《實變函數(shù)與泛函分析》課程教學大綱

1、 讀書時，我愿在每一個美好思想的面前停留，就像在每一條真理面前停留一樣。愛默生實變函數(shù)與泛函分析課程教學大綱一、課程基本信息課程代碼：110047課程名稱：實變函數(shù)與泛函分析英文名稱：Real variable analysis And Functional analysis課程類別：專業(yè)基礎課學 時：50學分：3適用對象：信息與計算科學專業(yè)本科考核方式：考試，平時成績30，期末成績70先修課程：數(shù)學分析和高等代數(shù)二、課程簡介中文簡介：實變函數(shù)起源于對連續(xù)而不可微函數(shù)以及Riemann可積函數(shù)等的透徹研究，在點集論的基礎上討論分析數(shù)學中一些最基本的概念和性質，其主要內容是引入Lebesgue積

2、分并克服了Riemann積分的不足。它是數(shù)學分析的繼續(xù)、深化和推廣，是一門培養(yǎng)學生數(shù)學素質的重要課程，也是現(xiàn)代數(shù)學的基礎。泛函分析起源于經(jīng)典的數(shù)學物理邊值問題和變分問題，同時概括了經(jīng)典分析的許多重要概念，是現(xiàn)代數(shù)學中一個重要的分支，它綜合運用了分析、代數(shù)與幾何的觀點和方法研究、分析數(shù)學和工程問題，其理論與方法具有高度概括性和廣泛應用性的特點。 英文簡介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields

3、 such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis thinking and reasoni

4、ng.三、課程性質與教學目的本課程是在實變函數(shù)與泛函分析基本理論的基礎上，著重泛函分析的應用，教學的目的是豐富學生的知識和培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。本課程就其實質來說是方法性的，但對于應用學科的學生來說，作為授課的目的，則是知識性的，故在教學方法和內容的選擇上來說，只能讓學生了解那些體現(xiàn)實變函數(shù)與泛函分析基本特征的思想內容，冗難的證明過程應盡量避免。本課程要求如下：1. 理解和掌握集合間的關系和集與映射間的關系，了解度量空間的相關概念和Lebesgue可測集的有關內容和性質。2. 了解可測函數(shù)的概念，構造，以及函數(shù)列的收斂性質。3. 了解Lebesgue積分的概念，掌握收斂定理。4. 理解賦

5、范線性空間和內積空間的相關知識點。5. 理解線性算子理論和有界線性泛函理論，了解三個基本定理。四、教學內容及要求 第一章 集合與測度（一） 目的與要求1 使學生認識集族的交并關系，映射及其性質，集的對等，可數(shù)集合，度量空間的概念和度量空間中的點集，直線上的測度和可測集，Lebesgue測度及相關理論；2 本章要求學生了解集族的交并關系，了解度量空間的概念和測度及可測集的概念。（二） 教學內容 第一節(jié) 集合與映射1 主要內容 集族的交并關系，映射及其性質，集的對等。2 基本概念和知識點 集族的交并關系，映射，集的對等，可數(shù)集合。3 問題與應用（能力要求）了解集族的交并關系，理解映射，集的對等，可

6、數(shù)集合。 第二節(jié) 度量空間1 主要內容 度量空間的概念，度量空間中的點集。2 基本概念和知識點 度量空間，收斂性，度量空間的拓撲。3 問題與應用（能力要求）理解度量空間的概念，理解度量空間的拓撲（包括了有關概念）。第三節(jié) Lebesgue可測集1 主要內容 直線上點集的構造，Cantor三分集，Lebesgue可測集及測度的相關性質。2 基本概念和知識點 構造區(qū)間，Cantor三分集，Lebesgue可測集，型集和型集。3 問題與應用（能力要求） 了解直線上點集的構造區(qū)間，熟悉Cantor三分集，了解Lebesgue可測集，型集和型集。（三） 課后練習 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習 P19之

7、1，2，3，6，8。 第二節(jié)課后練習 P20之9，11，13，14，16，17；抄題18-28。 第三節(jié)課后練習 P20之2932，36，37；抄題36，37。（四） 教學方法與手段本章教學主要采用課堂講授的方法。 第二章 可測函數(shù)（一）目的與要求要讓學生理解簡單函數(shù)和可測函數(shù)，了解可測函數(shù)的性質和構造，了解可測函數(shù)列的極限。（二）教學內容第一節(jié) 簡單函數(shù)與可測函數(shù)1 主要內容 簡單函數(shù)，簡單函數(shù)的表示和運算，可測函數(shù)，可測函數(shù)的判定。2 基本概念和知識點 簡單函數(shù)，可測函數(shù)。3 問題與應用（能力要求） 了解簡單函數(shù)及其表示和運算，理解可測函數(shù)的概念。 第二節(jié) 可測函數(shù)的性質 1主要內容 可測

8、函數(shù)的運算，可測函數(shù)的構造，Lusin定理。2基本概念和知識點 可測函數(shù)的運算，可測函數(shù)的構造，Lusin定理。 3問題與應用（能力要求） 了解可測函數(shù)的運算，了解可測函數(shù)的構造，理解Lusin定理。 第三節(jié) 可測函數(shù)列的收斂性 1主要內容 Egoroff定理，依測度收斂概念，Lebesgue定理，Riesz定理。 2基本概念和知識點 Egoroff定理，依測度收斂概念，Lebesgue定理，Riesz定理。 3問題與應用（能力要求） 了解三個定理和依測度收斂的概念。（三）課后練習 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習 P38之2，3，6；抄題 第二節(jié)課后練習 P38之7；抄題 10，12，13，1

9、4。 第三節(jié)課后練習 P38之23；抄題 25，26，27。（四）教學方法與手段 本章教學主要采用課堂講授的方法。 第三章 Lebesgue積分（一）目的與要求 1本章介紹Lebesgue積分的概念與性質，積分收斂定理，Lebesgue積分與Riemann積分的關系，積分與微分， Fubini定理； 2要求學生理解Lebesgue積分的概念與性質，掌握Fubini定理。（二）教學內容 第一節(jié) Lebesgue積分的概念與性質1主要內容 逐步講解了可測函數(shù)的積分，區(qū)分有積分和可積性，講解了積分的性質。 讀書時，我愿在每一個美好思想的面前停留，就像在每一條真理面前停留一樣。愛默生2基本概念和知識點

10、 有積分和可積性，積分的性質。3問題與應用（能力要求） 了解積分的定義，了解積分的性質。 第二節(jié) 積分收斂定理1主要內容 Levi定理，F(xiàn)atou定理，逐項積分定理，Lebesgue控制收斂定理。2基本概念和知識點 Levi定理，F(xiàn)atou定理，逐項積分定理，Lebesgue控制收斂定理。3問題與應用（能力要求） 理解四個定理的作用。 第三節(jié) Lebesgue積分與Riemann積分的關系1主要內容 定理3.21和定理3.22，給出了Riemann可積的充要條件。2基本概念和知識點 定理3.21和定理3.22。3問題與應用（能力要求） 了解定理3.21和定理3.22的內容。 第四節(jié) 積分與微分

11、1主要內容 講解有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)及相互關系。2基本概念和知識點 有界變差函數(shù)，絕對連續(xù)函數(shù)。3問題與應用（能力要求） 了解有界變差函數(shù)和它的表示，理解絕對連續(xù)函數(shù)的作用。第五節(jié) Fubini定理1主要內容 講解重積分交換積分次序的Fubini定理。2基本概念和知識點 Fubini定理。3問題與應用（能力要求） 了解L及其上的測度，了解重積分和交換積分次序的Fubini定理。（三）課后練習 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習 P68之1，2，3；抄題 5，6。 第二節(jié)課后練習 P69之10，11；抄題 7，8，9。 第三節(jié)課后練習 P69之12；抄題 第四節(jié)課后練習 P69之18；抄題 1

12、9，24，26。 第五節(jié)課后練習 P69之；抄題 （四）教學方法與手段 本章教學主要采用課堂講授的方法。 第四章 線性賦范空間（一）目的與要求 本章介紹線性賦范空間的各有關知識和概念，包括收斂性，完備性，列緊性，不動點定理和拓撲空間簡介。（二）教學內容 第一節(jié) 線性空間1主要內容 介紹了線性空間，基和維數(shù)，子空間和凸集，空間的同構。2基本概念和知識點 線性空間，基和維數(shù)，子空間和凸集，空間的同構。3問題與應用（能力要求） 認識無窮維空間和凸集。 第二節(jié) 線性賦范空間1主要內容 范數(shù)，距離，H?lder不等式和Minkowski不等式。2基本概念和知識點 范數(shù)，距離，例，H?lder不等式和Mi

13、nkowski不等式。3問題與應用（能力要求）理解線性空間的范數(shù)，距離，掌握H?lder不等式和Minkowski不等式。第三節(jié) 線性賦范空間中的收斂1主要內容 講解收斂點列，等價范數(shù)，連續(xù)映射，稠密性和可分空間。2基本概念和知識點 收斂點列，等價范數(shù)，連續(xù)映射，稠密性和可分空間。 3問題與應用（能力要求） 理解收斂點列，等價范數(shù)，連續(xù)映射，稠密性和可分空間。第四節(jié) 空間的完備性1主要內容 講解Cauchy列，Banach空間，子空間的完備性和賦范線性空間的完備化。2基本概念和知識點 Cauchy列，Banach空間，子空間的完備性，賦范線性空間的完備化。3問題與應用（能力要求） 理解Cauc

14、hy列，Banach空間，子空間的完備性，掌握賦范線性空間的完備化和嵌入過程。第五節(jié) 列緊性與有限維空間1主要內容 講解列緊的概念和性質，有限維空間的特征和Riesz引理。2基本概念和知識點 列緊性，Riesz引理。3問題與應用（能力要求） 理解集的列緊性，掌握Riesz引理。第六節(jié) 不動點定理1主要內容 講解Banach壓縮映像原理，Brouwer不動點定理，Schauder不動點定理。2基本概念和知識點 Banach壓縮映像原理，Brouwer不動點定理，Schauder不動點定理。3問題與應用（能力要求） 理解Banach壓縮映像原理，了解Brouwer不動點定理和Schauder不動點

15、定理及其應用。第七節(jié) 拓撲空間簡介1主要內容 講解開集，閉集，鄰域，拓撲。2基本概念和知識點 開集，閉集，鄰域，拓撲，極限點。3問題與應用（能力要求） 理解開集，閉集，鄰域，拓撲，極限點。 （三）課后練習 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習 P95之1；抄題 第二節(jié)課后練習 P95之2；抄題 第三節(jié)課后練習 P95之4；抄題 第四節(jié)課后練習 P95之3；抄題 第五節(jié)課后練習 P95之8；抄題 讀書時，我愿在每一個美好思想的面前停留，就像在每一條真理面前停留一樣。愛默生 第六節(jié)課后練習 P95之10；抄題 第七節(jié)課后練習 （四）教學方法與手段 本章教學主要采用課堂講授的方法。 第五章 內積空間（一）

16、目的與要求 1本章講解內積空間與Hilbert空間，正交與正交補，正交分解定理，內積空間中的Fourier級數(shù)； 2要求學生理解內積和內積空間的定義，理解Hilbert空間，了解正交與正交補，了解正交分解定理，了解內積空間中的Fourier級數(shù)。（二）教學內容 第一節(jié) 內積空間與Hilbert空間1主要內容 講解內積和內積空間，常見Hilbert空間。2基本概念和知識點 內積，內積空間，Hilbert空間。3問題與應用（能力要求） 理解內積和內積空間的定義，理解Hilber空間，了解幾個常見Hilbert空間。 第二節(jié) 正交與正交補1主要內容 講解正交的概念，講解子空間的正交補概念。2基本概念

17、和知識點 正交，正交補。3問題與應用（能力要求） 了解正交性和子空間的正交補。第三節(jié) 正交分解定理1主要內容 講解變分引理和正交分解定理。2基本概念和知識點 變分引理，正交分解定理。3問題與應用（能力要求） 了解變分引理和正交分解定理。第四節(jié) 內積空間中的Fourier級數(shù)1主要內容 講解正交化方法和過程，講解Fourier級數(shù)。2基本概念和知識點 正交化方法， Fourier級數(shù)。3問題與應用（能力要求） 了解正交化方法和Fourier級數(shù)。 （三）課后練習 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習 P107之4，5；抄題 第二節(jié)課后練習 P106之1，2，3；抄題 第三節(jié)課后練習 P107之5，6，

18、7；抄題第四節(jié)課后練習 P107之9，10；抄題 （四）教學方法與手段本章教學主要采用課堂講授的方法。 第六章 有界線性算子與有界線性泛函（一）目的與要求 1本章介紹空間的有界線性算子，泛函三大定理，共軛空間與共軛算子以及幾種收斂性； 2要求學生理解有界線性算子的概念，共軛空間與共軛算子的概念，以及幾種收斂性，理解泛函三大定理。（二）教學內容 第一節(jié) 有界線性算子1主要內容 講解線性算子和線性泛函，連續(xù)性與有界性，算子范數(shù)和算子空間。2基本概念和知識點 線性算子和線性泛函，連續(xù)性與有界性，算子范數(shù)和算子空間。3問題與應用（能力要求） 理解線性算子和線性泛函的概念，理解連續(xù)性與有界性的等價，理解

19、算子范數(shù)和算子空間。 第二節(jié) 三大定理1主要內容 講解開映射定理和逆算子定理，共鳴定理和Hahn-Banach定理。2基本概念和知識點 映射定理和逆算子定理，共鳴定理，Hahn-Banach定理。3問題與應用（能力要求） 理解三大定理的內容。 第三節(jié) 共軛空間與共軛算子1主要內容 講解共軛空間的概念及幾個共軛空間，共軛算子，Riesz表示定理，Hilbert空間上的共軛算子。2基本概念和知識點 共軛空間，共軛算子，Riesz表示定理，Hilbert空間上的共軛算子。3問題與應用（能力要求） 理解共軛空間，共軛算子，Riesz表示定理，Hilbert空間的共軛算子。 第四節(jié) 幾種收斂性1主要內容 講解強收斂性，弱收斂性。2基本概念和知識點 強收斂，弱收斂，泛函序列的收斂性。3問題與應用（能力要求） 理解強收斂性，弱收斂性，泛函序列的收斂性。 （三）課后練習 作業(yè)和思考題： 第一節(jié)課后練習 P137之1，2