2021屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)解三角形第7節(jié)解三角形的綜合應(yīng)用跟蹤檢測(cè)文含解析

1、第四章第四章 三角函數(shù)、解三角形三角函數(shù)、解三角形 第七節(jié)第七節(jié) 解三角形的綜合應(yīng)用解三角形的綜合應(yīng)用 a 級(jí) 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)|固根基| 1.如圖，兩座燈塔 a 和 b 與海岸觀察站 c 的距離相等，燈塔 a 在觀察站南偏西 40，燈塔 b 在觀察站南偏東 60，則燈塔 a 在燈塔 b 的( ) a北偏東 10 b北偏西 10 c南偏東 80 d南偏西 80 解析： 選 d 由條件及題圖可知， ab40， 又bcd60， 所以cbd30，所以dba10，因此燈塔 a 在燈塔 b 南偏西 80. 2一艘船以每小時(shí) 15 km的速度向東航行，船在 a 處看到一個(gè)燈塔 m 在北偏東 60方向， 行駛 4

2、h 后， 船到達(dá) b 處， 看到這個(gè)燈塔在北偏東 15方向， 這時(shí)船與燈塔的距離為( ) a15 2 km b30 2 km c45 2 km d60 2 km 解析：選 b 如圖所示，依題意有 ab15460，dac60，cbm15， 所以mab30，amb45. 在amb 中，由正弦定理，得60sin 45bmsin 30， 解得 bm30 2，故選 b. 3如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度 d0.6 km，一艘客船從碼頭 a 出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭 b.已知 ab1 km，水的流速為 2 km/h，若客船從碼頭 a 駛到碼頭 b 所用的最短時(shí)間為 6 min，則客船在靜水中的速度為(

3、) a8 km/h b6 2 km/h c2 34 km/h d10 km/h 解析：選 b 設(shè) ab 與河岸線所成的角為 ，客船在靜水中的速度為 v km/h，由題意知，sin 0.6135， 從而 cos 45， t0.66110(h)， 所以由余弦定理得110v2110221221102145，解得 v6 2. 4某船開始看見燈塔在南偏東 30方向，后來(lái)船沿南偏東 60的方向航行 15 km 后，看見燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是( ) a5 km b10 km c5 3 km d5 2 km 解析：選 c 作出示意圖(如圖)， 點(diǎn) a 為該船開始的位置， 點(diǎn) b 為燈塔的位置，

4、 點(diǎn) c 為該船后來(lái)的位置， 所以在abc 中，bac603030，b120，ac15. 由正弦定理，得15sin 120bcsin 30，即 bc1512325 3， 即這時(shí)船與燈塔的距離是 5 3 km. 5一名學(xué)生在河岸上緊靠河邊筆直行走，某時(shí)刻測(cè)得河對(duì)岸靠近河邊處的參照物與學(xué)生前進(jìn)方向成 30角 前進(jìn) 200 m后， 測(cè)得該參照物與前進(jìn)方向成 75角， 則河的寬度為( ) a50( 31) m b100( 31) m c50 2 m d100 2 m 解析：選 a 如圖所示，在abc 中，bac30，acb753045，ab200 m， 由正弦定理， 得 bc200sin 30sin

5、45100 2(m)， 所以河的寬度為 bcsin 75100 22 6450( 31)(m) 6海上有 a，b 兩個(gè)小島相距 10 n mile，從 a 島望 c 島和 b 島成 60的視角，從 b 島望 c 島和 a 島成 75的視角，那么 b 島和 c 島間的距離是_ n mile. 解析：如圖，在abc 中，ab10，a60，b75，c45， 由正弦定理，得absin cbcsin a， 所以 bcabsin asin c10sin 60sin 455 6(n mile) 答案：5 6 7如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn) a，b 望對(duì)岸的標(biāo)記物 c，測(cè)得cab30，cba75，

6、ab120 m，則這條河的寬度為_ 解析： 如圖，在abc 中，過(guò) c 作 cdab 于 d 點(diǎn)， 則 cd 為所求河的寬度 在abc 中， 因?yàn)閏ab30，cba75， 所以acb75， 所以 acab120 m. 在 rtacd 中，cdacsin cad120sin 3060(m)， 因此這條河的寬度為 60 m. 答案：60 m 8如圖，為測(cè)量山高 mn，選擇 a 和另一座山的山頂 c 為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從 a 點(diǎn)測(cè)得 m點(diǎn)的仰角man60，c 點(diǎn)的仰角cab45以及mac75，從 c 點(diǎn)測(cè)得mca60.已知山高 bc100 m，則山高 mn_ m. 解析：根據(jù)題圖得，ac100 2 m.

7、在mac 中，cma180756045. 由正弦定理得acsin 45amsin 60am100 3 m. 在amn 中，mnamsin 60， 所以 mn100 332150(m) 答案：150 9(2019 屆湘東五校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)32sin 2xcos2x12. (1)求 f(x)的最小值，并寫出取得最小值時(shí)的自變量 x 的集合； (2)設(shè)abc 的內(nèi)角 a，b，c 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，且 c 3，f(c)0，若 sin b2sin a，求 a，b 的值 解：(1)f(x)32sin 2xcos2x12 32sin 2xcos 2x21 sin2x61. 當(dāng) 2x62k

8、2，即 xk6(kz)時(shí)，f(x)的最小值為2，此時(shí)自變量 x 的集合為 xxk6，kz. (2)因?yàn)?f(c)0，所以 sin 2c610，又 0c，所以 2c62，即 c3. 在abc 中，sin b2sin a，由正弦定理知 b2a， 又 c 3，所以由余弦定理知( 3)2a2b22abcos 3， 即 a2b2ab3，聯(lián)立a2b2ab3，b2a，解得a1，b2. 10某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在 a 處獲悉后，立即測(cè)出該漁輪在方位角為 45，距離為 10 n mile 的 c 處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為 105的方向，以9 n mile/h 的速度向某小島靠攏，我

9、海軍艦艇立即以 21 n mile/h 的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間 解： 如圖所示，根據(jù)題意可知 ac10，acb120，設(shè)艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為 t h，并在 b 處與漁輪相遇，則 ab21t，bc9t，在abc 中，根據(jù)余弦定理得 ab2ac2bc22ac bc cos 120， 所以 212t210281t22109t12， 即 360t290t1000， 解得 t23或 t512(舍去) 所以艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為23 h. 此時(shí) ab14，bc6. 在abc 中，根據(jù)正弦定理，得bcsin cababsin 120， 所以 sin cab632143 314

10、， 即cab21.8或cab158.2(舍去)， 即艦艇航行的方位角為 4521.866.8. 所以艦艇以 66.8的方位角航行，需23 h 才能靠近漁輪. b 級(jí) 素養(yǎng)提升|練能力| 11.如圖，為了測(cè)量 a，c 兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上 b，d 兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形 abcd各邊的長(zhǎng)度(單位：km)，ab5，bc8，cd3，da5，且b 與d 互補(bǔ)，則 ac 的長(zhǎng)為( ) a7 km b8 km c9 km d6 km 解析： 選 a 在abc 及acd 中， 由余弦定理得 8252285cos(d)ac23252235cos d，解得 cos d12，所以 ac 497. 12如圖，某住

11、宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為 120的扇形 aob，c 是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于 ao 的小路 cd.已知某人從 o 沿 od 走到 d 用了 2 分鐘，從 d 沿dc 走到 c 用了 3 分鐘若此人步行的速度為每分鐘 50 米，則該扇形的半徑的長(zhǎng)度為( ) a50 5 米 b50 7 米 c50 11 米 d50 19 米 解析：選 b 設(shè)該扇形的半徑為 r 米，如圖，連接 co. 由題意，得 cd150 米，od100 米，cdo60，在cdo 中，cd2od22cd od cos 60oc2， 即 15021002215010012r2，解得 r50 7. 13在abc 中

12、，內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若其面積 sb2sin a，角 a 的平分線 ad 交 bc 于點(diǎn) d，ad2 33，a 3，則 b_ 解析：由面積公式 s12bcsin ab2sin a，可得 c2b，即cb2.由 a 3，并結(jié)合角平分線定理可得，bd2 33，cd33，在abc 中，由余弦定理得，cos b4b23b222b 3，在abd中，cos b4b2434322b2 33，即4b23b222b 34b2434322b2 33，化簡(jiǎn)得 b21，解得 b1. 答案：1 14某港灣的平面示意圖如圖所示，o，a，b 分別是海岸線 l1，l2上的三個(gè)集鎮(zhèn)，a 位于o 的正南方向

13、 6 km處，b 位于 o 的北偏東 60方向 10 km 處 (1)求集鎮(zhèn) a，b 間的距離； (2)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn) o 的交通壓力，擬在海岸線 l1，l2上分別修建碼頭 m，n，開辟水上航線勘測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)：以 o 為圓心，3 km 為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行請(qǐng)確定碼頭 m，n 的位置，使得 m，n 之間的直線航線最短 解：(1)在abo 中，oa6，ob10，aob120， 根據(jù)余弦定理，得 ab2oa2ob22 oa ob cos 120 62102261012196， 所以 ab14，故集鎮(zhèn) a，b 間的距離為 14 km. (2)依題意得，直線 mn 必與圓 o 相切 設(shè)切點(diǎn)為 c，連接 oc(圖略)，則 ocmn