積分中值定理改進(jìn)及應(yīng)用

1、 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）模板本科學(xué)年論文論文題目： 積分中值定理的改進(jìn)及應(yīng)用 學(xué)生姓名： 張莉?qū)?學(xué) 號(hào)： 1204180130 專業(yè)名稱： 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí)： 計(jì)科1201 指導(dǎo)教師： 崔喜寧 完成日期：2015年6月25日積分中值定理的改進(jìn)及應(yīng)用摘要積分中值定理是積分學(xué)中基本定理。本文對(duì)積分第一、二中值定理給出了相應(yīng)的證明，并給出了定積分第一中值定理改進(jìn)形式的一些應(yīng)用，從而在一定程度上推廣和改進(jìn)了積分中值定理的某些已有的結(jié)果。關(guān)鍵詞：定積分第一、二中值定理 改進(jìn) 證明The improvement and application of Integral mean value theor

2、em AbstractThe intergral value theorem is basic theorem in intergral calculus.In this paper,we give the corresponding proof for the first of the intergrals and the two theorens.Some application of the first value theorem for definite intergral is given.To promote to a certain extent and improve the

3、intergral mean theorem in some existing results.Key Words：A second value theorem for definite intergrals Improve prove目錄序言5一、積分第一中值定理5二定積分第一中值定理的改進(jìn)形式7三、積分第二中值定理10四定積分第一中值定理的改進(jìn)形式的應(yīng)用12(一)利用改進(jìn)后積分中值定理求極限12(二)利用改進(jìn)后積分中值定理進(jìn)行相應(yīng)的證明13五、積分第二中值定理的應(yīng)用14（一）第二定理的直接應(yīng)用14（二）積分第二中值定理在不等式中的應(yīng)用15六、在力學(xué)方面的應(yīng)用15（一）求平均速度15（二）求

4、對(duì)空間累計(jì)的平均作用力16七 總結(jié)16參考文獻(xiàn)17序言積分中值定理是積分學(xué)中的基本定理，現(xiàn)行教材中所給中值定理中的取值于積分中值定理的應(yīng)用帶來很大的不便，改進(jìn)后的積分中值定理取值于開區(qū)間，這為積分中值定理的應(yīng)用帶來很大的空間。一、積分第一中值定理定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)使得1評(píng)述定理的幾何意義如圖所示：由函數(shù)在區(qū)間上所形成的曲邊梯形的面積，等于以為底、高為的矩形的面積（圖）證明由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理知函數(shù)在上取到最大值（設(shè)為）和最小值（設(shè)為）于是對(duì)于有(1)(1)中的三部分都是可積的，在上進(jìn)行積分，利用定積分對(duì)于被積函數(shù)的單調(diào)性，可得(2)(2)式的幾何意義如

5、圖所示（圖）由(2)式可得 于是，由介值定理可知在上至少存在一點(diǎn)使得，于是我們得到定理 若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，函數(shù)在可積且不變號(hào)，則在上至少存在一點(diǎn)使得1評(píng)述定理明顯是定理當(dāng)時(shí)的特殊情況如果先敘述定理，則定理可作為定理的推論，就不必單獨(dú)證明了然而先易后難符合人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律，而且，在許多情況下應(yīng)用的就是定理的形式，所以，先敘述定理，再敘述定理，比較自然證明不妨設(shè)對(duì)于有設(shè)函數(shù)在上取到最大值和最小值，則對(duì)于有， (3) 及 (4)(3)式中的三部分都是可積的，分別在上積分，由定積分對(duì)于被積函數(shù)的單調(diào)性可得 (5) 由知有如果，則由式知也有，從而都使成立；因而以下只需考慮的情況在的情況下，(5)式可改寫

6、為 (6) 于是，由介值定理，在上至少存在一點(diǎn)使得 ， 由此可得 (7)二、定積分第一中值定理的改進(jìn)形式定理 若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得1評(píng)述定理與定理的區(qū)別僅在于點(diǎn)的位置開區(qū)間是閉區(qū)間的子集，因而定理的結(jié)論比定理的結(jié)論強(qiáng)為了證明定理，只需在定理的基礎(chǔ)上證明點(diǎn)一定可以不取為區(qū)間的端點(diǎn)證明如果函數(shù)在區(qū)間上恒為一常數(shù)，則命題明顯成立，因?yàn)榭扇殚_區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)于是以下只需考慮在區(qū)間上不恒為常數(shù)的情形在不恒為常數(shù)的情況下，若上面定理的結(jié)論中的點(diǎn)取作了區(qū)間的端點(diǎn)，例如，由定積分的幾何意義，既不應(yīng)該是在區(qū)間上的最大值，也不應(yīng)該是在區(qū)間上的最小值于是，在等式成立的情況下，必及使，其中

7、與與上文一樣分別是在區(qū)間的最小值與最大值，如圖或圖所示（圖）（圖）于是，由介值定理，在點(diǎn)與點(diǎn)之間上至少存在一點(diǎn)使得，點(diǎn)既不與點(diǎn)重合，也不與點(diǎn)重合，于是點(diǎn)既不是點(diǎn)，也不是點(diǎn)，因而，而且可以類似地處理的情況定理 若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，函數(shù)在可積且不變號(hào)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得1證明仍不妨設(shè)對(duì)于有，于是還是只需對(duì)于的情況證明定理結(jié)論中的點(diǎn)一定可以不取為區(qū)間的端點(diǎn)以下分為兩種情況第一種情況：(6)式中的點(diǎn)滿足條件，其中與和上文一樣分別是在區(qū)間上的最小值與最大值，如圖所示在圖示的情況下可以把定理結(jié)論中的點(diǎn)取為點(diǎn)在這種情況下，雖然現(xiàn)在的被積函數(shù)與定理的被積函數(shù)不同，但是點(diǎn)還是僅由函數(shù)在該點(diǎn)取值，這與定

8、理的證明中處理過的情況是類似的，還是可以不把點(diǎn)取為點(diǎn)而取到如果遇到可以把點(diǎn)取為點(diǎn)的情況，同樣的思路告訴我們也可以不把點(diǎn)取為點(diǎn)，而取到因而在此種情況下命題成立（圖）第二種情況：(6)式中的點(diǎn)滿足條件或，與和上文一樣分別是在區(qū)間上的最小值與最大值，不妨設(shè)注：在即定理的情況下，如果不恒為一常數(shù)，的情況是不會(huì)發(fā)生的，如定理的證明所述但是在與都不恒為常數(shù)的情況下，(6)式?jīng)]有當(dāng)時(shí)那樣明顯的幾何意義，或是可能的 我們來證明，在這種情況下，點(diǎn)也可以不取為區(qū)間的端點(diǎn)，而取為開區(qū)間內(nèi)的某一點(diǎn)用反證法，假設(shè)點(diǎn)不可以取為開區(qū)間內(nèi)的某一點(diǎn)，我們來推出矛盾如果點(diǎn)不能取為開區(qū)間內(nèi)的某一點(diǎn),則對(duì)于都有，這時(shí)由式可得，(8)

9、注意這里被積函數(shù)中的兩個(gè)因子與都是非負(fù)的取兩個(gè)嚴(yán)格單調(diào)的數(shù)列和，使當(dāng)時(shí)有和由可積函數(shù)的變上限積分及變下限積分對(duì)于上、下限的連續(xù)性，易知而，于是由極限的保號(hào)性知存在自然數(shù)使得只要就有我們來看按前面所設(shè)，在上恒取正值且連續(xù)，故使得，從而對(duì)于有(9)把(7)式和(8)式結(jié)合起來，可以得到下面的出現(xiàn)了矛盾的不等式：此矛盾說明，(6)式中的點(diǎn)不可能不可以取為開區(qū)間內(nèi)的某一點(diǎn)對(duì)于(6)式中的點(diǎn)使的情況可以類似地討論三、積分第二中值定理定理5 設(shè)函數(shù)在上可積，在上單調(diào)且在上連續(xù)，那么存在一點(diǎn)，使得在上可積1 . (1)證 假設(shè)在上單調(diào)減少且非負(fù)，將區(qū)間分成幾部分，即而,記則:,由于在上單調(diào)減少且非負(fù),即而,

10、根據(jù)阿貝爾引理有:,當(dāng)時(shí),有即:,所以，當(dāng)時(shí)有:（時(shí)成立的）,而當(dāng)時(shí)也成立.由介值定理知連續(xù)函數(shù)在上某點(diǎn)處取得上、下確界之間的中間值即： (2) 令,由于單調(diào)減少,則單調(diào)減少且非負(fù),由得：,即 如果在處不一定連續(xù),則公式可改寫為:.如果在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在上連續(xù)則上述定理可用一個(gè)較簡單的方法證明,在證明過程中主要使用分部積分法和積分第一中值定理.證 由于在上連續(xù),則為其原函數(shù),現(xiàn)對(duì)使用分部積分,其中令,對(duì)使用積分第一中值定理所以.四定積分第一中值定理的改進(jìn)形式的應(yīng)用 (一)利用改進(jìn)后積分中值定理求極限 例1 求：解：由定理3，故= 例2 求： 解一：由定理3，= sin （ 0,1），故 =

11、解二：因?yàn)?，?,1上是連續(xù)的 ，且在0,1 上不改變符號(hào) 由定理4，一定存在一個(gè)使： 因此有=0 例 3 求 dy 解：，則 在不變，則由定理4，一定存在使：則(二)利用改進(jìn)后積分中值定理進(jìn)行相應(yīng)的證明例4 求極限解： 由于 在x在 上連續(xù)，所以由定理3可知，在上至少存在一點(diǎn)點(diǎn)，使得： 因此有：評(píng)注：按原來的中值定理是不能像這樣解的。因此不能排除，即的情況。例 5 證明 證明： 而 于是： ，因?yàn)闀r(shí)，所以 則評(píng)注：按原來定理，只能得到“=0”例6 設(shè)實(shí)數(shù)滿足條件， 求證方程在內(nèi)至少有一實(shí)根2證明：設(shè)，則由定理3 立即可知使得例 7 設(shè)在上不恒為，且其導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，并有試證明：存在點(diǎn)，使得證明：

12、（使用改進(jìn)了的定積分第一中值定理）由及在上不恒為，可知在上不恒為常數(shù)，在上不恒為，因而，如果，則命題明顯成立下面考慮的情形由定理改進(jìn)了的定積分第一中值定理、和Lagrange中值公式可知，使得,其中于是可得五、積分第二中值定理的應(yīng)用（一）第二定理的直接應(yīng)用例8 若在上可積,在上單調(diào)遞增且非負(fù),在上連續(xù),則存在,使.證 令，因?yàn)榉秦?fù)且單調(diào)遞減利用公式有:.而由即.（二）積分第二中值定理在不等式中的應(yīng)用例9 證明時(shí).證 取,由積分中值定理及其推廣可得:六、在力學(xué)方面的應(yīng)用 （一）求平均速度例10 設(shè)速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)連續(xù)，根據(jù)定理1，由 3 由力學(xué)知識(shí)知，物體位移，則 即就是物體的平均速度例11

13、 當(dāng)物體做均勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，即 （a=恒量）時(shí)內(nèi)的平均速度： ,而所以這個(gè)結(jié)果說明，只有當(dāng)速度函數(shù)對(duì)時(shí)間均勻變化時(shí)，平均速度等于內(nèi)始、末速度的算術(shù)平均值。（二）求對(duì)空間累計(jì)的平均作用力例12 設(shè)力在位置區(qū)間內(nèi)連續(xù)，根據(jù)積分中值定理，有 與相對(duì)位置的作用力為 當(dāng)與位置坐標(biāo)x無確定函數(shù)關(guān)系時(shí)，利用動(dòng)能定理4 可得當(dāng)與變量x由確定的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可直接求出平均作用力。例13 彈簧振子的作用力為，那么振子所受的平均作用力是： 計(jì)算即F與x有線性關(guān)系時(shí)，平均作用力等于質(zhì)點(diǎn)始、末位置所受力的算術(shù)平均值。七 總結(jié)我們知道積分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的主要定理之一,同時(shí)也是定積分的一個(gè)主要性質(zhì),它建立了積分和被積函數(shù)之間的關(guān)系,從而使我們可以通過被積函數(shù)的性質(zhì)來研究部分的性質(zhì),.主要使用積分中值定理在應(yīng)用中的作用是可以去掉積分號(hào),從而使問題簡單化.因此,對(duì)于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個(gè)函數(shù)積分的等式或不等式,或者要證的結(jié)論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時(shí),一般應(yīng)考慮使用積分中值定理,去掉積分號(hào).在使用該定理時(shí),