培訓筆記導數(shù)及其應用、推理與證明、統(tǒng)計案例

1、精品培訓筆記 導數(shù)及其應用、推理與證明、統(tǒng)計案例最近參加了新教材的培訓，聆聽了專家就這些內(nèi)容從教學、數(shù)學的理解等方面的案例解讀，收獲頗豐，受益匪淺，下面是聽課筆記，僅供大家參考。導數(shù)及其應用10年北京課標卷理科15題：函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(1)求f(/3)的值；(2)求f(x)最大值和最小值。解答題的第一題。學生的感受：別扭。因為老師的教法是：遇到求值先化簡。但是這個題目化不簡。感覺是不是做錯了。原因：搞成套路，學生沒有自己的思維。第二問好做。16題：立體幾何，線面平行、垂直、二面角。容易建立空間直角坐標系。18題：利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)。求切線方程，求單調(diào)區(qū)間。

2、題目是符合課標要求的：一局部復合函數(shù)，一局部是不超過3次的多項式函數(shù)。沒有陷阱，但是高考題沒有這個陷阱。第二問，看似復雜，含參數(shù)k，但是求導以后根據(jù)導函數(shù)的特點分類討論，方法都是教材中一再強調(diào)的。19題：解析幾何題，源于教材中斜率之積為常數(shù)。第二問，存在性，面積相等，但是三角形PMN是特殊的三角形。面積容易找出來。也是用的通性通法。數(shù)學的得分低于往年的得分近10分。大綱卷多少年了，所以技巧性比擬成型。學生的感覺就是別扭。隨機變量就是技巧性大，其他題目都不是難的。以往的題目把點的順序設倒了，就不好做。但是按照以前的思路，要理順關系，在這一點上花費了比擬多的時間?，F(xiàn)在課標卷，變化很大，往課標的要求

3、上靠。每一年進入高考的年級都會變化比擬大。現(xiàn)在的教學該回歸到根本的方法上。思考數(shù)學該怎么教。主編寄語：數(shù)學是自然的；數(shù)學是清楚的；數(shù)學是有用的；學數(shù)學對于提高個體能力是至關重要的。學數(shù)學要摸索自己的學習方法；學數(shù)學趁年輕。上出高質(zhì)量的課三個理解：數(shù)學、學生、教學理解數(shù)學：了解數(shù)學概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法-這是容易被無視的，反而對細枝末節(jié)的東西訓練的很多。挖掘知識所蘊含的科學方法、理性思維過程和價值觀資源，區(qū)分核心知識和非核心知識等。調(diào)動學生的思維。提供抽象概括的導數(shù)及其應用文科不要在教材的根底上補充。最大的變化：刪去了極限。增加生活中的優(yōu)化問題舉例；定積分的概念

4、；微積分根本定理；定積分的簡單應用；實習作業(yè)。充分感受從平均變化率都導數(shù)。二、對一些關鍵問題的處理導數(shù)的概念的引入：大量實例，引入導數(shù)概念，體會導數(shù)思想：三次經(jīng)歷從平均變化率到瞬時變化率的過程。氣球的平均膨脹率-瞬時速度。實際上放在這里不太好，學生不太容易理解，教學中可以不處理。函數(shù)的平均變化率-瞬時變化率(定義)曲線的割線斜率-切線斜率。(幾何意義)運發(fā)動的變化：老師的教學可以更細膩、自然地處理?？梢园凑战滩牡姆绞街苯诱f。但不是最科學的，因為瞬時速度即是一種定義，也是一種方法。你覺得為什么在那兩段中可以用平均速度近似描述，在這一段中為什么不行呢?學生可以答復這個問題：前兩斷時間短，后面時間長

5、。時間段長了誤差比擬大。老師可以在此根底上進一步追問：能不能想什么方法用平均速度描述。學生：變短時間段。分割成小段?；蛘卟欢痰目s短區(qū)間。無論是分割，還是縮短區(qū)間，都是異曲同工：變小區(qū)間，用平均速度描述運動狀態(tài)就越好。于是不斷的讓區(qū)間縮短。如果學生提出在這一段內(nèi)速度方向有改變，也可以分成兩半，最終回到縮短區(qū)間。同時用一定手段展示教材中的表(2-2第4頁)，引導學生猜出瞬時速度。實際是利用了極限的描述性定義，不追求嚴格的證明。一般化：從函數(shù)的平均變化率到瞬時變化率。幾何意義：需要通過后即學習，反復體會，不要急于求成。教學過程中，老師不要急于求成，不要指望學生到此就已經(jīng)掌握的導數(shù)的概念了。隱含的思想

6、方法就是表達在小細節(jié)中：區(qū)間不斷縮小中得到導數(shù)的本質(zhì)。這就是導數(shù)概念中表達出來的思想方法，這是提高學生分析問題、解決問題能力的載體。所以要磨的細。定積分概念的引入你能類比圓的面積的求法(必修二閱讀材料)求曲邊梯形的面積嗎?閱讀與思考材料可以在上本節(jié)課之前上學生閱讀，提出問題：所用的方法是什么?蘊含了什么思想?以直代曲，逼近的思想。接下來四步曲：分割、以直代曲怎么代?最簡單的是舉行和正方形，于是試著用矩形代替，直接代替太粗糙，于是要分割，然后求和，取極限-讓分割細化。用信息技術手段：分成8份-16分-1024份，隨著分割的分數(shù)越來越多，上面的空白越來越少，分到1024份時空白根本沒有了，近似值與

7、精確值幾乎是一樣的，從幾何直觀上讓學生理解。也可以用數(shù)值上看出它是趨向于，引出定積分。定積分即不能出的太特殊，也不能出的太一般。左端點或右端點的函數(shù)值作為長方形的高，但是給出一般性的概念時要用長方形內(nèi)寬所在邊上任意一點的函數(shù)值作為高，隨著取等份數(shù)的增加，與原來取左端點或右端點時結(jié)果是否一樣呢?只要任取一點就可。其中最主要的是出思想方法，用先行組織者。汽車路程問題比曲邊梯形面積更直觀，可以讓學生看，老師放手，點出關鍵-探究欄目：汽車的路程與曲邊梯形面積的關系，讓學生抽象概括出共性，引入定積分概念，引出定積分的幾何意義。路程問題可以轉(zhuǎn)化為面積問題，面積問題具有一般性。教學中應選擇關鍵探究欄目。給學

8、生提供抽象概括的時機。要把這個時機留給學生。兩個問題的背景不同，但是研究方法一樣。概念教學過程中，學生就能得到很多東西。講概念的東西變了，所以例題呈現(xiàn)方式也不同。探究多了時間怎么把握：選擇對本節(jié)內(nèi)容起核心的作用的進行探究，有的思考欄目，也可以用預習的方式完成，預習的目的不是出知識點而是出方法。強調(diào)幾何直觀，重視背景，表達應用函數(shù)的單調(diào)性-從跳水問題出發(fā)，畫出函數(shù)，研究導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關系，老師要引導。然后討論起一般性。通過做切線，根據(jù)傾斜角的范圍，確定導數(shù)的符號。關注用導數(shù)的本質(zhì)及其幾何意義解決問題。第8頁例3.理解導數(shù)就是變化率。不同的人選擇的范圍不同，算出來的值就不同，所以答案不唯

9、一是正確的。實際問題的產(chǎn)生：借助于實際問題，再加上演繹，編制而成。第15頁例3：飲用水的純潔度。純潔水到達一定程度之后，不要對純潔度要求太高，因為本錢會上升很快。表達了應用價值：對生產(chǎn)的指導意義。導數(shù)計算中要淡化復雜的求導運算。根本的要熟練的掌握。微積分根本定理借助幾何直觀，了解微積分根本定理的含義。微積分就是一張圖-重視引言的教學。引言-與微積分相關的四大問題幾個需要注意的問題1.不專門講極限，不追求數(shù)學形式的嚴格化，而是學生能接受，數(shù)學上又說得過去。極限符號要揭示。3.防止過量形式化運算-第25頁例3，容器注水時水的高度與時間的關系的圖象。4.控制難度。復合函數(shù)、定積分的難度。嚴格控制在教

10、科書的范圍里面。5.揭示導數(shù)方法的一般性、有效性。6.適當使用信息技術。導數(shù)概念、定積分概念的引入，單調(diào)性、極值的研究。但是老師們應該想一想什么時候該用，什么時候不要用?用的目的是幫助學生理解數(shù)學的本質(zhì)，解決傳統(tǒng)方法無法呈現(xiàn)、難以呈現(xiàn)的內(nèi)容。如定積分中的應用。教材進行了適當?shù)奶幚?，可以在學生演算的根底上，看教材中的表，也可以理解。什么時候不適宜用信息技術：重要概念得出以后，不適宜用PPT一下給出概念，使得前面的過程達達折扣。手寫時有一個時間間隔，在這個時間間隔中，借助你的表述，迅速吸收。再者第一個典型的例題是不能用PPT展示它的過程的。在新課程中題型教學已經(jīng)越來越行不通了，內(nèi)容增多，用原來的方

11、法不行，因為一輪復習所用的時間比原來多了，傳統(tǒng)的復習模式打破了，可能只有兩輪，所以訓練強度上不去，應對不了考試。例題的教學表達開展性教學，例題的教學中心是引導學生根據(jù)當前所學內(nèi)容和方法來尋求解決這個問題的思路。分析過程比解答過程還要長，就是一種導向，告訴老師如何引導學生學會。要規(guī)規(guī)矩矩用板書的形式寫出來，起示范作用。把口頭語言表示成書面語言是需要一個過程的。推理與證明合情推理-或然性推理歸納-局部到整體，特殊到一般類比-特殊到特殊演繹推理-必然性推理三段論-一般到特殊課標中不提歸納推理、類比推理的定義，淡化定義，要通過生活和數(shù)學中的實例了解推理的含義，不要摳概念，摳概念后學生依然不會用推理方法

12、解題。有的學生學完合情推理之后，以后不會解決問題。合情推理是在解決一個具體的實際問題時要用，但是學生不會。所以要轉(zhuǎn)變教學觀念。教學目標：了解證明方法：是通過實例了解這些證明方法的過程。數(shù)學歸納法：主要是了解其原理。變分散為集中，變隱性為顯性的方法講推理和證明。學習之后要自覺的、主動的應用這些方法。借助已學的數(shù)學實例，了解這些方法的特點，不能出現(xiàn)證明技巧過強的題目，因為主要是將來要用這種方法，如果技巧性過強就不具有遷移性。哥德巴赫猜測：猜測(偶數(shù))-修正猜測(不小于6的偶數(shù))-哥德巴赫猜測-證明，證不出來，又舉不出反例-表達了歸納思想：個別到整體，特殊到一般。提出猜測，驗證，反駁。例觀察下面等式

13、：0+1=1，1+8=2+3+4，8+27=5+6+7+8+9 27+64=10+11+12+13+14+15+16，由這些式子你能得到什么猜測。點評：每個等式要有一個序號。各等式中的項數(shù)，及其與序號的關系。于是修改：可以按照第一個等式的順序依次觀察，觀察時，要考慮前后等式中的聯(lián)系，觀察等式序號與等式內(nèi)各數(shù)之間存在的關系，找出規(guī)律，得出一般性的猜測。三個猜測：這三個猜測不是放在數(shù)學內(nèi)容中應該是對的，但是在數(shù)學中一定要發(fā)現(xiàn)這一串等式中數(shù)學的本質(zhì)是什么。猜測：(n-1)3+n3=(n-1)2+1+(n-1)2+2+(n-1)2+2n-1但是教學中只是注重上述猜測的結(jié)果，看不到過程。類比推理：關鍵是

14、引導學生確定適宜的類比對象。教材中第74頁的探究就是這方面的引導。一定要讓學生認識到：合情推理得出來的就是猜測，可能正確也可能不正確。數(shù)學歸納法重點放在如何讓學生了解數(shù)學歸納方法的原理。數(shù)學歸納法實際是一條公理：皮亞諾公理中的歸納公理。但是要盡可能讓學生了解其合理性。了解其雛形。多米諾骨牌的應用。壘時只可能壘到有限塊，但是可以想象成，或者提升成一個無限的模型。提煉其中的原理-兩點，尤其第二條件，不能說：第一塊倒下后，第二塊倒下，這一說又成另一個無限的問題，因此要概括出來：任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下導致后一塊倒下。利用這個模型證明數(shù)列的通項公式，an=1/n，將多米諾骨牌的原理轉(zhuǎn)化為數(shù)學證明

15、的步驟，讓學生認知到數(shù)學歸納法的原理。歸納奠基，歸納遞推，小結(jié)。學生的困惑：為什么要假設一個成立的根底上在再證明另一個。類比多米諾骨牌幫助學生理解。實際上不是假設，而是一個命題的條件：歸納遞推中的假設是命題的條件。注意：合情推理與邏輯推理的聯(lián)系與差異。聯(lián)系：合情推理能發(fā)現(xiàn)信息，同時也是發(fā)現(xiàn)邏輯推理的證明方法的途徑。-平面與空間中的余弦定理。得到了形式和證明方法。學生在學習過程中，學生自己的發(fā)現(xiàn)比擬少。證明技巧性不宜作過高的要求。習題以前做過，不要拔高技巧性而產(chǎn)生新的難點。比方數(shù)學歸納法也是只證明一些簡單的題目。不要拔高。證明這一塊是表達改變題海戰(zhàn)術，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力的極好的載體

16、。面對問題如何架起待求結(jié)論的橋梁。文理有差異。文科此處不講，但是如果將來選學了4-5也要學。課時，文科內(nèi)容少課時10，理科內(nèi)容多課時8課時。所以對文科多加一些簡單、中等的引例和例題。文科生可能只有6課時應該就夠了。統(tǒng)計案例文理不同之處：文科是感受，理科進行少量的推導。計數(shù)原理：課標和大綱的區(qū)別：課標要求能計算簡單的計數(shù)問題。內(nèi)容上：組合數(shù)的兩個性質(zhì)不作要求。文科沒有排列組合。隨機變量及其分布為什么分布很重要?在概率中，隨機現(xiàn)象有兩個根本特點：結(jié)果是隨機的；頻率具有穩(wěn)定性。什么叫研究清楚一個隨機現(xiàn)象?如果能知道實驗可能的結(jié)果，每個結(jié)果出現(xiàn)的概率是多少，就算研究清楚了。隨機試驗的結(jié)果用數(shù)值對應起來

17、，引入隨機變量，每一個隨機變量的值清楚了，就算研究清楚了，而這就是它的分布列。如何研究分布?慣用的手法-特殊對象，其研究方法又可以推廣到對一般的研究。所以對概率的研究也只研究特殊的分布，它既是重要的，又是一般的。一線老師在中學教的時間久了之后，對數(shù)學的認識就不考慮了。如果能認識清楚為什么這樣處理，那么教學就會更好。數(shù)字特征的重要性強調(diào)案例教學。以案例為載體得出方法原理。統(tǒng)計的思維方式主要是歸納。與確定性數(shù)學的方法是不一樣的，那里主要是演繹。教學中把統(tǒng)計的教學變成了畫統(tǒng)計圖表，算數(shù)字特征。這是不對的。樣本的數(shù)字特征，隨機變量的數(shù)字特征。無法把握分布的信息，可能獲得一些數(shù)字特征，只能從局部了解整體

18、的信息。這時數(shù)字特征就比擬重要。樣本空間：(1,1)，(6,6)(奇，奇)，2,3,4，12但是在解題過程中要選擇適宜的樣本空間。比方計算兩個骰子的點數(shù)和不超過9時，選擇最后一種樣本空間計算可以，但是此時不能用古典概型的概率公式。樣本空間不同，相應的概率分布也不同。所以還是要選擇第一個樣本空間。樣本空間只要包含所以可能的根本領件即可，但是遇到一個具體問題時，要考慮一個適宜的樣本空間。統(tǒng)計案例：統(tǒng)計方法是怎么得到的?讓學生認識到結(jié)果可能存在誤差和錯誤。得到統(tǒng)計思想。高考出題的方向：出考查統(tǒng)計思想的，計算量小的。教學中要展示過程，讓學生知道來龍去脈，就能讓學生體會到其中的統(tǒng)計思想。這樣應對考試時，

19、學生就不至于無所適從。回歸分析：了解根本思想方法，通過典型案例實現(xiàn)。數(shù)學3已學回歸內(nèi)容：畫散點圖2-3中：1.引入線性回歸模型y=bx+a+e，預報變量、解釋變量、誤差；2.了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因；3.了解R2和模型的擬合效果之間的關系；4.了解誒殘差圖的作用；5.利用線性回歸模型解決非線性的問題；6.了解統(tǒng)計的思想方法。女大學生的身高和體重：畫散點圖，求回歸方程，預報體重，這個描述準確嗎?-把身高看做是影響體重的唯一原因，但是沒有考慮其他很多原因：遺傳、營養(yǎng)狀況、習慣等。所以這個方程不科學。為了糾正這個偏差，引進一個隨機誤差e.教學過程中要把這些解釋清楚：為什么引入隨機誤差?必要性

20、。隨機誤差的數(shù)學期望是0，因為它是所有誤差的均值，是一種無偏估計。其差可以控制在一定范圍之內(nèi)。怎樣認識隨機誤差：是一個隨機變量，影響它的因素很多，不可觀測。因此利用已有的樣本點，估算出隨機誤差的值，即殘差。殘差和隨機誤差關系密切，利用殘差研究隨機誤差。于是模型行不行，就可以通過觀察殘差決定，通過畫殘差圖-集中在一條水平線的附近，即一條袋狀區(qū)域里。為什么引進線性回歸分析，引進隨機誤差?隨機誤差怎么來的?怎評判。還可以通過數(shù)值計算R2，進行評判。思想：1.模型適用的總體-當代女大學生；2.模型的時間性；3.樣本取值范圍對模型的影響-不能用于描述幼兒的身高與體重的關系；4.模型預報結(jié)果的正確理解-預報變量可能取值的平均值。獨立性檢驗：學生對此的理解難度加大，因為有假設檢驗的問題。兩個假設檢驗問題：阿布茲諾特的?從兩性出生數(shù)觀察的規(guī)律性所得關于神的旨意存在的一個論據(jù)?(1)生男生女純屬偶然(即有同等時機)(2)由于神的意旨，生男的時機大于生女。(1/2)82 10-24觀察倫敦82年男女出生的比例是男多于女。原假設是(1)，在這個下面推出一個幾乎不可能發(fā)生的現(xiàn)象，即一個小概率事件發(fā)生-連續(xù)82年男多于女，其概率是(1/2)82 10-24，是不應該發(fā)生的，所以假設(1)不合理，否認(1)，得出(2)。這個推理很合理。(1)是原假設，(