定律，寫(xiě)出其微分方程組為 36dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021

27、32202101137零初始條件下，對(duì)等式兩邊取拉氏變換，得 )(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI38 RC網(wǎng)絡(luò)方框圖 各環(huán)節(jié)方框圖 39(s)(s)GGG(s) )()()(X )()()(X 21113322sXsGssXsGs2.4.4 結(jié)構(gòu)圖的運(yùn)算1、串聯(lián)連接的傳遞函數(shù) 結(jié)論：二環(huán)節(jié)串聯(lián)傳遞函數(shù)等于二傳函之積。推廣：N環(huán)節(jié)串聯(lián)，傳遞函數(shù)等于N個(gè)環(huán)節(jié)傳函之積。 )(G(s)(s)GGG(s)n21s40)(.)()()( 21sGsGsGsGn)()( )()()(s)X

28、(s)XG(s) 2114312sGsGsXsXsX2、并聯(lián)連接的傳遞函數(shù)結(jié)論：二環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳函等于二環(huán)節(jié)傳 函之和。推廣：N環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳函等于各環(huán)節(jié)傳 函之和。41)()(1)()(s)X(s) (s)(s)X(s)GG-(s)(s)XG(s)X (s)(s)XG-(s)(s)XG(s)X (4)(3)(4) Y(s)-(s)(s)XG(s)X (1)(2)(3) (s)(s)XGY(s)(2) Y(s)-(s)X(s)(1) )()()(211122211122211211222112sGsGsGsXEsEsGsX代入代入3、反饋回路傳遞函數(shù)的求取前向通道：由偏差信號(hào)至輸出信號(hào)

29、的通道；反饋通道：由輸出信號(hào)至反饋信號(hào)的通道。42反饋通道傳函前向通道傳函前向通道傳函閉環(huán)傳函1當(dāng)為正反饋時(shí) )()(1)()(211sGsGsGs* 結(jié)論： 43 ) 1 (:72遞函數(shù)試求如圖所示系統(tǒng)的傳例 (s)(s)G(s)GG(s)(s)G(s)GG )()()()()(4314214321sGsGsGsGsG)()()()(1(s)(s)GG(s)432121sGsGsGsG(2)44 (1) 相加點(diǎn)前移1相加點(diǎn)等效移動(dòng)規(guī)則相加點(diǎn)前移，在移動(dòng)支路中串入所越過(guò)的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框 (2) 相加點(diǎn)后移 相加點(diǎn)后移,在移動(dòng)支路中串入所越過(guò)的傳遞函數(shù)方框。 2.4.5 結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化45 (

30、1)分支點(diǎn)前移2、分支點(diǎn)等效移動(dòng)規(guī)則分支點(diǎn)前移,在移動(dòng)支路中串入所越過(guò)的傳遞函數(shù)方框。 (2) 分支點(diǎn)后移分支點(diǎn)后移,在移動(dòng)支路中串入所越過(guò)傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框。46 結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化需注意以下兩點(diǎn)： 結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化的關(guān)健是解除環(huán)路與環(huán)路的交叉,應(yīng)設(shè)法使其分開(kāi),或形成大環(huán)套小環(huán)的形式; 解除交叉連接的有效方法是移動(dòng)相加點(diǎn)或分支點(diǎn)。一般，相鄰的相加點(diǎn)可交換，相鄰的分支點(diǎn)也可交換。但當(dāng)分支點(diǎn)和相加點(diǎn)相鄰時(shí)，它們不能簡(jiǎn)單交換。47(1) 前向通道中各串聯(lián)函數(shù)方框的傳函乘積保持不變；(2) 各反饋回路所含函數(shù)方框的傳函之積保持不變。3.結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化原則 在結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化過(guò)程中，相加點(diǎn)和分支點(diǎn)之間，在結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化過(guò)

31、程中，相加點(diǎn)和分支點(diǎn)之間，一般不宜交換其位置，相加號(hào)一般不宜交換其位置，相加號(hào)“+”也不能越過(guò)比較也不能越過(guò)比較點(diǎn)或引出點(diǎn)。點(diǎn)或引出點(diǎn)。 此外，此外，“-”號(hào)可以在信號(hào)線(xiàn)上越過(guò)方框移動(dòng)，但號(hào)可以在信號(hào)線(xiàn)上越過(guò)方框移動(dòng)，但不能越過(guò)引出點(diǎn)。不能越過(guò)引出點(diǎn)。48例例2-8 利用結(jié)構(gòu)圖變換求解傳遞函數(shù)利用結(jié)構(gòu)圖變換求解傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)。解：解：4950例例2-92-9化簡(jiǎn)圖(a)所示系統(tǒng)方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù) )()()(sRsCsG51)()(1)GG(GG ) 1)(11)(1)()()(4321243212143211243212114321211GGGGHGGGHGGGHGGGHG

32、GGGGGHGGGsRsCsG52例例2-10 2-10 試化簡(jiǎn)如圖(a)所示系統(tǒng)的方框圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。 53542.5 信號(hào)流圖和梅遜增益公式的應(yīng)用信號(hào)流圖和梅遜增益公式的應(yīng)用節(jié)點(diǎn)：用以表示變量或信號(hào)的點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，用“o”表示。傳輸：兩節(jié)點(diǎn)間的增益或傳遞函數(shù)稱(chēng)為傳輸。支路：連接兩節(jié)點(diǎn)并標(biāo)有信號(hào)流向的定向線(xiàn)段支路。源點(diǎn)：只有輸出支路而無(wú)輸入支路的節(jié)點(diǎn)（與系統(tǒng)的輸 入信號(hào)相對(duì)應(yīng)）。2.5.1 信號(hào)流圖的常用術(shù)語(yǔ) 阱點(diǎn)（匯點(diǎn)）：只有輸入支路而無(wú)輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為阱點(diǎn)（匯點(diǎn)）或輸出節(jié)點(diǎn)，與輸出信號(hào)相對(duì)應(yīng)。55混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。通路：沿支路箭頭所指方向穿過(guò)各相連支路的通徑

33、。開(kāi)通路：如通路與任意節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，稱(chēng)為開(kāi)通路。閉通路：如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，而與任何其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)不多于一次，則稱(chēng)為閉通路或回路?；芈吩鲆妫夯芈分懈髦穫鬏?shù)某朔e。不接觸回路：回路間沒(méi)有任何共有節(jié)點(diǎn)，則稱(chēng)其為不接觸回路。前向通路：從源點(diǎn)到阱點(diǎn)的通路上，通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，稱(chēng)為前向通路，前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e，稱(chēng)為前向通路增益。562.5.2 信號(hào)流圖的基本性質(zhì)1以節(jié)點(diǎn)代表變量，源點(diǎn)代表輸入量，阱點(diǎn)代表輸出量，用混合節(jié)點(diǎn)代表變量或信號(hào)的匯合。在混合節(jié)點(diǎn)處，出支路的信號(hào)等于各支路信號(hào)的疊加。2以支路表示變量或信號(hào)的傳輸和變換過(guò)程，信號(hào)只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號(hào)流圖

34、中每經(jīng)過(guò)一條支路，相當(dāng)于在結(jié)構(gòu)圖中經(jīng)過(guò)一個(gè)用方框表示的環(huán)節(jié)。3增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹?，可以把混合?jié)點(diǎn)化為阱點(diǎn)。4對(duì)于同一系統(tǒng)，信號(hào)流圖的形式不是唯一的。信號(hào)流圖和結(jié)構(gòu)圖是一一對(duì)應(yīng)的，且可以互相轉(zhuǎn)化。572.5.3 信號(hào)流圖的繪制 首先對(duì)每一個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并按照系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系，從左向右順序排列；然后，用標(biāo)明增益的支路，根據(jù)數(shù)學(xué)方程式將各節(jié)點(diǎn)變量正確連接，便得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖。1 1、根據(jù)微分方程繪制信號(hào)流圖、根據(jù)微分方程繪制信號(hào)流圖 對(duì)于含有微分或積分的線(xiàn)性方程，一般應(yīng)通過(guò)拉氏變對(duì)于含有微分或積分的線(xiàn)性方程，一般應(yīng)通過(guò)拉氏變換，將微分方程變換為換，將微分方程變換為s s的代數(shù)方程

35、后再畫(huà)出信號(hào)流圖。的代數(shù)方程后再畫(huà)出信號(hào)流圖?；痉椒ǎ?8例2-11 已知描述線(xiàn)性系統(tǒng)的方程為解解:(1):(1)畫(huà)出節(jié)點(diǎn)畫(huà)出節(jié)點(diǎn) (2)(2)分別繪制出各方程的信號(hào)流圖。如圖分別繪制出各方程的信號(hào)流圖。如圖(a)(a)、(b)(b)、(c)(c)、(d)(d)、(e)(e)所示。所示。 (3)(3) 將五個(gè)信號(hào)流圖疊加在一起，得到整個(gè)系統(tǒng)的信號(hào)流將五個(gè)信號(hào)流圖疊加在一起，得到整個(gè)系統(tǒng)的信號(hào)流圖，如下圖圖，如下圖(f)(f)所示。所示。;,54321xxxxxu5554545434342321313525424121211xaxaxubxaxxaxaxxaxaxaxubx59(b)(a)(c

36、)(d)(e)(f)60 在結(jié)構(gòu)圖的信號(hào)線(xiàn)上用小圓圈標(biāo)志出傳遞的信號(hào)，便得到節(jié)點(diǎn)；用標(biāo)有傳遞函數(shù)和信號(hào)傳輸方向的線(xiàn)段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，便得到支路。 在兩者的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，信號(hào)流圖不像結(jié)構(gòu)圖那樣可以區(qū)分比較點(diǎn)和分支點(diǎn)，還可區(qū)分相加和相減的運(yùn)算，信號(hào)流圖中信號(hào)相加或相減是在支路增益上表示出來(lái)的，即相加點(diǎn)的負(fù)號(hào)要加在相應(yīng)的支路增益上。注意：基本方法：2 2、根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖、根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖61(1) 在信號(hào)流圖上表示變量的相減，在相應(yīng)支路上要用負(fù)的支路增益表示。結(jié)構(gòu)圖中比較點(diǎn)的處理：(2) 結(jié)構(gòu)圖中進(jìn)入相加點(diǎn)的所有信號(hào)與從相加點(diǎn)出來(lái)的信號(hào)是各不相同的。因此，在信號(hào)流圖上表示這些

37、信號(hào)時(shí)，要使用與這些信號(hào)相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)分別表示。62(3) 當(dāng)引出點(diǎn)在相加點(diǎn)之后，則可以把引出點(diǎn)和相加點(diǎn)合并成一個(gè)節(jié)點(diǎn)。當(dāng)引出點(diǎn)在相加點(diǎn)之前，就不能把兩者合并成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而要用兩個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)表示 。632.5.4 信號(hào)流圖的簡(jiǎn)化 (1) 串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨e; (2) 并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨?(3) 混合節(jié)點(diǎn)可以通過(guò)移動(dòng)支路的方法消去;(4) 回路可以根據(jù)反饋連接的規(guī)則化為等效支路。X264例例2-12 2-12 將下圖所示系統(tǒng)方框圖化為信號(hào)流圖并化簡(jiǎn)求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) )()()(sRsCs 65解解：信號(hào)流圖如圖 (a)所示?；疓1與G2串聯(lián)等效為G1G2支路，

38、G3與G4并聯(lián)等效為G3+G4支路，66如圖 (b)，G1G2與-H1反饋簡(jiǎn)化為 支路，又與G3+G4串聯(lián)，等效為 如圖 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGGG67進(jìn)而求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG682.5.5 梅遜增益公式余子式。稱(chēng)為前向通道特征式的后的特征式路條前向通道相接觸的回中除去與第在益乘積之和每三個(gè)互不接觸回路增乘積之和每?jī)苫ゲ唤佑|回路增益所有回路增益之和其中即信號(hào)流圖的特征式條前相通道的通路增益第總增益,L:L-1,- 1p 3213211KLLLLKpppkknkkk69例例2-14 求圖示信號(hào)流圖的閉環(huán)傳遞函數(shù)求圖示信號(hào)流圖的閉環(huán)傳遞函數(shù) 解解：系統(tǒng)單回環(huán)有：L1 = G1，L2 = G2，L3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2系統(tǒng)的特征式 為： 212151311GGGGLii70前向通道有四條： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii71例例2-152-15：試用梅遜增益公式求下面系統(tǒng)信號(hào)流圖的閉環(huán)傳遞函