(完整版)橢圓雙曲線的經(jīng)典結(jié)論

1、第1頁，共8頁橢圓雙曲線的經(jīng)典結(jié)論一、橢圓點 P 處的切線 PT 平分 PFF2在點 P 處的外角.PT 平分 PF1F2在點 P 處的外角，則焦點在直線 PT 上的射影 H 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點以焦點弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離.以焦點半徑 PF 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.若Po(xo,yo)在橢圓2橢圓篤aF1PF22橢圓篤a| MF1| ax2.2ab22xy12abXoXyoy2.2ab若Po(xo,yo)在橢圓弦 P1P2的直線方程是22，則過Po的橢圓的切線方程是竽a外，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點為1.1(a b 0)的左右焦點分別

2、為則橢圓的焦點角形的面積為SF1PF2ycy1孑1.P1、P2,則切點F1, F2，點P為橢圓上任意一點b2tan22y_ b2ex0,|MF2| a e F, c,0),F2(c,0)1(a b 0)的焦半徑公式:M (xo, yo).設(shè)過橢圓焦點 F 作直線與橢圓相交 P、Q 兩點，A 為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ 分別交相應(yīng)于焦點 F 的橢圓準線于 M N 兩點，貝 U MFLNF.過橢圓一個焦點 F 的直線與橢圓交于兩點 P、Q, A、A 為橢圓長軸上的頂點，AP 和 A2Q交于點 M A2P 和 A1Q 交于點 N 貝yMFLNF.2 2AB 是橢圓務(wù)篤a bb2a2，b2

3、x-2。a y。1的不平行于對稱軸的弦，M(X, y)為 AB 的中點，koMkAB即KAB若P(x, y)在橢xxyy2ab22x2a2x2a2y_b21內(nèi)，則被 Po 所平分的中點弦的方程2y。b2若P(x0, y)在橢圓2x2ay2b21內(nèi)，則過 Po 的弦中點的軌跡方程1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.第2頁，共8頁第3頁，共8頁2y_b2xxyy2ab2二、雙曲線點 P 處的切線 PT 平分 PF1F2在點 P 處的內(nèi)角.PT 平分 PFF2在點 P 處的內(nèi)角，則焦點在直線 PT 上的射影 H 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點以焦點弦 PQ 為

4、直徑的圓必與對應(yīng)準線相交.以焦點半徑 PF 為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓P 在左支)若Po(xo, yo)在雙曲線1.若Po(Xo, yo)在雙曲線線切點為 P1、Pa,雙曲線22xy72ab相切.(內(nèi)切：P 在右支；外切:x22.2ab22Xy2.2ab1(a 0,b 0)則切點弦-一占八、 、F1PF22y1(a0,b 0)上，則過Po的雙曲線的切線方程外，則過 Po 作雙曲線的兩條切PP2的直線方程是xxyoya(a 0,b o)的左右焦點分別為則雙曲線的焦點角形的面積為Sb2F1,F1PF21.F2,點 P 為雙曲線上任意b2co t.22 2x y72a b當M(xo,yo)在右支

5、上時，MF, exoa,| MF2| exoa.當M(xo,yo)在左支上時，IMF1I exoa,| MF21 exo雙曲線(a0,b o)的焦半徑公式：(FC,0)F2(C,0)設(shè)過雙曲線焦點 F 作直線與雙曲線相交 P、Q 兩點，A 為雙曲線長軸上一個頂點,連結(jié) AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦點 F 的雙曲線準線于 M N 兩點，則 MFLNF.過雙曲線一個焦點AP 和 A2Q 交于點2xAB 是雙曲線冷a的中點，貝U KOMF 的直線與雙曲線交于兩點 P、Q, A、A 為雙曲線實軸上的頂點,M A2P 和 AQ 交于點 N,貝 U MFL NF.b2KAB1(a0,b 0)的不平行于對

6、稱軸的弦，M(Xo,y)為 AB右Po(xo, yo)在雙曲線a22a方程是彎ayoyb2b2Xo2a yo2 2X芯1(ao,b 0)內(nèi)，則被 Po 所平分的中點弦的b2yo2了.,即KABb2Xo20a yo1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.第4頁，共8頁第5頁，共8頁13.若P(X0, y)在雙曲線(a0,b 0)內(nèi)，則過 Po 的弦中點的軌跡方1.2.3.4.5.6.7.2y_b2橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)橢xxa(會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)圓2yb2線交橢圓于2過橢圓冷a線交橢圓于1( a b o)的兩個頂點為A(a,0),A2(a,0)，與 y 軸平行的直Pl、P2時 AR

7、 與 A2P2交點的軌跡方程是2每1(a 0, b 0)上任一點A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互補的直bb2xB,C 兩點，則直線 BC 有定向且kBC (常數(shù)).若 P 為橢圓PF1F2任意一點,2a y。2x-2a2yb2sinsin sin2若橢圓冷a例中項PF2F1(a b0)上異于長軸端點的任一點,F1, F2是焦點，a ctan cot2 2，則a c1(ab0)的兩個焦點為F1、F2,P (異于長軸端點)為橢圓上PF1F2中，記2y21(a b 0)b2F1PF2PF1F2F1F2P，則有的左、右焦點分別為 F1、F2,左準線為 L,則當 01時，可在橢圓上求一點2xP 為橢

8、圓丐a(a b0)P,使得 PR 是 P 到對應(yīng)準線距離 d 與 PF的比上任一點，F(xiàn)1,F2為二焦點，A 為橢圓內(nèi)一定點,則2a | AF2| | PA|IPF1I2a| AF1|,當且僅當A,F2,P三點共線時，等號成橢圓(x X0)22aJ, 2B by)22(yb(AxBy1與直線Ax By C 0有公共點的充要條件是C)2.第6頁，共8頁第7頁，共8頁8.2已知橢圓篤a(1)|OP |2的最小值是9.2過橢圓篤ay2牙(a b 0),0 為坐標原點，P、Q 為橢圓上兩動點，且OP OQ.b1IOQI2a2b22 r2 .a b2y21(a b 0 )的右焦點b2114a2b2-2 -

9、2；( 2) |0P|2+|0QI2的最大值為r2；( 3)SOPQaba b作直線交該橢圓右支于M,N 兩點，弦10.11.12.13.14.15.16.MN 的垂直平分線交x 軸于 P,則!匚!| MN |2已知橢圓務(wù)a2y_b2線與 x 軸相交于點2設(shè) P 點是橢圓x2a記F1PF2PAB(1)|PA|1( a b 0) ,A、B、a2b2P(x0,0),貝 V -y2b2，則(1)2是橢圓仔a,PBA2ab2|cos2已知橢圓務(wù)a是橢圓上的兩點，線段 AB 的垂直平分a2b2X。1( a b0)上異于長軸端點的任一點,Fi F2為其焦點I PF1| PF2122-.(2)c cos丄S

10、1 cosPRF2b2tan2(a b 0 )的長軸兩端點，P 是橢圓上的一點,BPA, c、e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有r2. 22a b丄22cotb a2tan tan 1 e.(3)SPAB2b21( ab0)的右準線l與x軸相交于點的直線與橢圓相交于 A B 兩點，點C在右準線I上，且BC過線段 EF 的中點.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交,焦點的連線必與切線垂直過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點,半徑互相垂直.E，過橢圓右焦點FX軸，則直線 AC 經(jīng)則相應(yīng)交點與相應(yīng)則該點與焦點的連線必與焦橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的

11、焦半徑之比為常數(shù)第8頁，共8頁第9頁，共8頁e(離心率).(注 :在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.)雙曲線2 2X V1.雙曲線一221(a 0,b 0)的兩個頂點為Ai( a,0),A2(a,0),與 y軸a b2 2平行的直線交雙曲線于 Pi、P2時 APi與 A2P2交點的軌跡方程是 冷厶1.a2b22 2X y2.過雙曲線 21(a0,b 0)上任一點A(Xo, Vo)任意作兩條傾斜角互a b補的直線交雙曲線于 B,C 兩點，則直線 BC 有定向且kBC聖(常數(shù)).a y2 2X y3.若 P 為雙曲線 21(a 0,b 0)右(或左)支上除頂點外

12、的任一點,F1,a bc a亠,貝Utan cot(或c a 22tan cot)2 2則當 1vew1時，可在雙曲線上求一點P,使得 PR 是 P 到對應(yīng)準線距離d 與 PR 的比例中項.2 26.P為雙曲線 務(wù) 占1(a0,b 0) 上任一點,F1,F2為二焦點，A 為雙曲線a b17.橢圓焦三角形中內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18.橢圓焦三角形中半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項F2是焦點，PF1F2PF2F14.2X設(shè)雙曲線ab21(a 0,b 0)的兩個焦點為F1、 F2,P(異于為雙曲線上任意一點，在 PF1F2中F1PF2PF1F2sincFF2P，則有e.(si

13、nsin ) a5.2X若雙曲線冷ab21(a 0,b 0)的左、右焦點分別為F1、F2,左準線為 L,第10頁，共8頁內(nèi)一定點，貝V IAF2I 2a |PA| IPFJ,當且僅當 代F2,P三點共線且P和第11頁，共8頁代F2在 y 軸同側(cè)時，等號成立27.雙曲線冷a2件是A2a28.已知雙曲線2y21(a 0,b 0)與直線Ax By C 0有公共點的充要條b2B2b22xaC2.2y_1b21(b a 0), O 為坐標原點，P、Q 為雙曲線上兩動點,且0POQ.12 2;(2) |OP| +|OQ|的最小值為b21POOF2-2a b,2-.b a22過雙曲線篤爲a2b2的最小值是9

14、.10.11.12.13.12a黔；(3)SOPQ1(a 0,b 0)的右焦點F 作直線交該雙曲線的右支于M,N 兩點，弦 MN 的垂直平分線交 x 軸于 P,則|PF | e| MN |22 2x y已知雙曲線 21(a 0,b 0) ,A、B 是雙曲線上的兩點,a b線段 AB 的垂直平分線與x 軸相交于點P(x0,0),則x02P 點是雙曲線一-a其焦點記PF1F2b COt2A B 是雙曲線篤a一點，PAB離心率，則有(1)(2)tan tan2x已知雙曲線ab2F1PF22X-1b21PBA|PA|2 , 2a b卡或X。aa2b2(a0,b 0) 上異于實軸端點的任一點尸、F22b

15、2，則(1)叭叭p.(a0,b 0)的長軸兩端點，P 是雙曲線上的BPA, c、e 分別是雙曲線的半焦距22ab |cos | |.2a2b2一 22cotb a|a2c2co s2/ 21 e.(3)SPAB2與1(a0,b 0)b的右準線I與 x 軸相交于點E,過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相交于A、B 兩點，點C在右準線I上，且BC x軸，則直線 AC 經(jīng)過線段 EF 的中點.14.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線,與以長軸為直徑的圓相交， 則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直第12頁，共8頁第13頁，共8頁15.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線

16、必與焦半徑互相垂直16.雙曲線焦三角形中，外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù) e（離心率）.（注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、夕卜點）.17.雙曲線焦三角形中，其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18.雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式：AB |x-|x2J1 | y1y2|2、 直線的一般式方程：任何直線均可寫成宀? （A,B 不同時為 0）的形式。3、 知直線橫截距：，常設(shè)其方程為*.（它不適用于斜率為 0 的直線）與直線-垂直的直線可表示為。4、 兩平行線；.間的距離為。5、若直線I _，L _ - 與直線二 1 _ J i 二 I 平行貝 y 4 宀（斜率）且-廠（在 F 軸上截距）（充要條件）6、 圓的一般方程和一1-,特別提醒：只有當=時，方程： wi 才表示圓心為-，半徑為第14頁，共8頁的圓。二元二次方程 1 I r F小 寧 L -條件是- 1且三 7 且