固體物理第二章第二節(jié) 對稱性與布拉維格子的分類

1、第二節(jié)第二節(jié) 對稱性和布拉維格子的分類對稱性和布拉維格子的分類本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :一、群的知識簡介一、群的知識簡介二、點群和七個晶系二、點群和七個晶系三、空間群和三、空間群和1414種布拉維格子種布拉維格子四、點群對稱性和晶體的物理性質(zhì)四、點群對稱性和晶體的物理性質(zhì)2.2 2.2 對稱性和布拉維格子的分類對稱性和布拉維格子的分類 布拉維格子是按其布拉維格子是按其對稱性對稱性(symmetry)來分類的：來分類的： 所謂所謂對稱性對稱性是指在一定的是指在一定的幾何操作幾何操作下，物下，物體體保持不變保持不變的特性。的特性。 對稱性對稱性在物理學中是一個非常重要的概念，在物理學中是一個非

2、常重要的概念，它可使復雜物理現(xiàn)象的它可使復雜物理現(xiàn)象的描述描述變得變得簡單、明了簡單、明了。因為因為對稱性的本質(zhì)對稱性的本質(zhì)是是指系統(tǒng)中的一些要素是等指系統(tǒng)中的一些要素是等價的價的。對稱性越高的系統(tǒng)，需要獨立表征的系。對稱性越高的系統(tǒng)，需要獨立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來就越簡單。統(tǒng)要素就越少，因而描述起來就越簡單。 我們這里要討論的主要是我們這里要討論的主要是晶格晶格( (或點陣或點陣) )的的對稱性對稱性(symmetry of lattice). . 在在晶格晶格這個物理系統(tǒng)中，這個物理系統(tǒng)中，一種對稱性一種對稱性是指是指某些某些要素互相等價要素互相等價，而用來，而用來描述晶格的要

3、素描述晶格的要素，無非就，無非就是：是：點、線、面點、線、面。而保持這些要素等價的操作。而保持這些要素等價的操作-對稱操作對稱操作有三種：有三種：平移、旋轉(zhuǎn)、鏡反射平移、旋轉(zhuǎn)、鏡反射。假設假設在某一個操作過后，點陣保持不變，也就是每個在某一個操作過后，點陣保持不變，也就是每個格點的位置都得到重復，那么這個相應的平移、格點的位置都得到重復，那么這個相應的平移、旋轉(zhuǎn)或鏡反射操作就叫作一個旋轉(zhuǎn)或鏡反射操作就叫作一個點陣對稱操作點陣對稱操作。其。其中的點、線、面分別叫做中的點、線、面分別叫做對稱中心對稱中心、對稱軸對稱軸、對對稱面稱面-稱為對稱元素稱為對稱元素 從從數(shù)學角度數(shù)學角度來看，晶體的對稱性是

4、對晶體進來看，晶體的對稱性是對晶體進行行幾何變換幾何變換而能保持晶體性質(zhì)的不變性而能保持晶體性質(zhì)的不變性, ,相當于相當于一個一個正交線性變換正交線性變換。一個。一個變換變換就是一種就是一種操作操作。111213212223313233;aaaaaaxaaxyazyzzxy參考方俊鑫固物參考方俊鑫固物p32-36 ; ;或方可固物或方可固物p13-16正交矩陣正交矩陣 比如：繞比如：繞x x軸的旋轉(zhuǎn)，設轉(zhuǎn)角為軸的旋轉(zhuǎn)，設轉(zhuǎn)角為，則有：，則有：cossinsincosxxyyzzyz 1112132122233132331000cossin0sincosaaaAaaaaaa1A再比如：取中心為原

5、點，經(jīng)中心反演再比如：取中心為原點，經(jīng)中心反演，則有：，則有：xxyyzz 111213212223313233100010001aaaAaaaaaa1A 還有：以還有：以z=0z=0作為鏡面作為鏡面，則有：，則有：xxyyzz 111213212223313233100010001aaaAaaaaaa1A 由上可以看出，當變換是由上可以看出，當變換是純轉(zhuǎn)動純轉(zhuǎn)動時，時，矩陣的矩陣的行列式行列式等于等于+1+1；當是；當是空間反演空間反演或或鏡面反射鏡面反射時等時等于于-1-1. .前一種對應物體的實際運動，另一種不能前一種對應物體的實際運動，另一種不能靠物體的實際運動來實現(xiàn)?？课矬w的實際運動

6、來實現(xiàn)。 如果一個物體在某一正交變換下不變，就稱如果一個物體在某一正交變換下不變，就稱這個變換為物體的一個對稱操作這個變換為物體的一個對稱操作。顯然，一個。顯然，一個物體的對稱操作越多，就表明它的對稱性越高。物體的對稱操作越多，就表明它的對稱性越高。 定量研究對稱操作集合的性質(zhì)要用定量研究對稱操作集合的性質(zhì)要用群論群論的知的知識。識。謝希德、蔣平等人編著的群論及其在物謝希德、蔣平等人編著的群論及其在物理學中的應用理學中的應用( (科學出版社出版，科學出版社出版，19861986年年8 8月月) )是一本不錯的書，有興趣的同學可以參閱）是一本不錯的書，有興趣的同學可以參閱） 群論作為數(shù)學的分支，

7、是處理有一定對稱性群論作為數(shù)學的分支，是處理有一定對稱性的物理體系的有力工具，可以的物理體系的有力工具，可以簡化復雜的計算簡化復雜的計算，也可以也可以預言物理過程的發(fā)展預言物理過程的發(fā)展趨勢，還可以對體趨勢，還可以對體系的許多性質(zhì)作出系的許多性質(zhì)作出定性的了解定性的了解。 群及其表示理論是物理系研究生的一門重要群及其表示理論是物理系研究生的一門重要基礎課，對于本科生不作要求。因此，我們不基礎課，對于本科生不作要求。因此，我們不打算在這里講過多的群論的知識。只是簡單介打算在這里講過多的群論的知識。只是簡單介紹一下，讓大家對群的概念有一個認識。紹一下，讓大家對群的概念有一個認識。一、群的知識簡介一

8、、群的知識簡介1. 1. 群的定義群的定義 所謂所謂群群(group)就是就是一些元素一些元素(elements)或操或操作的作的集合，集合，常用符號常用符號 G 來表示。來表示。構成群的元素要滿足以下條件：構成群的元素要滿足以下條件： 設設 等表示群等表示群G中所包含的元素中所包含的元素或操作或操作 123,A A A 即即：,1,2,3, iiAG iGA必須滿足下列條件：必須滿足下列條件： 1). 封閉性封閉性(closure property) 按照給定的按照給定的乘法乘法規(guī)則，群規(guī)則，群G G中任何兩個元素中任何兩個元素相乘，得到的還是該群的一個元素。相乘，得到的還是該群的一個元素。

9、,ijkA AA ij or ij2). 群中一定包含一個不變元素群中一定包含一個不變元素( (單位元素單位元素) ) E,iiiEGEAAEA3). 存在逆元素存在逆元素 111,iiiiiiAG AAAA AE 4). 滿足組合定則滿足組合定則 ()()ijkijkA AAAA A 在晶體的幾何對稱性的研究中，每一個能在晶體的幾何對稱性的研究中，每一個能使晶體復原的對稱使晶體復原的對稱操作操作，都，都滿足上述群中的滿足上述群中的元素的要求元素的要求，由這些元素，由這些元素( (或操作或操作) )所構成的所構成的群叫群叫對稱性群對稱性群(symmetry group), ,包括包括點群點群(

10、point group)和和空間群空間群(space group) 18301830年年，赫塞耳，赫塞耳( (Johann Friedrich Christian Hessel)首先導出了首先導出了3232種種點群，由點群，由3232種點群出發(fā)，種點群出發(fā)，可以對布拉維點陣進行分類，這正是可以對布拉維點陣進行分類，這正是18501850年年布布拉維所作的工作，他證明了只有拉維所作的工作，他證明了只有7 7個個晶系。晶系。( (點點群不含平移對稱操作，因為平移導致任何格點群不含平移對稱操作，因為平移導致任何格點都要動，而點群必須至少有一個格點不動都要動，而點群必須至少有一個格點不動) ) 熊夫利

11、熊夫利(Schoenflies1891)和費奧多羅夫和費奧多羅夫(Fedorove 1892) 為了研究復式晶格為了研究復式晶格( (幾套簡單幾套簡單格子的平移格子的平移) )的分類，考慮了的分類，考慮了平移對稱操作平移對稱操作，提出了空間群的概念提出了空間群的概念, ,并證明只有并證明只有230230種種獨立獨立的空間群。的空間群。 可由此證明只有可由此證明只有1414種三維布拉維種三維布拉維點陣點陣 此外，為了方便，人們制定了標示晶體類型此外，為了方便，人們制定了標示晶體類型的符號，一套是熊夫利制訂的，稱為的符號，一套是熊夫利制訂的，稱為熊夫利符熊夫利符號號；一套是海爾曼；一套是海爾曼(H

12、ermann)和毛袞和毛袞(Mauguin)制訂的，稱為制訂的，稱為國際符號國際符號我們這一節(jié)主要介紹這些人得到的結(jié)果我們這一節(jié)主要介紹這些人得到的結(jié)果二、點群和七個晶系二、點群和七個晶系1. 點群點群 保持空間保持空間某一點固定不動某一點固定不動的對稱操作，稱為的對稱操作，稱為點對稱操作點對稱操作。在點對稱操作基礎上構成的對稱在點對稱操作基礎上構成的對稱操作群稱為操作群稱為點群點群2. 點對稱操作的類型和對稱元素點對稱操作的類型和對稱元素： 對于晶體而言，對于晶體而言，對稱操作對稱操作就是就是對晶體進行對晶體進行幾何變換而能復原的操作幾何變換而能復原的操作。晶體中的。晶體中的基本的點基本的點

13、對稱操作對稱操作有三種有三種：相應的相應的對稱元素對稱元素有有: :對稱軸對稱軸; ;對稱面對稱面; ;對稱中心對稱中心鏡面反映鏡面反映 (Reflection across a plane);中心反演中心反演(inversion through a point) ;正當轉(zhuǎn)動操作正當轉(zhuǎn)動操作, ,即繞固定軸的轉(zhuǎn)動即繞固定軸的轉(zhuǎn)動 (rotation about an axis) ； 一個一個旋轉(zhuǎn)對稱操作旋轉(zhuǎn)對稱操作(rotational symmetry operation)意味著將點陣繞著某個軸旋轉(zhuǎn)某個意味著將點陣繞著某個軸旋轉(zhuǎn)某個角度角度 或或- - 以后，點陣保持不變。以后，點陣保持不變

14、。 由于晶體周期性的限制，轉(zhuǎn)角由于晶體周期性的限制，轉(zhuǎn)角 只能是只能是: :2,1,2,3,4,6nn顯然顯然n=1n=1, ,相當于相當于不動操作不動操作( (元素元素) )E, , n=2,3,4,6的轉(zhuǎn)軸分別稱為的轉(zhuǎn)軸分別稱為二度、三度二度、三度、四度、四度、六度轉(zhuǎn)軸六度轉(zhuǎn)軸證明見證明見p28 p28 為了保持在旋轉(zhuǎn)對稱操作后點陣不變，在為了保持在旋轉(zhuǎn)對稱操作后點陣不變，在二二維晶格維晶格中，中，旋轉(zhuǎn)軸一定要通過某一個格點而且旋轉(zhuǎn)軸一定要通過某一個格點而且垂直平面垂直平面；在；在三維晶格三維晶格中，中，旋轉(zhuǎn)軸一定要通過旋轉(zhuǎn)軸一定要通過某一個格點而且平行于某一個晶向。某一個格點而且平行于某

15、一個晶向。 即：晶體中允許的轉(zhuǎn)動對稱軸只能是即：晶體中允許的轉(zhuǎn)動對稱軸只能是1 1，2 2，3 3，4 4和和6 6重軸重軸稱為稱為晶體的對稱性定律晶體的對稱性定律 晶體的對稱性定律的證明晶體的對稱性定律的證明 如果如果繞繞A A轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角, ,晶格保持不變晶格保持不變( (對稱操作對稱操作).).則則該操作將使該操作將使B B 格點轉(zhuǎn)到格點轉(zhuǎn)到 位置位置, ,則由于轉(zhuǎn)動對稱則由于轉(zhuǎn)動對稱操作不改變格子操作不改變格子, ,在在 處必定原來就有一個格點。處必定原來就有一個格點。BB因為因為B 和和A 完全等價完全等價, ,所有旋轉(zhuǎn)同樣可以繞所有旋轉(zhuǎn)同樣可以繞B 進行進行. .如圖如圖, ,A為格

16、點為格點, ,B為離為離A最近最近的格點之一的格點之一, ,則與則與 平行的平行的格點之間的距離一定是格點之間的距離一定是 的的整數(shù)倍整數(shù)倍。 AB AB 由此可設想繞由此可設想繞B B 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角，這將使角，這將使A 格點轉(zhuǎn)到格點轉(zhuǎn)到 的的位置。同樣位置。同樣 處原來也必定有一個格點處原來也必定有一個格點AAABAB aaa亦即亦即：2 cos()aama1 2cosm 1cos1 而且而且, ,m必須為整數(shù)必須為整數(shù), ,所以所以, ,m只能取只能取 -1,0,1,2,3由于由于 組成等腰梯形組成等腰梯形, ,ABA B ,A BmABma m為整數(shù)為整數(shù)ABAB aaa因此因此與與m=-1

17、,0,1,2,3相應的轉(zhuǎn)角為相應的轉(zhuǎn)角為: :22222 ,1,6,4,3,26432n 通常把晶體中通常把晶體中軸次最高的轉(zhuǎn)動軸軸次最高的轉(zhuǎn)動軸稱作稱作主對稱主對稱軸軸，簡稱，簡稱主軸主軸 ( (但是立方晶系則以但是立方晶系則以3 3次軸為主軸次軸為主軸),),其它為其它為副軸副軸. .一個一個鏡面反映鏡面反映對稱操作對稱操作(symmetry operation of mirror image)意味著將點陣對應于某一個面進行意味著將點陣對應于某一個面進行反射反射, ,點陣保持不變點陣保持不變. .這表明一系列格點對應于這這表明一系列格點對應于這個反射面的位置是等價的個反射面的位置是等價的,

18、 ,點陣具有鏡反射對稱點陣具有鏡反射對稱性性. .如以如以xyxy面為反射面面為反射面, ,則則(x,y,z)(x,y,-z)中心反演中心反演, ,如如對原點的反演對原點的反演, ,(x,y,z) (-x,-y,-z) 以上為以上為3 3種基本對稱操作。然而，在某些晶體中種基本對稱操作。然而，在某些晶體中還存在著等價于還存在著等價于相繼進行兩個基本對稱操作相繼進行兩個基本對稱操作( (乘乘法法則法法則) )而得到的獨立對稱操作，稱為而得到的獨立對稱操作，稱為組合操作組合操作組合操作組合操作: :也叫也叫旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)- -反映反映或或象轉(zhuǎn)象轉(zhuǎn)操作操作 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)+ +垂直于轉(zhuǎn)軸垂直于轉(zhuǎn)軸的平面鏡像反映

19、的平面鏡像反映非正當轉(zhuǎn)動非正當轉(zhuǎn)動 (improper rotation)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)- -反演反演( (倒反倒反) )旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)+ +中心反演中心反演 總之，上述總之，上述對稱操作對稱操作滿足數(shù)學上構成群的滿足數(shù)學上構成群的條件，一個晶體的所有條件，一個晶體的所有點對稱操作點對稱操作集合形成該集合形成該晶體點群晶體點群。理論和實驗證明，所有晶體結(jié)構的。理論和實驗證明，所有晶體結(jié)構的宏觀對稱性，可概括為宏觀對稱性，可概括為3232個晶體點群個晶體點群。 對于點對稱操作的類型對于點對稱操作的類型, ,固體物理固體物理中慣用中慣用熊夫利符熊夫利符號號(Schoenflies notation)標記標記;

20、 ;晶體學家慣用晶體學家慣用國際符號國際符號(Schoenflies notation)標記標記. .在晶體結(jié)構分析中在晶體結(jié)構分析中, ,常用后者常用后者. P28-29P28-29表表2.12.1給出了給出了3232個晶體學點群，為了便個晶體學點群，為了便于大家看懂，下面給出符號的說明于大家看懂，下面給出符號的說明12346,nCC C C C C表示表示n n次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 n=1,2,3,4,612346,nSS S S S S表示表示n n次旋轉(zhuǎn)次旋轉(zhuǎn)- -反反演軸演軸 n=1,2,3,4,62346,nDD D D D表示表示n個垂直于主軸的個垂直于主軸的2次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸n=2

21、,3,4,61iCSi表示中心反演表示中心反演T四個四個3次軸、三個次軸、三個2次軸，按四面體型分布次軸，按四面體型分布熊夫利符號熊夫利符號2sCS表示鏡面反映表示鏡面反映O四個四個3次軸、三個次軸、三個4次軸，按八面體型分布次軸，按八面體型分布為了表明為了表明對稱面相對于旋轉(zhuǎn)軸對稱面相對于旋轉(zhuǎn)軸的位置，還有如下的位置，還有如下附加指標：附加指標：下角標下角標h(水平水平)表示垂直于旋轉(zhuǎn)軸表示垂直于旋轉(zhuǎn)軸下角標下角標v(鉛直鉛直)表示平行于旋轉(zhuǎn)軸表示平行于旋轉(zhuǎn)軸下角標下角標d(對角對角)表示平行于主軸且平分表示平行于主軸且平分2次軸之間的夾角次軸之間的夾角 國際符號國際符號熊夫利符號熊夫利符號

22、 國際符號以國際符號以不超過三個不超過三個幾何上的幾何上的從優(yōu)方向從優(yōu)方向來描述晶體的對稱類型，這些方向或來描述晶體的對稱類型，這些方向或平行于對平行于對稱軸或垂直于對稱面稱軸或垂直于對稱面國際符號國際符號n1,2,3,4,6 n次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸nC1, 2, 3, 4,6n nS旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)-反演軸反演軸 (2)m 鏡面反映鏡面反映 2sCS1iCSi表示中心反演表示中心反演Inm垂直于鏡面的垂直于鏡面的n次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 nm平行于鏡面的平行于鏡面的n次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 2n垂直于一個或多個垂直于一個或多個2次軸次軸 的的n次主軸次主軸 2n垂直于一個或多個垂直于一個或多個2次軸次軸 的旋轉(zhuǎn)反演

23、軸的旋轉(zhuǎn)反演軸 nm平行于鏡面的平行于鏡面的n次旋轉(zhuǎn)反演軸次旋轉(zhuǎn)反演軸 如旋轉(zhuǎn)如旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸并反演對稱軸并不都是獨立的基本獨立的基本對稱素對稱素。如：。如：12i1123456i 3312m21 注意，以上許多的操作并不都是獨立的注意，以上許多的操作并不都是獨立的/nmn mmm或垂直于一個鏡面但平行于其它反映面的垂直于一個鏡面但平行于其它反映面的n次次旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸 ABDCEFGH正四面體既無四正四面體既無四度軸也無對稱心度軸也無對稱心6=3+m12345661 2 3 4 5 CADGFHEB參考方俊鑫書參考方俊鑫書P37-39P37-39旋轉(zhuǎn)反演對稱操作中只有旋轉(zhuǎn)反演對稱操作中只有4

24、 4度度旋轉(zhuǎn)反演旋轉(zhuǎn)反演對稱操作是獨立的對稱操作是獨立的 獨立的對稱操作有獨立的對稱操作有8 8種種, ,即即1，2，3，4，6，i，m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4123443 1 4 2 所有點對稱操作都可由這所有點對稱操作都可由這8 8種操作或它們種操作或它們的組合來完成。的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構成一個晶體的全部對稱操作構成一個群一個群，每個操作都是群的一個元素。，每個操作都是群的一個元素。對稱性對稱性不同的晶體屬于不同的群不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演反演點對稱操作點對稱操作構成

25、構成3232個個點群。點群。3.3.七個晶系七個晶系 在不考慮平移對稱操作的基礎上，在不考慮平移對稱操作的基礎上，3232個點群個點群屬于屬于7 7個晶系。個晶系。 7 7個晶系的劃分，可以說是個晶系的劃分，可以說是從簡單格子出發(fā)來考慮的，簡從簡單格子出發(fā)來考慮的，簡單格子含有一個格點。單格子含有一個格點?？紤]到格矢考慮到格矢112233nRn an an a 所以，晶體的三維周期性結(jié)構由所以，晶體的三維周期性結(jié)構由 三個矢量的三個矢量的方向方向和和長度長度來決定，存在來決定，存在7 7類不同類不同的組合的組合，即，即7 7個晶系個晶系。123,a a a 7 7個晶系為：個晶系為：三斜三斜晶

26、系、晶系、單斜單斜晶系、晶系、正交正交晶系、晶系、三角三角晶系、晶系、四方四方晶系、晶系、六角六角晶系、晶系、立方立方晶系。晶系。( (按對稱性來排序按對稱性來排序) )1( )a a 3( )a c 2( )a b7.7.立方晶系立方晶系：090abc5.5.三角晶系：三角晶系：0090120abc6.6.六角晶系六角晶系：0090120abc3.3.正交晶系正交晶系：090abc4.4.四方晶系四方晶系090abc 090abc2.2.單斜晶系單斜晶系：1.1.三斜晶系三斜晶系： abc7 7個晶系個晶系( (由由簡單格子簡單格子確定確定, ,用符號用符號P P表示表示) )1( )a a

27、 3( )a c 2( )a b三、空間群和三、空間群和1414種布拉維格子種布拉維格子7 7個晶系個晶系(crystal system)相應的點群相應的點群122436,hhhdhhS CDDDDO其它點群為這其它點群為這7 7個點群的子群個點群的子群( (見見P28P28表表2.12.1) ) 如果進一步考慮晶體的如果進一步考慮晶體的微觀對稱性微觀對稱性, ,對稱對稱操作中還應包含操作中還應包含: :平移、螺旋旋轉(zhuǎn)平移、螺旋旋轉(zhuǎn)和和滑移反映滑移反映. . 對稱性在對稱性在宏觀上宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對稱性物理性質(zhì)在不同方向上的對稱性. .所

28、以又稱所以又稱宏宏觀對稱性觀對稱性, ,其其對稱操作對稱操作前面已經(jīng)講述前面已經(jīng)講述. .1.1.平移對稱操作和空間群平移對稱操作和空間群(1)(1)平移和平移軸：平移和平移軸：圖形中各點按一矢量進行移動的操作稱為平移；進行圖形中各點按一矢量進行移動的操作稱為平移；進行平移所憑借的直線稱為平移軸。顯然，此時圖形應是無限的平移所憑借的直線稱為平移軸。顯然，此時圖形應是無限的-點陣。點陣。 （2）螺旋旋轉(zhuǎn)與螺旋旋轉(zhuǎn)與n度螺旋軸度螺旋軸: :若繞軸若繞軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2 /n角角以后以后, ,再再沿軸方向平移沿軸方向平移l(T/n),晶體能自身晶體能自身重合重合, ,則稱此軸為則稱此軸為n n度螺旋軸度螺

29、旋軸. .其中其中T是軸方向的是軸方向的周期周期, ,l是小于是小于n n的整數(shù)的整數(shù). .n只能取只能取1、2、3、4、6。 （2 2）滑移反映和滑移）滑移反映和滑移面：面：若經(jīng)過某面進行若經(jīng)過某面進行鏡象鏡象操作操作后后, ,再沿平行于該面再沿平行于該面的某個方向平移的某個方向平移T/n后后, ,晶晶體能自身重合體能自身重合, ,則稱此面則稱此面為滑移反映面為滑移反映面. . T是平行是平行方向的周期方向的周期, , n可取可取2 2或或4.4.4度螺旋軸度螺旋軸MM滑移反映面滑移反映面 點對稱操作點對稱操作加上加上平移操作平移操作構成構成空間群空間群。全部。全部晶體構成晶體構成23023

30、0種種空間群，即有空間群，即有230230種對稱類型。種對稱類型。2. 142. 14種布拉維格子種布拉維格子 根據(jù)不同的點對稱性，將晶體分為根據(jù)不同的點對稱性，將晶體分為7 7大晶大晶系，對應系，對應7 7個簡單格子；進一步考慮平移對稱個簡單格子；進一步考慮平移對稱操作后，還有操作后，還有7 7種復式格子，所以共有種復式格子，所以共有1414種布種布拉維晶格拉維晶格。abc 7 7大晶系的特征及大晶系的特征及1414種布拉維種布拉維晶格如下所述：晶格如下所述：1.1.三斜晶系：三斜晶系： , cba 090cba2.2.單斜晶系：單斜晶系：3.3.三角晶系：三角晶系：0012090 cba簡

31、單三斜簡單三斜( (1) )簡單單斜簡單單斜( (2) ) 底心單斜底心單斜( (3) )三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：090 cba簡單正交簡單正交( (5) )，底心正交，底心正交( (6) )體心正交體心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) )5.5.四角系：四角系：( (正方晶系正方晶系) )090 cba簡單四角簡單四角( (9) )，體心四角，體心四角( (10) )6.6.六角晶系：六角晶系：0012090 cba六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：090 cba簡立方簡立方( (12) )，體心立方，體心立方( (13) )，面心

32、立方面心立方( (14) )簡單三斜簡單三斜( (1) ) 090, cba簡單單斜簡單單斜( (2) )底心單斜底心單斜(3)1 1）. .三斜晶系：三斜晶系： 2 2）. .單斜晶系：單斜晶系： ,cba3 3）. .三角晶系：三角晶系：三角三角( (4) )0012090 cba4 4）. .正交晶系：正交晶系：090 ,cba簡單正交簡單正交( (5) )底心正交底心正交( (6) )體心正交體心正交( (7) )面心正交面心正交( (8) )5 5）. .四方晶系四方晶系090 cba體心四方體心四方( (10) )簡單四方簡單四方( (9) )6 6）. .六角晶系：六角晶系：00

33、12090 cba六角六角( (11) )7 7）. .立方晶系：立方晶系：090 cba簡立方簡立方( (12) )體心立方體心立方( (13) )面心立方面心立方( (14) ) 從表面上來看，上述布拉維格子似乎還可以從表面上來看，上述布拉維格子似乎還可以增加一些體心、面心或底心格子。但實際上，這增加一些體心、面心或底心格子。但實際上，這樣做所得的樣做所得的格子仍是格子仍是1414種之一種之一，或者不是布拉維，或者不是布拉維格子。格子。 如四方晶系如四方晶系只有簡單四角和只有簡單四角和體心四角；如果體心四角；如果增加一個面心四增加一個面心四角，結(jié)果仍是體角，結(jié)果仍是體心四角。心四角。a立方

34、立方aaaaa三方三方三斜三斜abc正交正交abcabc單斜單斜aaac六方六方aac四方四方 將相同的將相同的原子、離子或者原子集團原子、離子或者原子集團置于各個置于各個等價等價格點格點上上, ,就得到就得到晶體結(jié)構晶體結(jié)構. .每種晶體結(jié)構都是基于每種晶體結(jié)構都是基于1414種種布拉維格子布拉維格子中的一個平移系統(tǒng)而形成的中的一個平移系統(tǒng)而形成的. .總之總之, ,布拉維布拉維格子按照點群來分有格子按照點群來分有7 7類類, ,按空間群來分按空間群來分, ,有有1414類；晶體類；晶體按照點群來分有按照點群來分有3232類類, ,按空間群來分按空間群來分, ,有有230230類類. . 空

35、間格子空間格子與與晶體結(jié)構晶體結(jié)構這兩個概念含義并這兩個概念含義并不相同，不相同，“格子格子”純屬幾何概念純屬幾何概念，是晶體結(jié)，是晶體結(jié)構的數(shù)學抽象；而構的數(shù)學抽象；而“晶體結(jié)構晶體結(jié)構”則則具有物理具有物理意義意義。3. 3. 230230種空間群國際符號說明種空間群國際符號說明： 空間群國際符號的空間群國際符號的第一個字母表示布拉維格第一個字母表示布拉維格子的類型子的類型，即：，即：P簡單格子；簡單格子；I體心格子；體心格子；F面心格子；面心格子；C底心底心(a1和和a2形成的底面形成的底面);B底心底心(a2和和a3形成的底面形成的底面); A底心底心(a1和和a3形成的底面形成的底面

36、);R三角格子三角格子其余符號與其余符號與點群相同點群相同。仔細閱讀仔細閱讀P29-30，加深對加深對符號的含義的理解。如：符號的含義的理解。如：4/m;m3m等。等?？臻g群國際符號空間群國際符號四、點群對稱性和晶體的物理性質(zhì)四、點群對稱性和晶體的物理性質(zhì) 對于一個具體的物理體系，若知道它的幾對于一個具體的物理體系，若知道它的幾何對稱性，就可以確定它的某種物理性質(zhì)。何對稱性，就可以確定它的某種物理性質(zhì)。 表征晶體對稱性和其物理性質(zhì)對稱性之間表征晶體對稱性和其物理性質(zhì)對稱性之間關系的是所謂的關系的是所謂的Neumann原理原理，即：，即： 晶體的任一宏觀物理性質(zhì)一定具有它所屬點晶體的任一宏觀物理

37、性質(zhì)一定具有它所屬點群的一切對稱性群的一切對稱性. 比如：比如：1.1.一個體系具有一個體系具有鏡像反映鏡像反映對稱性對稱性, ,則該對稱操作則該對稱操作變矢量變矢量左旋左旋為為右旋右旋, ,因而該對稱體系因而該對稱體系無旋光性無旋光性. .2.2.一個體系具有一個體系具有軸軸對稱性對稱性, ,則偶極矢量則偶極矢量應在軸上應在軸上, ,因而因而如有兩個以上非重合對稱軸如有兩個以上非重合對稱軸, ,則體系則體系無偶極無偶極矩矩; ;3. . 19551955年年-1956-1956年年, ,別洛夫和陶格爾全面導出別洛夫和陶格爾全面導出了了磁對稱群磁對稱群(magnetic symmetry gr

38、oup), ,磁對稱磁對稱群含有一個新的對稱性：群含有一個新的對稱性：時間反演對稱時間反演對稱( (t t-t)-t). .顯然，若一個系統(tǒng)具有顯然，若一個系統(tǒng)具有時間反演時間反演對稱對稱( (t t-t),-t),那么其中的電流和磁矩一定那么其中的電流和磁矩一定為零為零. .而而時間反演對時間反演對稱的稱的破缺破缺, ,則意味著則意味著電流和磁矩電流和磁矩不為零不為零2.3 2.3 幾種常見的晶體結(jié)構幾種常見的晶體結(jié)構 大部分內(nèi)容我們前面已經(jīng)講過了，這一節(jié)大部分內(nèi)容我們前面已經(jīng)講過了，這一節(jié)自己課下進一步學習，這里僅僅補充說明一下自己課下進一步學習，這里僅僅補充說明一下HCPHCP結(jié)構的一種技術上常用的晶面標記方法結(jié)構的一種技術上常用的晶面標記方法 若若有對稱面有對稱面, ,偶極矩應偶極矩應在對稱面在對稱面上上; ;若有兩若有兩個對稱面?zhèn)€對稱面, ,偶極矩應在兩對稱面的交線上偶極矩應在兩對稱面的交線上. .H