格林公式、高斯公式、斯托克斯公式應(yīng)用

1、Green公式、Stokes公式、Gauss公式在專業(yè)學(xué)科中的應(yīng)用摘要格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函數(shù)積分學(xué)中的三個(gè)基本公式，它們分別建立了曲線積分與二重積分、曲面積分與三重積分、曲線積分和曲面積分的聯(lián)系。它們建立了向量的散度與通量、旋度與環(huán)量之間的關(guān)系，除了在數(shù)學(xué)上應(yīng)用于計(jì)算多元函數(shù)積分，在其他領(lǐng)域也有很多重要的應(yīng)用。本文將主要從這三個(gè)公式與物理學(xué)之間的聯(lián)系展開介紹它們的其他應(yīng)用，其中包括應(yīng)用于GPS面積測(cè)量?jī)x，確定外部擾動(dòng)重力場(chǎng)，應(yīng)用于保守場(chǎng)以及推證阿基米德定律和高斯定理等，幫助人們加深對(duì)格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，從而能夠

2、更準(zhǔn)確地應(yīng)用此三個(gè)公式。關(guān)鍵詞：格林公式 斯托克斯公式 高斯公式 散度 旋度 應(yīng)用 目錄一、引言1二、格林（Green）公式的應(yīng)用1（一） 格林公式的定義11、單連通區(qū)域的概念12、區(qū)域的邊界曲線的正向規(guī)定13、陳述1(二)格林公式的物理原型11、物理原型22、 計(jì)算方法2（三）格林公式與GPS面積測(cè)量?jī)x31.應(yīng)用曲線積分計(jì)算平面區(qū)域面積32.GPS面積測(cè)量?jī)x的數(shù)學(xué)原理43.實(shí)驗(yàn)結(jié)果54.進(jìn)一步討論5（四）應(yīng)用格林積分直接以地面邊值確定外部擾動(dòng)重力場(chǎng)61.擾動(dòng)重力位的地面邊值問題62.地面邊值問題的格林公式表示6三、Stokes公式的應(yīng)用8（一）Stokes公式簡(jiǎn)介8（二）環(huán)量與環(huán)量密度9（三

3、）環(huán)量的應(yīng)用91.開爾文定理92.開爾文定理的推論103.升力10（四）旋度11（五） 旋度的應(yīng)用121. 平面矢量場(chǎng)的旋度122.環(huán)流量是區(qū)域內(nèi)有無漩渦的量度123.旋度是矢量場(chǎng)某點(diǎn)漩渦強(qiáng)度的量度134.空間矢量場(chǎng)的旋度13四、Gauss公式的應(yīng)用161、 數(shù)學(xué)中的高斯公式162、 保守場(chǎng)的推導(dǎo)173、 高斯公式在電場(chǎng)中的運(yùn)用174、 高斯定理在萬有引力場(chǎng)中的應(yīng)用195.高斯公式推證阿基米德浮力定律216.高斯公式推證靜電場(chǎng)中的高斯定理227.高斯公式與散度24五、結(jié)語25六、參考文獻(xiàn)26 一、引言格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公和高斯（Gauss）公式是多元函數(shù)積分學(xué)中的

4、三個(gè)基本公式，它們分別建立了曲線積分與二重積分、曲面積分與三重積分、曲線積分和曲面積分的聯(lián)系。它們有很強(qiáng)的物理意義即建立了向量的散度與通量、旋度與環(huán)量之間的關(guān)系，因此它們有許多重要的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上它們主要用來簡(jiǎn)化某些多元函數(shù)積分的運(yùn)算，而在其他各個(gè)專業(yè)領(lǐng)域它們也有很多重要的應(yīng)用。接下來將一一介紹它們?cè)诓煌瑢I(yè)中的應(yīng)用。二、格林（Green）公式的應(yīng)用（1） 格林公式的定義Green公式反映了第二型平面線積分與二重積分的聯(lián)系。1、單連通區(qū)域的概念設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分區(qū)域都屬于D，則D稱為平面單連通區(qū)域；否則稱為復(fù)連通區(qū)域.通俗地講，單連通區(qū)域是不含洞(包括點(diǎn)洞)與裂縫的區(qū)

5、域.2、區(qū)域的邊界曲線的正向規(guī)定設(shè)L是平面區(qū)域D的邊界曲線，規(guī)定L的正向?yàn)椋寒?dāng)觀察者沿的這個(gè)方向行走時(shí)，平面區(qū)域(也就是上面的D)內(nèi)位于他附近的那一部分總在他的左邊.簡(jiǎn)言之：區(qū)域的邊界曲線的正向應(yīng)符合條件：人沿曲線走，區(qū)域在左邊，人走的方向就是曲線的正向。3、陳述設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 其中L是D的取正向的邊界曲線.公式叫做格林(green）公式.格林公式溝通了二重積分與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分之間的聯(lián)系，因此其應(yīng)用十分地廣泛1.(二)格林公式的物理原型在工科的“高等數(shù)學(xué)”教材中,格林公式這部分都是先給出定理,然后加以證明、應(yīng)用。講這部分內(nèi)容時(shí),總有學(xué)生詢

6、問同一問題,即人們?cè)鯓酉氲竭@個(gè)公式,怎樣想到曲線積分與重積分會(huì)有這樣的數(shù)值上的聯(lián)系?能否將格林公式的來源即物理原型加入教材呢?在教學(xué)中,試著加入這部分內(nèi)容，并對(duì)公式作了簡(jiǎn)單的符號(hào)記法,簡(jiǎn)化了公式,降底了出錯(cuò)率,并對(duì)應(yīng)用總結(jié)了幾個(gè)類型。多年的實(shí)踐證明,效果是很好的,下面就將加入的內(nèi)容介紹如下2:1、物理原型 在流體物理學(xué)中,稱滿足下述三個(gè)條件的“流速場(chǎng)”為“平面穩(wěn)定流動(dòng)”。（1）場(chǎng)中每一點(diǎn)的速度都不隨時(shí)間改變,只是位t的函數(shù)即（2）所論流體介于兩個(gè)互相平行的平面之間(為方便,不妨設(shè)平面間距離為l 個(gè)單位)其中之一稱為底面(往往底面即為xoy坐標(biāo)面)。（3）垂宜于底面的直線上的各點(diǎn)流速相等, 并平

7、行于底面。在這種“ 平面穩(wěn)定流動(dòng)” 中,我們來計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)流過曲線C的流體體積即流t 密度( 其實(shí)是流過以C 為準(zhǔn)線、高為l 的柱體的流體體積; 簡(jiǎn)單用面積表示) 其中C 是平面上一個(gè)閉的、無重點(diǎn), 光滑曲線。無重點(diǎn), 是指曲線,當(dāng)總是相異的。2、 計(jì)算方法（1）在C上任取一小段弧線S,在t時(shí)間內(nèi)流過S的流體面積,近似于一個(gè)平行四邊形的面積,它的一個(gè)邊長(zhǎng)是S另一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)是流程因此面積為其中是C的單位法向量單位時(shí)間內(nèi)流體面積為：由曲線積分定義有總的流體面則設(shè)為點(diǎn)(x,y)處的切線，與x軸夾角（2）的計(jì)算可以從另一個(gè)角度來計(jì)算,那就是先算出流過場(chǎng)內(nèi)每一個(gè)微dxdy在單位時(shí)間內(nèi)散發(fā)出去的流體的面

8、積，然后求其總和。設(shè)上述曲線C所圍平面區(qū)城為G,在G內(nèi)任取一個(gè)微元dxdy顯然在單位時(shí)間內(nèi)從左邊流進(jìn)(x軸方向)這個(gè)微元的流體面積近似于Pdy ,而從右邊流出的面積近似于（為偏增量的近似)。因此這個(gè)微元在單位時(shí)間內(nèi)沿x方向(凈)散發(fā)出去流體面積近似于。同理沿y方向（凈）散出去的流體面積近似于，所以總的和為由重積分的定義得：有（1）、（2）可得：這是場(chǎng)論中最根本的公式，即格林公式的原型。（三）格林公式與GPS面積測(cè)量?jī)x格林公式作為多元微積分中聯(lián)系平面曲線積分與二重積分的一個(gè)重要公式，不僅給出了一個(gè)有效計(jì)算平面曲線積分的方法，而且給出了一種已知邊界曲線方程的平面區(qū)域面積的計(jì)算方法在這部分的教學(xué)內(nèi)容

9、中，傳統(tǒng)應(yīng)用主要局限于純幾何與物理問題的解決，很少應(yīng)用于生活實(shí)際問題的討論本文在基于微元法的基礎(chǔ)上，討論了GPS面積測(cè)量?jī)x測(cè)量平面區(qū)域面積的數(shù)學(xué)原理，并在教學(xué)實(shí)踐中，將其以引入性問題和課程探索性實(shí)驗(yàn)的形式作為曲線積分教學(xué)內(nèi)容的擴(kuò)充，實(shí)現(xiàn)了抽象的數(shù)學(xué)理論與方法和生活實(shí)際的有效結(jié)合31.應(yīng)用曲線積分計(jì)算平面區(qū)域面積 設(shè)D為xOy平面上的閉區(qū)域，其邊界D由光滑或分段光滑閉曲線組成，函數(shù)P(x，y)和Q（x，y）在D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 (1)其中D的方向?yàn)殛P(guān)于區(qū)域D的正方向曲線正方向的確定使用“左手法則”，即當(dāng)一個(gè)人沿著該方向行走的時(shí)候，區(qū)域位于左手一側(cè)式(1)對(duì)于平面單連通區(qū)域或多連通區(qū)域都

10、成立當(dāng)式(1)中的二重積分被積函數(shù)為常數(shù)時(shí)，可以使用左端關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算封閉曲線圍成的平面區(qū)域的面積即若則有 （2）因此，只要構(gòu)造合適的P(x, y)和Q(x，y)，就可以通過封閉曲線D上的第二類曲線積分計(jì)算其圍成的平面區(qū)域D的面積則 （3）2.GPS面積測(cè)量?jī)x的數(shù)學(xué)原理 利用格林公式或二重積分方法計(jì)算平面區(qū)域的面積時(shí)，一般需要知道其邊界曲線方程，而在實(shí)際生活中，這樣的邊界曲線方程是很難知道的，因此無法直接使用它們來完成對(duì)面積的精確計(jì)算GPS面積測(cè)量?jī)x則給出了比較好的平面區(qū)域面積的近似計(jì)算方法只要手持測(cè)量?jī)x繞行測(cè)量區(qū)域一周儀器就可以通過自動(dòng)記錄行進(jìn)路線的坐標(biāo)，計(jì)算所圍繞區(qū)域的近似面積設(shè)由

11、邊界曲線3D圍成的區(qū)域和使用GPS測(cè)量?jī)x記錄的平面坐標(biāo)為圖1 目標(biāo)區(qū)域與記錄點(diǎn)位置由式(2)可知，在閉曲線方程已知的情況下，對(duì)其圍成的封閉區(qū)域面積的計(jì)算可以轉(zhuǎn)換為曲線積分計(jì)算假設(shè)閉曲線方程未知，則根據(jù)積分的存在性，借助于微元法思想，封閉曲線可以近似為由有向線段 的并，其中 其中，即 (4)從而有 （5）其中，.3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果 下面以參數(shù)方程x=4sint-sin4t （6）y=4cost-cos4t 確定的封閉曲線為例，在Mathematica中進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。 由于該封閉曲線方程已知，所以由公式(3)，利用第二類曲線積分的直接計(jì)算方法，可得所圍封閉區(qū)域面積為2062832取參數(shù)增量分別為依次

12、在曲線上取點(diǎn)，計(jì)算得到的結(jié)果分別為53196，60086，62122，62653，62830若取P(x, y)=-y，Q(x, y)=0,或者P(x, y)=0,Q(x, y)=x雖然在近似計(jì)算形式上看似有所差別，但是在Mathematica中以默認(rèn)精度進(jìn)行計(jì)算時(shí)，每個(gè)結(jié)果可以保持在小數(shù)點(diǎn)后13位一直相同，并且隨著分割的細(xì)化，結(jié)果逼近直接計(jì)算得到的精確結(jié)果。 4.進(jìn)一步討論 使用邊界點(diǎn)坐標(biāo)方法計(jì)算區(qū)域的面積還有借助于微元法思想和辛普森公式容易驗(yàn)證的公式對(duì)任一個(gè)平面凸區(qū)域D(即過該區(qū)域能做一組與區(qū)域邊界曲線交點(diǎn)不多于兩個(gè)的平行直線的區(qū)域)，設(shè)正好夾住平面區(qū)域的兩平行直線的距離為b在兩平行直線之間

13、做n-2(偶數(shù))條距離為b/n，平行于這兩條直線的一組直線，各條直線夾在閉曲線D圍成的區(qū)域D范圍內(nèi)的線段長(zhǎng)度記作 (i=1,2，n-1)。圖2 平面凸區(qū)域面積近似方法通過坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)或者存在有一組平行于Y軸的直線，b即為區(qū)域在z軸上投影區(qū)間的長(zhǎng)度，這樣實(shí)際上也就是由微元法構(gòu)造定積分模型的形式該方法思想簡(jiǎn)單，在實(shí)際計(jì)算中相對(duì)來說約束較多。除了以上借助于曲線上點(diǎn)坐標(biāo)近似計(jì)算平面區(qū)域面積之外，另外也可以通過已知點(diǎn)列坐標(biāo)，利用插值、擬合的方法獲取近似邊界分段曲線方程，然后利用二重積分或者第二類曲線積分計(jì)算面積同時(shí)，這種近似計(jì)算的思想也適用于求曲線的弧長(zhǎng)，比如橢圓周長(zhǎng)的近似計(jì)算與一些不可積函數(shù)的積分計(jì)算。

14、（四）應(yīng)用格林積分直接以地面邊值確定外部擾動(dòng)重力場(chǎng)1.擾動(dòng)重力位的地面邊值問題確定地球外部重力場(chǎng)和大地水準(zhǔn)面是大地測(cè)量學(xué)的主要任務(wù)之一。確定地球外部重力場(chǎng)和大地水準(zhǔn)面的斯托克斯理論需要將地面觀測(cè)的重力異常歸算至大地水準(zhǔn)面，再采用調(diào)和函數(shù)球面邊值的解式(如Stokes 公式)求得大地水準(zhǔn)面及其外部的擾動(dòng)重力位。歸算將涉及對(duì)大地水準(zhǔn)面。至地面的質(zhì)量遷移,對(duì)大地水準(zhǔn)面產(chǎn)生間接影響，而且由于歸算對(duì)質(zhì)量進(jìn)行了調(diào)整，改變了外部擾動(dòng)重力場(chǎng),因此歸算到大地水準(zhǔn)面上的重力異常用以確定外部擾動(dòng)重力位會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的歪曲。直接以地面重力異常為邊值的Molodensky問題從理論上避免了歸算的困難,成為近代外部重力場(chǎng)研究

15、的理論基石。然而，由于地球表面的復(fù)雜性，給這一問題的求解帶來極大難度4。Molodensky 基于基本積分方程的小參數(shù)解法得到地面擾動(dòng)位的級(jí)數(shù)解式。.提出將地面重力異常解析地延拓到一點(diǎn)的水準(zhǔn)面上,再采用球面的Stokes 積分得到地面擾動(dòng)位,其結(jié)果同樣是級(jí)數(shù)的形式。也研究得到類似的級(jí)數(shù)解.。則提出將地面重力異常調(diào)和地延拓到一個(gè)內(nèi)部球面上,再由球面邊值問題解逼近外部擾動(dòng)位,其調(diào)和延拓需要求解Poisson積分方程。盡管這些理論解的途徑有所不同，但在一定前提下它們是等價(jià)的。雖然經(jīng)過線性化和地球橢球作球近似后的所謂簡(jiǎn)單Molodensky 問題的研究已得到幾近完美的理論結(jié)果，但它們的實(shí)現(xiàn)仍具有相當(dāng)大

16、的困難。由于受到數(shù)據(jù)和高階項(xiàng)計(jì)算穩(wěn)定性的限制，目前在實(shí)際上通常只能考慮到一階項(xiàng)。對(duì)于確定地球外部擾動(dòng)重力場(chǎng)問題，上述解在應(yīng)用上受到一定的限制。像Molodenky 解通常應(yīng)用于地面，Moritz 的解析延拓解和Bjeharmmar 解雖然可以拓展到外部空中，但邊值的延拓仍是一個(gè)較復(fù)雜的過程。本文側(cè)重于應(yīng)用的需要，討論直接由地面邊值確定外部擾動(dòng)位的方法。2.地面邊值問題的格林公式表示確定地球外部擾動(dòng)重力位T 歸結(jié)為下面的邊值問題。 在地面的外部 在地面上 式中為L(zhǎng)aplace 算子，B 代表某一泛函算子，f為已知泛函.由位理論知，T作為調(diào)和函數(shù)可以由格林第三恒等式表示為。式中，l是計(jì)算點(diǎn)p至地面

17、上面元d的空間距離。n是相對(duì)于調(diào)和空間的邊界面外法線方向。取局部北東天坐標(biāo)系,求法線方向?qū)?shù)得根據(jù)位理論為擾動(dòng)重力矢量為法線的方向余弦。,因此可知即為擾動(dòng)重力在法線方向的分量，如圖所示 圖3 內(nèi)法線方向示意圖 對(duì)于所謂的簡(jiǎn)單Molodensky 問題,即將地球橢球近似為球面時(shí),上述各元素的幾何關(guān)系見下圖。由距離公式式中l(wèi)為P 點(diǎn)與d 單元處的距離；為P點(diǎn)的球心距離；r為d單元處的球心距離;為P點(diǎn)到d單元處的極距求導(dǎo)可知, ，因此可得。 圖4 球近似下各元素的幾何關(guān)系應(yīng)用格林公式可以在實(shí)際地球表面上計(jì)算外部擾動(dòng)位.其條件是需要同時(shí)具有地面上的擾動(dòng)位和擾動(dòng)重力矢量的觀測(cè)值.這在實(shí)際應(yīng)用中是有困難的

18、.一方面,所需的邊值條件很難滿足.另一方面地球表面非常復(fù)雜,這就使得在地表起伏較大地區(qū)該式中的法線方向變化劇烈,其計(jì)算相當(dāng)困難.盡管如此,格林公式提供了不需作任何邊值的歸算或延拓而以地球自然表面上的邊值條件確定外部擾動(dòng)重力場(chǎng)的唯一可能的解析形式。三、Stokes公式的應(yīng)用（一）Stokes公式簡(jiǎn)介Green公式給出了平面上沿閉曲線(C)的第二型線積分與(C)所圍成平面區(qū)域上二重積分之間的關(guān)系。現(xiàn)在把它推廣到空間，考察沿空間閉曲線(C)的第二型線積分與(C)上所張曲面的面積分之間的關(guān)系。設(shè)區(qū)域,(C)為(G)內(nèi)一條分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉合曲線，(S)是以(C)為邊界且完全位于(G)內(nèi)的任一分片光滑

19、的有向曲面，(C)的方向與(S)的法向量符合右手螺旋法則，則稱為Stokes公式。設(shè)A=(P,Q,R)，根據(jù)nabla算子的定義，Stokes公式可寫成向量形式：如果A為一平面場(chǎng)(P,Q)，(C)為一平面閉曲線，(C)所圍成區(qū)域?yàn)?這時(shí)，Stokes公式1就蛻化為Green公式，可見，Stokes公式是Green公式的推廣1。（二）環(huán)量與環(huán)量密度類似于平面向量場(chǎng)沿平面閉曲線的環(huán)量，空間向量場(chǎng)沿空間閉曲線的線積分稱為A(x,y,z)沿閉曲線的環(huán)量，它同樣表示了A繞旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。以n為法向量，過點(diǎn)M作任一微小曲面，它的邊界曲線記為。并選取的正向使與n復(fù)合右手螺旋法則。當(dāng)很小時(shí)，A沿的環(huán)量與小曲面

20、的面積之比，近似的反映出A點(diǎn)在M點(diǎn)附近繞方向n的旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)大小。讓小曲面（）在保持n為其法向量的前提下任意縮向點(diǎn)M，若上述比值的極限存在，則稱此極限值為A在M點(diǎn)沿n方向的環(huán)量密度，記作，即（三）環(huán)量的應(yīng)用1.開爾文定理流體動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)著名的定理。內(nèi)容是：在無粘性、正壓流體中（見正壓流體），若外力有勢(shì)，則沿由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉曲線的速度環(huán)量在隨體運(yùn)動(dòng)過程中恒不變。在流體力學(xué)中，沿封閉曲線的速度環(huán)量定義為線積分：式中 為速度環(huán)量；v為速度矢量；dr為封閉曲線L的線段元矢量。速度環(huán)量和渦通量（見渦旋）通過下列斯托克斯公式聯(lián)系起來： 式中S是張?jiān)诜忾]曲線L上的曲面；和dS分別為渦旋矢量和面積元矢量

21、。2.開爾文定理的推論由開爾文定理可推出反映渦旋保持性的渦旋不生不滅定理：假設(shè)流體是無粘性和正壓的，且外力有勢(shì)，若初始時(shí)刻在某部分流體內(nèi)無旋，則在此時(shí)刻以前或以后的任一時(shí)刻中，這部分流體皆無旋。反之，若初始時(shí)刻該部分流體有旋，則在以前或以后的任一時(shí)刻，這一部分流體皆有旋。因?yàn)槿舫跏紩r(shí)刻某區(qū)域內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)無旋，則根據(jù)斯托克斯公式（2）,該區(qū)域內(nèi)沿任一封閉曲線的速度環(huán)量為零。設(shè)過一時(shí)刻此區(qū)域內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)到一新區(qū)域，從開爾文定理易見，在新區(qū)域內(nèi)沿任一可能的封閉曲線的速度環(huán)量也為零。換言之，線積分與積分路徑無關(guān),它只是時(shí)間t以及變動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)r和固定點(diǎn)A的坐標(biāo)r0的標(biāo)量函數(shù)，可記為故，即存在速度勢(shì)(r

22、，t)。由，推出整個(gè)流動(dòng)是無旋的。對(duì)于在重力場(chǎng)作用下的無粘性不可壓縮均質(zhì)流體，考察均勻來流定常繞流和從靜止起動(dòng)的流體運(yùn)動(dòng)。顯然，兩種情形都滿足流體無粘性、正壓和外力有勢(shì)三個(gè)條件。流場(chǎng)中任一流體質(zhì)點(diǎn)都來自無窮遠(yuǎn)處或初始的靜止流體。因無窮遠(yuǎn)處均勻來流和靜止流體都是無旋的，根據(jù)渦旋的不生不滅可以看出，整個(gè)流場(chǎng)都是無旋的。由此得到開爾文定理的一個(gè)重要推論：對(duì)于在工程實(shí)際中大量遇到的無粘性不可壓縮均質(zhì)流體在重力作用下的均勻來流定常繞流問題和靜止起動(dòng)問題，整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)處處都是無旋的。由于無旋運(yùn)動(dòng)有些特殊性質(zhì)，處理這類流動(dòng)可作許多數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)化（見拉普拉斯無旋運(yùn)動(dòng)）。3.升力升力， 也就是向上的力大于向下

23、的力，其合力可以使物體上升。 這個(gè)力就是升力。升力的成因較復(fù)雜，因?yàn)橐紤]實(shí)際流體的粘性、可壓縮性等諸多條件。目前大多用的是庫(kù)塔儒可夫斯基定理，它是工程師計(jì)算飛機(jī)升力最精確的方法。具體內(nèi)容就是由繞翼環(huán)流導(dǎo)致升力，產(chǎn)生了上下壓力差，這個(gè)壓力差就是升力 (Y)，升力和向后的誘導(dǎo)阻力（d）合成為空氣動(dòng)力（R）。流過各個(gè)剖面升力總合就是機(jī)翼的升力。升力維持飛機(jī)在空中飛行。（1）升力的來源升力來源于機(jī)翼上下表面氣流的速度差導(dǎo)致的氣壓差。但機(jī)翼上下表面速度差的成因解釋較為復(fù)雜，通?？破沼玫牡葧r(shí)間論和流體連續(xù)性理論均不能完整解釋速度差的成因。航空界常用二維機(jī)翼理論，主要依靠庫(kù)塔條件、繞翼環(huán)量、庫(kù)塔-茹可夫斯

24、基定理和伯努利定理來解釋。（2）庫(kù)塔條件在真實(shí)且可產(chǎn)生升力的機(jī)翼中，氣流總是在后緣處交匯，否則在機(jī)翼后緣將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)氣流速度很大的點(diǎn)。這一條件被稱為庫(kù)塔條件，只有滿足該條件，機(jī)翼才可能產(chǎn)生升力。（3）庫(kù)塔如茹可夫斯基方程式由滿足庫(kù)塔條件所產(chǎn)生的繞翼環(huán)量導(dǎo)致了機(jī)翼上表面氣流向后加速，由伯努利定理可推導(dǎo)出壓力差并計(jì)算出升力，這一環(huán)量最終產(chǎn)生的升力大小亦可由庫(kù)塔-茹可夫斯基方程計(jì)算（適用于不可壓縮流體）：物體單位長(zhǎng)度上所受到的升力：其中環(huán)量是流體的速度沿著一條閉曲線的路徑積分。如果v是流體的速度，ds是沿著閉曲線C的單位向量，那么：環(huán)量的量綱是長(zhǎng)度的平方除以時(shí)間。這一方程同樣可以計(jì)算馬格努斯效應(yīng)的氣

25、動(dòng)力。不過以上理論僅適用于亞音速（更準(zhǔn)確地說是Ma小于0.3），在超聲速飛行時(shí)由于空氣是可壓縮的，伯努利定理不成立，此時(shí)無環(huán)流運(yùn)動(dòng)，升力主要靠機(jī)翼上下表面的激波所導(dǎo)致的壓力差。當(dāng)飛機(jī)以一定迎角在超聲速流中飛行時(shí)上表面前端處與來流成一個(gè)凸面，形成膨脹波，氣流流過膨脹波時(shí)壓力下降，而下表面與來流形成一個(gè)凹面，導(dǎo)致激波，氣流流過激波時(shí)壓力增加。因此上表面壓強(qiáng)小，下表面壓強(qiáng)大，產(chǎn)生升力。（四）旋度若在場(chǎng)A(M)中一點(diǎn)M處存在這樣一個(gè)向量，其方向?yàn)槭笰在點(diǎn)M環(huán)量密度最大的方向，其模等于環(huán)量密度的最大值，則稱此向量為場(chǎng)A(M)在點(diǎn)M的旋度，記做rotA.則為旋度的計(jì)算公式。 利用旋度，還可將Stokes公

26、式寫成下列形式（5） 旋度的應(yīng)用1. 平面矢量場(chǎng)的旋度 旋度最早是通過研究水流的渦旋建立起來的概念5。河水流動(dòng)時(shí)，由于水有內(nèi)摩擦力，因而靠?jī)砂端俣容^小，河中間速度較大。故漂在水面上的救生圈一邊順流而下，一邊還會(huì)旋轉(zhuǎn)，這說明水中有渦旋，如下圖所示。圖5 速度分布和渦旋特征2.環(huán)流量是區(qū)域內(nèi)有無漩渦的量度 在平面流速場(chǎng)中作有向封閉曲線L，則流速場(chǎng)V沿L的環(huán)流(圖3） 在均勻流速場(chǎng)中，由于，所以沿L的環(huán)流環(huán)流不等于零，在區(qū)域內(nèi)無渦旋。由特殊到一般，對(duì)于任一平面矢量場(chǎng)如果說明在區(qū)域內(nèi)有渦旋;如果說明在區(qū)域內(nèi)無渦旋。因此環(huán)流是平面矢量場(chǎng)A在區(qū)域內(nèi)有無渦旋的量度。3.旋度是矢量場(chǎng)某點(diǎn)漩渦強(qiáng)度的量度 環(huán)流的

27、大小與封閉曲線L所包圍的面積s有關(guān)，所以不能用環(huán)流的大小來量度渦旋的強(qiáng)弱。而用環(huán)流與面積S之比，即平均渦旋強(qiáng)度來量度S區(qū)域內(nèi)的渦旋強(qiáng)度。當(dāng)，且收縮到P點(diǎn)時(shí)，用極限來量度p點(diǎn)處的渦旋強(qiáng)度。此極限稱為平面流速場(chǎng)V在p點(diǎn)的旋度，用表示，即 可見，旋度是環(huán)流對(duì)面積的變化率。 特殊到一般，任一平面矢量場(chǎng)直在p點(diǎn)的旋度在直角坐標(biāo)系中，平面矢量場(chǎng)在點(diǎn)的旋度4.空間矢量場(chǎng)的旋度例1 水池中的水漏掉時(shí)，會(huì)形成渦旋，如下圖所示。圖6 水池中的渦旋以p點(diǎn)為回心，作兩個(gè)圓周L1和L2，兩圓周面積相等，均為,它們的法線,的方向與L1和L2的繞向符合右手螺旋法則。顯然除以，得可見，同一點(diǎn)p繞方向的平均渦旋強(qiáng)度大于繞方向的

28、平均渦旋強(qiáng)度。為了量度場(chǎng)中任意一點(diǎn)的渦旋強(qiáng)度，必須把取得很小，同時(shí)為了能比較不同點(diǎn)的渦旋強(qiáng)度，應(yīng)使L的空間取向能得瓢最大的環(huán)流。在圖6中，流速場(chǎng)沿Ll的環(huán)流最大?，F(xiàn)在，可以得到任一空間矢量場(chǎng)旋度的定義:矢量場(chǎng)在p點(diǎn)的旋度是一個(gè)矢量，其大小為當(dāng)面積趨于零時(shí)單位面積上的最大環(huán)流，其方向?yàn)楫?dāng)面積的取向使得環(huán)流為最大時(shí)該面積的法線方向(法線方向的單位矢量，的方向與不的繞向符合右手螺旋法則)，即在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)在點(diǎn)的旋度 例2繞定軸Z轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角速度為。如圖.求剛體上任一點(diǎn)P的線速度的旋度.圖7 繞定軸Z轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體解:點(diǎn)p的位置用位置矢量來確定角速度由力學(xué)知，點(diǎn)P的線速度的旋度可見，速度場(chǎng)的旋度

29、與剛體的旋轉(zhuǎn)角速度之間有著密切的聯(lián)系。四、Gauss公式的應(yīng)用 通過數(shù)學(xué)上高斯公式和保守場(chǎng)的定義，推導(dǎo)出物理學(xué)中的兩個(gè)保守場(chǎng)：電場(chǎng)和萬有引力場(chǎng)，把數(shù)學(xué)中的高斯公式運(yùn)用到兩個(gè)保守場(chǎng)中，結(jié)合類比思想，分別得出電場(chǎng)中的高斯定理和萬有引力場(chǎng)中的高斯定理，并分別舉例說明高斯定理在這兩個(gè)場(chǎng)中的運(yùn)用，萬有引力場(chǎng)如同電場(chǎng)一樣，是有源場(chǎng)，對(duì)于具有高對(duì)稱性的質(zhì)量西，萬有引力高斯定理可簡(jiǎn)化萬有引力場(chǎng)的求解過程。數(shù)學(xué)是創(chuàng)立和發(fā)展物理學(xué)立論的主要工具，他的高度抽象性，使他能概括物理世界的基本結(jié)構(gòu)6。數(shù)學(xué)中的高斯公式試分析大學(xué)物理中矢量場(chǎng)問題的重要工具7，電場(chǎng)中的高斯定理被廣泛應(yīng)用到求解具有高對(duì)稱性的帶電系周圍的電場(chǎng)問題

30、中8，而與電場(chǎng)同屬于保守場(chǎng)的萬有引力場(chǎng)中也能運(yùn)用高斯定理，本文將把高斯公式推廣到兩個(gè)保守場(chǎng)中，得出各自場(chǎng)中的高斯定理，并舉例說明其運(yùn)用。1、 數(shù)學(xué)中的高斯公式 高斯公式是高等數(shù)學(xué)中曲面積分的一個(gè)重要公式，它可以把高斯面上的第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為所圍體的三重積分1，描述為： 設(shè)空間區(qū)域V的邊界曲面S是光滑的或分片光滑的，函數(shù)P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z),在Q及S上具有已接連續(xù)篇倒數(shù)，S的方向?yàn)橥獍l(fā)想，則 或 如果引入矢量函數(shù)，高斯公式又可以寫為： 數(shù)學(xué)意義為：矢量場(chǎng)通過閉合曲面S的流量等于此閉合曲面所圍體V上每一點(diǎn)的在體V上的三重積分。2、 保守場(chǎng)的推導(dǎo) 數(shù)學(xué)中，保守場(chǎng)

31、的電影以為：在矢量場(chǎng)中a匯總，若曲線積分與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)和重點(diǎn)有關(guān)，這種常稱為保守場(chǎng)。矢量場(chǎng)a為保守場(chǎng)的充要條件是： 大學(xué)物理中，電場(chǎng)力做功和萬有引力做功都與路徑無關(guān)，即： 根據(jù)斯托克斯定理得出： 由此從數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以知道電場(chǎng)和萬有引力場(chǎng)都是保守場(chǎng)9。3、 高斯公式在電場(chǎng)中的運(yùn)用把高斯公式運(yùn)用到大學(xué)物理的電場(chǎng)中，就是電場(chǎng)高斯定理。電場(chǎng)通量等于閉合曲面所圍面V上每一點(diǎn)的散度在V上的三重積分（即為電荷密度）它可以表示數(shù)位：通過一個(gè)人已閉合曲面S的電通量，等于該面所包圍的所有電量的代數(shù)和除以與閉合面外的電荷無關(guān)。即： 在求解具有高對(duì)稱性帶電體系的電場(chǎng)分布時(shí)，電場(chǎng)高斯定理可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程5，還

32、反映出電場(chǎng)的另一重要性質(zhì)：靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)。正電荷是靜電場(chǎng)的源頭，向四周輻射電場(chǎng)。 例：求一個(gè)均勻帶正電球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，設(shè)球體帶電總量為Q，球體半徑為R，如圖圖8 帶電量為Q的球體（虛線為高斯面） 如果用電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理，把帶點(diǎn)體系分割成無窮個(gè)電荷元，每個(gè)電荷元視為點(diǎn)電荷，對(duì)無窮個(gè)電荷元產(chǎn)生的電場(chǎng)積分求和，勢(shì)必牽扯到一個(gè)三重積分，仙人，這在數(shù)學(xué)計(jì)算中比較復(fù)雜。 如果應(yīng)用高斯定理，由于電荷Q均勻分布在球面上，其電場(chǎng)分布具有球隊(duì)成型，在任何與帶電球面同心的球殼上的個(gè)點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小均應(yīng)相等，方向沿各自的矢徑方向。 在球面外任取一點(diǎn)P，設(shè)想過P點(diǎn)做一個(gè)半徑為r（rR)的球面，稱之為高斯面，因球

33、面上個(gè)點(diǎn)的法線方向與場(chǎng)強(qiáng)方向一致，所以通過該球面的電通量為： 此時(shí)該求面包為的電荷為： 根據(jù)高斯定理可得： P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為： 對(duì)于球內(nèi)任一點(diǎn)p，同樣過p作一半徑為r(rR)的球形高斯面，通過該球面的電通量為： 此時(shí)，該球面包圍的電荷為： 由高斯定理可得： 此時(shí)必有： 4、 高斯定理在萬有引力場(chǎng)中的應(yīng)用 萬有引力場(chǎng)和靜電場(chǎng)同屬于保守場(chǎng)，可以設(shè)想萬有引力場(chǎng)如同電場(chǎng)一樣是一種物理客觀存在。質(zhì)量為M的物體想四周輻射萬有引力場(chǎng)，切萬有引力定律與庫(kù)侖定律 相似，都服從平方反比定律。運(yùn)用類比思想，把高斯公式應(yīng)用到萬有引力場(chǎng)中，萬有引力場(chǎng)通量等于閉合曲面所圍體V上每一點(diǎn)的散度在體V上的三重積分。它可以表述為

34、：通過一個(gè)任意閉合曲面S的萬有引力場(chǎng)通量等于該面所包圍的所有質(zhì)量的代數(shù)和 除以，負(fù)號(hào)表明萬有引力場(chǎng)為匯聚場(chǎng)，穿入閉合曲面S。 電場(chǎng)高斯定理在求解具有高對(duì)稱性帶點(diǎn)體系的電場(chǎng)分布時(shí)有著十分重要的地位，同理在求解具有高對(duì)稱性質(zhì)量體系的萬有引力場(chǎng)分布時(shí)，用萬有引力場(chǎng)中的高斯定理會(huì)大大簡(jiǎn)化求解過程。 例：求均質(zhì)細(xì)棒中垂面上的收到的引力場(chǎng)強(qiáng)度，設(shè)棒長(zhǎng)為2l，如圖：圖9 質(zhì)量均勻的細(xì)棒（圓柱體為高斯面） 如果用萬有引力定律計(jì)算，選細(xì)棒中點(diǎn)O為原點(diǎn)，取坐標(biāo)軸z沿細(xì)棒向上，由于細(xì)棒具有軸對(duì)稱性，取紙平面作代表，細(xì)棒的中垂面與紙面的交線為中垂線OP。 整個(gè)細(xì)棒可以分割成一對(duì)一對(duì)的線元，其中每對(duì)線元dz和dz對(duì)于中

35、垂線OP對(duì)稱，這一對(duì)線質(zhì)元在中垂線上任一點(diǎn)，從而合成P所產(chǎn)生的元引力場(chǎng)和也對(duì)中垂線對(duì)稱。他們?cè)诖怪庇贠P方向的分量互相抵消，從而合成矢量+沿中垂線方向其大小為，其中： （17）r表示距離OP，表示線質(zhì)量密度，則 是總質(zhì)量. （18）當(dāng)細(xì)棒為無限長(zhǎng)時(shí)，這時(shí)的萬有引力場(chǎng)強(qiáng)為： 如果應(yīng)用萬有引力場(chǎng)中高斯定理，因該體系具有軸對(duì)稱型，若以細(xì)棒為軸，在垂直于軸的平面內(nèi)，同一圓周上的萬有引力場(chǎng)大小處處香等，方向垂直于棒，向內(nèi)匯聚，于是可選取以棒為軸，在垂直于軸的平面內(nèi)，同一圓周上的萬有引力場(chǎng)大小處處香等，方向垂直于棒，向內(nèi)匯聚。于是可選取以棒為軸，半徑為r長(zhǎng)為l的封閉圓柱面為高斯面。圓柱的上、下兩底面，與的

36、方向垂直；側(cè)面的與的方向相反，所以通過封閉圓柱體的萬有引力通量為： (20)根據(jù)高斯定理得： 得： 公式（19）與公式（20）是相等的，可以看出，比起用萬有引力定律來說，用萬有引力場(chǎng)中的高斯定理求解問題比較簡(jiǎn)單，省去了很多積分過程，并且體現(xiàn)出萬有引力場(chǎng)是保守場(chǎng)的性質(zhì)。5.高斯公式推證阿基米德浮力定律在普通物理的教科書中，一般對(duì)阿基米德浮力定律都不作嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，僅對(duì)它作一個(gè)說明。下面我們根據(jù)重力場(chǎng)中靜止流體的壓強(qiáng)分布，應(yīng)用高斯公式給出一個(gè)證明。一物體浮在液面上，液體表面的平面把浮體表面的封閉曲面S分為兩部分和，也把整個(gè)浮體分為兩部分。其中浮在液面上的那部分為，浸沒在液體中的那部分為。建立坐標(biāo)

37、系，取液體表面為x o y平面，Z軸的方向取為豎直向下。作用在曲面上的壓強(qiáng)就是大氣壓，而作用在曲面上的壓強(qiáng)則為 式中P為液體的密度，z為曲面上某點(diǎn)處位于液面下的深度。作用在物體上的浮力就是由于作用在物體下部的壓強(qiáng)大于作用在物體上部的壓強(qiáng)而產(chǎn)生的，我們來具體計(jì)算一下。因?yàn)樽饔迷谖矬w表面上任一面元上的壓力總是與面元的法向矢量方向相反，所以有： (24)式中為與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角，應(yīng)用在高斯公式，上式可化為體積分： (25)上式即為我們所熟知的阿基米德浮力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它表 明：浸在液體里的物體受到向上的浮力，浮力的大小等于物體所排開的液體的重量。6.高斯公式推證靜電場(chǎng)中的高斯定理靜電場(chǎng)中的高斯定

38、理：在一般的普通物理教科書中，對(duì)高斯定理都不作嚴(yán)格的證明，而是利用電力線的概念加以說明，也有少數(shù)書中是采用引進(jìn)“立體角”的概念來證明的。其實(shí)，應(yīng)用高斯公式可以很簡(jiǎn)潔地證明高斯定理，而且不需要引進(jìn)“立體角”的概念。我們先討論單個(gè)點(diǎn)電荷的情況。在閉合曲面S內(nèi)有一點(diǎn)電荷q，它所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，則穿出S的電通量為 注意，現(xiàn)在我們還不能利用高斯公式把上式中的面積分化為體積分。 因?yàn)楦咚构匠闪⒌臈l件要求在閉合曲面S所包圍的區(qū)域V內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。但顯然在區(qū)域V內(nèi)r=0處（即點(diǎn)電荷q處）不連續(xù)。我們可在閉曲面S內(nèi)作一個(gè)以點(diǎn)電荷q為中心，以R為半徑 的小球面的方向和S一樣都取為外法線方向。那么，在閉合曲面 S 和之間的區(qū)域中，滿足連續(xù)的條件，于是我們可利用高斯公式來計(jì)算通過區(qū)域的邊界曲面的電通量。 (26)由直接計(jì)算可得， ，所以。在面積分，曲面的外法線方向在曲面S處與S的外法線方向相同，而在曲面處則與的外法線方向相反。于是有所以這說明通過包含點(diǎn)電荷的任意閉合曲面的電通量都與通過以 該點(diǎn)電荷為中心的任一球面的電通量相等。而通過球面的電通量很容 易算出：所以當(dāng)點(diǎn)電荷q不在閉合曲面S內(nèi)時(shí)，則在S所包含的V區(qū)域內(nèi)，可直接利用高斯公式求出：對(duì)于由一組點(diǎn)電荷所組成的帶電體系來說，它們?cè)诳?間所產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)是各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的迭